10 đề ôn thi HSG Toán 6 – Năm học 2022 – 2023

10 đề ôn thi HSG Toán 6 – Năm học 2022 – 2023

Đề ôn thi HSG Toán 6 số 1

Bài 1: Tìm số tự nhiên có 3 chữ số $\overline{abc}$, biết rằng: ${{b}^{2}}=ac$ và $\overline{abc}-\overline{cba}=495$.

Bài 2:

a)Tính nhanh:  $\frac{1978.1979+1980.21+1958}{1980.1979-1978.1979}$

b)Rút gọn:$\frac{{{5}^{2}}{{.6}^{11}}{{.16}^{2}}+{{6}^{2}}{{.12}^{6}}{{.15}^{2}}}{{{2.6}^{12}}{{.10}^{4}}-{{81}^{2}}{{.960}^{3}}}$

Bài 3: Tìm số tự nhiên n để phân số $\frac{6n+99}{3n+4}$

a) Có giá trị là số tự nhiên.

b) Là phân số tối giản.

Bài 4: Cho $A=\frac{1}{{{5}^{2}}}+\frac{2}{{{5}^{3}}}+\frac{3}{{{5}^{4}}}+…+\frac{n}{{{5}^{n+1}}}+…+\frac{11}{{{5}^{12}}}$ với n Î N.       Chứng minh rằng $A<\frac{1}{16}$

Bài 5: Trên đường thẳng xx’ lấy một điểm O. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xx’ vẽ 3 tia Oy, Ot, Oz sao cho: Góc  x’Oy = 40⁰; xOt = 97⁰; xOz = 54⁰.

Chứng minh tia Ot nằm giữa hai tia Oy và Oz.

Chứng minh tia Ot là tia phân giác của góc zOy.

HƯỚNG DẪN

Bài 1: Ta có:

$\begin{align}& \overline{abc}-\overline{cba}=\left( 100a+10b+c \right)-\left( 100c+10b+a \right)=100a+10b+c-100c-10b-a \\& =99a-99c=99\left( a-c \right)=495\Rightarrow a-c=495:99=5 \\\end{align}$

Vì ${{b}^{2}}=ac$và 0 ≤ b ≤ 9 mà a – c = 5. Nên ta có:

Với a = 9 $\vdots $ c = 4 và b² = 9.4 = 36 $\vdots $ b = 6 (Nhận)

Với a = 8 $\vdots $ c = 3 và b² = 8.3 = 24 $\vdots $ không có giá trị nào của b.

Với a = 7 $\vdots $ c = 2 và b² = 7.2 = 14 $\vdots $ không có giá trị nào của b.

Với a = 6 $\vdots $ c = 1 và b² = 6.1 = 6 $\vdots $ không có giá trị nào của b .

Bài 2:

a)

$\begin{align}& \frac{1978.1979+1980.21+1958}{1980.1979-1978.1979}=\frac{1978.1979+1979.21+21+1958}{1979.\left( 1980-1978 \right)} \\& =\frac{1979.\left( 1978+21 \right)+21+1958}{1979.2}=\frac{1979.\left( 1978+21+1 \right)}{1979.2} \\& =\frac{1979.2000}{1979.2}=1000 \\\end{align}$

b)

$\begin{align}& \frac{{{5}^{2}}{{.6}^{11}}{{.16}^{2}}+{{6}^{2}}{{.12}^{6}}{{.15}^{2}}}{{{2.6}^{12}}{{.10}^{4}}-{{81}^{2}}{{.960}^{3}}}=\frac{{{5}^{2}}.{{\left( 2.3 \right)}^{11}}.{{\left( {{2}^{4}} \right)}^{2}}+{{\left( 2.3 \right)}^{2}}.{{\left( {{2}^{2}}.3 \right)}^{6}}.{{\left( 3.5 \right)}^{2}}}{2.{{\left( 2.3 \right)}^{12}}.{{\left( 2.5 \right)}^{4}}-{{\left( {{3}^{4}} \right)}^{2}}.{{\left( {{2}^{6}}.3.5 \right)}^{3}}} \\& =\frac{{{5}^{2}}{{.2}^{19}}{{.3}^{11}}+{{2}^{14}}{{.3}^{10}}{{.5}^{3}}}{{{2}^{17}}{{.5}^{4}}{{.3}^{12}}-{{3}^{11}}{{.2}^{18}}{{.5}^{3}}}=\frac{{{5}^{2}}{{.3}^{10}}{{.2}^{14}}.\left( {{2}^{5}}.3+5 \right)}{{{2}^{17}}{{.5}^{3}}{{.3}^{11}}.\left( 5.3-2 \right)}=\frac{{{2}^{5}}.3+5}{{{2}^{3}}.5.3.12} \\& =\frac{32.3+5}{8.15.12}=\frac{96+5}{120.12}=\frac{101}{1440} \\\end{align}$

 Bài 3: Đặt A =$\frac{6n+99}{3n+4}=\frac{6n+8+91}{3n+4}=\frac{2\left( 3n+4 \right)+91}{3n+4}=\frac{2\left( 3n+4 \right)}{3n+4}+\frac{91}{3n+4}=2+\frac{91}{3n+4}$

Để A là số tù nhiên thì 91⋮ 3n + 4 ⋮ 3n + 4 là ước của 91 hay 3n + 4 thuộc {1; 7; 13; 91}.

Với 3n + 4 = 1          n = -1 Loại vì n là số tù nhiên.

Với 3n + 4 = 7          n = 1 Nhận       A = 2 + 13 = 15.

Với 3n + 4 = 13        n = 3 Nhận       A = 2 + 7 = 9.

Với 3n + 4 = 91        n = 29 Nhận      A = 2 + 1 = 3.

Để A là phân số tối giản thì 91 không chia hết 3n + 4 hay 3n + 4 không là ước của 91

Suy ra 3n + 4 không chia hết cho ước nguyên tố của 91. Từ đó suy ra:

3n + 4 không chia hết cho 7 suy ra n ≠ 7k +1.

3n + 4 không chia hết cho 13 suy ra n ≠ 13m + 3.

 Bài 4: Xét $5A=\frac{1}{5}+\frac{2}{{{5}^{2}}}+\frac{3}{{{5}^{3}}}+…+\frac{n}{{{5}^{n}}}+…+\frac{11}{{{5}^{11}}}$ Suy ra:

$\begin{align}& 4A=5A-A=\left( \frac{1}{5}+\frac{2}{{{5}^{2}}}+\frac{3}{{{5}^{3}}}+…+\frac{n}{{{5}^{n}}}+…+\frac{11}{{{5}^{11}}} \right)-\left( \frac{1}{{{5}^{2}}}+\frac{2}{{{5}^{3}}}+\frac{3}{{{5}^{4}}}+…+\frac{n}{{{5}^{n+1}}}+…+\frac{11}{{{5}^{12}}} \right) \\& 4A=\frac{1}{5}+\frac{1}{{{5}^{2}}}+\frac{1}{{{5}^{3}}}+…+\frac{1}{{{5}^{n}}}+…+\frac{1}{{{5}^{11}}}-\frac{11}{{{5}^{12}}} \\& 4A=B-\frac{11}{{{5}^{12}}} \\\end{align}$

Với biểu thức:

$\Rightarrow 4A=\frac{{{5}^{11}}-1}{{{4.5}^{11}}}-\frac{11}{{{5}^{12}}}=\frac{{{5}^{12}}-5-44}{{{4.5}^{12}}}\Rightarrow A=\frac{1}{16}\bullet \frac{{{5}^{12}}-49}{{{5}^{12}}}=\frac{1}{16}\bullet \left( 1-\frac{49}{{{5}^{12}}} \right)<\frac{1}{16}$

 Bài 5:  Hình vẽ

a)Theo đề bài ta có góc x’Ox = 180⁰ mà góc x’Oy và góc yOx kề bù. Mà góc x’Oy = 40⁰ ⇒ góc yOx = 180⁰ – 40⁰ = 140⁰  Suy ra: góc xOt < góc xOy hay tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy. Lại có: góc  xOz < góc xOt hay tia Oz nằm giữa hai tia Ot và Ox. Vậy tia Ot nằm giữa hai tia Oz và Oy.

b)Theo câu a ta có tia Ot nằm giữa hai tia Oz và Oy ⇒ Góc zOt + góc tOy = góc zOy.

Vì tia Ot nằm giữa hai tia Ox và Oy ⇒ Góc xOt + góc tOy = góc xOy hay góc tOy = 43⁰ ( vì góc xOt = 97⁰ và góc xOy = 140⁰).

Vì tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot ⇒ Góc xOz + góc zOt = góc xOt hay góc zOt = 43⁰ ( vì góc xOt = 97⁰ và góc xOy = 54⁰).

Suy ra góc tOy = góc zOt = 43⁰. Vậy tia Ot là tia phân giác của góc zOy.

Đề ôn thi HSG Toán 6 số 2

Câu1:   a. Tìm các số tự nhiên x, y. sao cho (2x+1)(y-5)=12

b.Tìm số tự nhiên sao cho 4n-5 chia hết cho 2n-1

Tìm tất cả các số B= 62xy427, biết rằng số B chia hết cho 99

Câu 2. a. chứng tỏ rằng $\frac{12n+1}{30n+2}$ là phân số tối giản.

Chứng minh rằng : $\frac{1}{{{2}^{2}}}$+$\frac{1}{{{3}^{2}}}$+$\frac{1}{{{4}^{2}}}$+…+$\frac{1}{{{100}^{2}}}$<1

Câu3:   Một bác nông dân mang cam đi bán. Lần thứ nhất bán 1/2số cam và 1/2 quả; Lần thứ 2 bán 1/3 số cam còn lạivà 1/3 quả ; Lần thứ 3 bán 1/4số cam còn lại và 3/4 quả. Cuối cung còn lại 24 quả . Hỏi số cam bác nông dân đã mang đi bán .

Câu 4:  Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào đồng quy. Tính số giao điểm của chúng.

ĐÁP ÁN

Câu1: a.(1đ):  Ta có 2x+1: y-5 Là ước của 12

12= 1.12=2.6=3.4                                                   (0,25đ)

do 2x+1 lẻ => 2x+1 =1 hoặc 2x+1=3                    (0,25đ)

2x+1=1 => x=0; y-5=12 => y=17

hoặc 2x+1=3=> x=1; y-5=4=>y=9                       (0,25đ)

vậy (x,y) = (0,17); (1,9)                                        (0,25đ)

b.(1đ)

Ta có 4n-5 = 2( 2n-1)-3              (0,25đ)

để 4n-5 chia hết cho2n-1 => 3 chia hết cho2n-1   (0,25đ)

=>* 2n-1=1 => n=1

*2n-1=3=>n=2                                                        (0,25đ)

vậy n=1;2                                                               (0,25đ)

(1đ) Ta có 99=11.9

B chia hết cho 99 => B chia hết cho 11và B chia hết cho 99                (0,25đ)

*B chia hết cho 9 => ( 6+2+4+2+7+x+y) chia hết cho 9

(x+y+3) chia hết cho 9=> x+y=6 hoặc x+y =15

B chia hết cho 11=> (7+4+x+6-2-2-y) chia hết cho11=> (13+x-y)chia hết cho 11

x-y=9 (loại) hoặc y-x=2                                         (0,25đ)

y-x=2 và x+y=6 => y=4; x=2                                (0,25đ)

y-x=2 và x+y=15 (loại) vậy B=6224427                (0,25đ)

Câu2: a. Gọi dlà ước chung của 12n+1và 30n+2 ta có

5(12n+1)-2(30n+2)=1 chia hết cho d    (0,5đ)

vậy d=1 nên 12n+1 và 30n+2 nguyên tố cùng nhau

do đó $\frac{12n+1}{30n+2}$là phân số tối giản               (0,5đ)

Ta có $\frac{1}{{{2}^{2}}}$<$\frac{1}{2.1}$=$\frac{A}{B}$-

$\frac{A}{B}$<$\overline{7a4b}$=$\frac{a}{b}$-$\frac{4}{7}<\,\frac{a}{b\ }\ <\frac{2}{3}$

…

$\overline{2a3b}$<$\frac{{{13.4}^{6}}.\left( 28\frac{7}{13}\,\,-\,\,27\frac{5}{18} \right)}{{{59.2}^{12}}\left( \frac{5}{14}\,\,+\,\frac{5}{84}\,\,+\,\,\frac{5}{204}\,\,+\frac{5}{374}\, \right)}$=$\overline{14a8b}$-$\frac{a}{b}$                 (0,5đ)

Vậy $\frac{4}{9}\,\,<\,\,\frac{a}{b}\,\,<\frac{10}{21}$+$\frac{\left( 3,75\ :\ \frac{1}{4}+2\frac{2}{5}\ \bullet \ 1,25 \right)-\left( \frac{7}{2}\ \bullet \ 0,8-1,2\ :\ \frac{3}{2}\  \right)}{\left( 1\frac{1}{2}\ +\ 0,75\  \right)\ x}=64$+…+  $\frac{1}{{{100}^{2}}}$<$\overline{xyzt}$-$\overline{xyzt}$+$\overline{1a8bc9d7}$-$1\frac{1}{3}$+ …+$\overline{12a4b1996}$-$\frac{11}{17\ }\ <\ \frac{a}{b}<\ \frac{23}{29}$

+$\frac{7}{36}$+…+  $\frac{1}{3}$<1-$\frac{4}{3}$=$\begin{align}& \overline{7a4b}\,\,\vdots \,4\Rightarrow \overline{4b}\,\vdots \,4\,\Rightarrow b\in \,\left\{ 0\,;\,4\,;\,8 \right\} \\& \overline{7a4b}\,\vdots \,7\Rightarrow \,\overline{a4b}\,\,\vdots \,7\,\Rightarrow \,\left( 7040\,+\,100a\,+\,b \right)\,\vdots \,7\Rightarrow \,\left( 2a\,+\,b\,+\,5 \right)\,\vdots \,7 \\& \bullet \,b\,=\,0\,\,\Rightarrow \,\,\left( 2a\,+\,5 \right)\,\vdots \,7\,\,\Rightarrow \,a\,\,\in \,\,\left\{ 1\,;\,8 \right\} \\& \bullet \,b\,=\,4\,\,\Rightarrow \,\,\left( 2a\,+\,9 \right)\,\vdots \,7\,\,\Rightarrow \,a\,\,=\,\,6 \\& \bullet \,b\,=\,8\,\,\Rightarrow \,\,\left( 2a\,+\,13 \right)\,\vdots \,7\,\,\Rightarrow \,a\,\,=\,\,4 \\\end{align}$<1                (0,5đ)

Câu 3.Số cam còn lại sau lần bán thứ 2 là :

(24+3/4): 3/3 =33(quả)               (1đ)

Số cam còn lại sau lần bán thứ nhất .

(33+1/3) : 2/3 =50 (quả) (1đ)

Số cam bác nông dân mang đi bán .

(50+1/2) : 1/2 =1001 ( quả) (1đ)

Câu 4(1đ)

. Mỗi đường thẳng cắt 100 đường tẳng còn lại  tạo nên 100 giao điểm . có 101 đường thẳng nên có 101.100 giao điểm . nhưng mỗi giao điểm đã được tính hai lần nên chỉ có 101.100:2= 5050 ( giao điểm)

Đề ôn thi HSG Toán 6 số 3

Bài 1:(1,5đ)  Tìm x

a) 5^x = 125;             b) 3^2x = 81 ;                             c)  5^2x-3 – 2.5² = 5².3

Bài 2: (1,5đ)

Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng: $\frac{5}{6}$$\frac{6}{5}$

Bài 3: (1,5đ)

Cho a là một số nguyên. Chứng minh rằng:

Nếu a dương thì số liền sau a cũng dương.

Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm.

Có thể kết luận gì về số liền trước của một số dương và số liền sau của một số âm?

Bài 4: (2đ)

Cho 31 số nguyên trong đó tổng của 5 số bất kỳ là một số dương. Chứng minh rằng tổng của 31 số đó là số dương.

Bài 5: (2đ)

Cho các số tự nhiên từ 1 đến 11 được viết theo thứ tự tuỳ ý sau đó đem cộng mỗi số với số chỉ thứ tự của nó ta được một tổng. Chứng minh rằng trong các tổng nhận được, bao giờ cũng tìm ra hai tổng mà hiệu của chúng là một số chia hết cho 10.

Bài 6: (1,5đ)

Cho tia Ox. Trên hai nữa mặt phẳng đối nhău có bờ là Ox. Vẽ hai tia Oy và Oz sao cho góc xOy và xOz bắng 1200. Chứng minh rằng:

Góc xOy = góc xOz = góc yOz

Tia đối của mỗi tia Ox, Oy, Oz là phân giác của góc hợp bởi hai tia còn lại

ĐÁP ÁN

Bài 1 (1,5đ)

a).5^x = 125 ó 5^x = 5³ => x= 3

b) 3^2x = 81 => 3^2x = 3⁴ => 2x = 4 => x = 2

c). 5^2x-3 – 2.5² = 5².3

ó5^2x: 5³ = 5².3 + 2.5²

ó5^2x: 5³ = 5².5

ó5^2x = 5².5.5³

ó 5^2x = 5⁶ => 2x = 6 => x=3

Bài 2. Vì $\left| a \right|$ là một số tự nhiên với mọi a $\frac{6}{5}$Z nên từ $\frac{10}{9}$ < 5 ta

=> $\frac{3}{4}$ = {0,1,2,3,4}.

Nghĩa là a ={0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4}. Biểu diễn trên trục số cácc số này đều  lớn hơn -5 và nhỏ hơn 5 do đó -5<a<5.

Bài 3.

a)Nếu a dương thì số liền sau cũng dương.

Ta có: Nếu a dương thì a>0  số liền sau a lớn hơn a nên cũng lớn hơn 0 nên là số dương

b)Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm.

Ta có: Nếu a âm thì a<0 số liền trước a nhỏ hơn a nên cũng nhỏ hơn 0 nên là số âm.

Bài 4 (2đ). Trong các số đã cho ít nhất có 1 số dương vì nếu trái lại tất cả đều là số âm thì tổng của 5 số

bất kỳ trong chúng sẽ là số âm trái với giả thiết.

Tách riêng số dương đó còn 30 số chi làm 6 nhóm. Theo đề bài tổng các số của mỗi nhóm đều là số dương nên tổng của 6 nhóm đều là số dương và do đó tổng của 31 số đã cho đều là số dương.

Bài 5 (2đ):

Vì có 11 tổng mà chỉ có thể có 10 chữ số tận cùng đều là các số từ  0 , 1 ,2, …., 9 nên luôn tìm được hai tổng có chữ số tận cùng giống nhau nên hiệu của chúng là một số nguyên có tận cùng là 0 và là số chia hết cho 10.

Bài 6 (1,5đ). Ta có: góc x’Oy = 60^o , góc x‘Oz = 60⁰ và tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz nên góc yOz =  yOx‘  + x‘Oz = 120^o .

Vậy Góc xOy = góc xOz = góc yOz

Do tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz và góc x‘Oy = góc x‘Oz nên Ox’ là tia phân giác của góc hợp bởi hai tia Oy, Oz. Tương tự tia Oy’ (tia đối của Oy) và tia Oz’ (tia đối của tia Oz) là phân giác của góc xOz và xOy

Đề ôn thi HSG Toán 6 số 4

Thời gian làm bài 120 phút

Câu 1.  Tính:

A = 4 + 2 ² + 2 ³ + 2 ⁴ +. . . + 2 ²⁰

tìm x biết:  ( x + 1) + ( x + 2) + . . . + ( x + 100) = 5750.

Câu 2.

Chứng minh rằng nếu:   $\vdots $$\vdots $ 11   thì  $\vdots $ $\vdots $ 11.

Chứng minh rằng:  10 ²⁸ + 8 $\vdots $ 72.

Câu 3.

Hai lớp 6A;6B cùng thu nhặt một số giấy vụn bằng nhau. Lớp 6A có 1 bạn thu được 26 Kg còn lại mỗi bạn thu được 11 Kg ; Lớp 6B có 1 bạn thu được 25 Kg còn lại mỗi bạn thu được 10 Kg . Tính số học sinh mỗi lớp biết rằng số giấy mỗi lớp thu được trong khoảng 200Kg đến 300 Kg.

Câu 4.

Tìm 3 số có tổng bằng 210, biết rằng $\overline{14a8b}$ số thứ nhất bằng$\overline{14a8b}$ số thứ 2 và bằng $\frac{2}{3}$ số thứ 3.

Câu 5.

Bốn điểm A,B,C,Dkhông nằm trên đường thẳng a . Chứng tỏ rằng đường thẳng a hoặc không cắt, hoặc cắt ba, hoặc cắt bốn đoạn thẳng AB, AC, AD, BC, BD, CD.

ĐÁP ÁN

Câu 1.   a).  2A = 8 + 2 ³ + 2 ⁴ + . . . + 2 ²¹.

=> 2A – A = 2 ²¹ +8 – ( 4 + 2 ² ) + (2 ³ – 2 ³) +. . . + (2 ²⁰ – 2 ²⁰).  = 2 ²¹.

b).     (x + 1) + ( x + 2 ) + . . .  . . . . . + (x + 100)  = 5750

=>       x + 1 + x + 2 + x + 3 + . . . . . . .. . .. . . . + x + 100     =  5750

=>   ( 1 + 2 + 3 + . .  . + 100) + ( x + x + x . . . . . . . + x )   =  5750

101 x 50                      +                100 x                          = 5750

100 x + 5050      =  5750

100 x     = 5750 – 5050

100 x     =  700

x     =  7

Câu 2. a) $\overline{14a8c}$ = 9999 $\overline{14a8c}$+$\overline{8c}$$\vdots $11.

b). 10 ²⁸ + 8 $\vdots $ 9.8    ta có 10 ²⁸ + 8 $\vdots $ 8 (vì có số tận cùng là 008)

nên 10 ²⁸ + 8 $\vdots $  9.8     vậy 10 ²⁸ + 8  $\vdots $ 72

Câu 3.  Gọi số giấy mỗi lớp thu được là x (Kg) thì ( x-26) $\vdots $ 11 và ( x-25) $\vdots $10.

Do đó (x-15) Î BC(10;11) và 200 x 300  => x-15 = 220  => x = 235.

Số học sinh lớp 6A là:  (235 – 26) : 11 + 1 = 20. hs

Số học sinh lớp 6B là:  (235 – 25) : 10 + 1 = 22 hs.

Câu 4.  Số thứ nhất bằng:   $\overline{14a8c}$: $\overline{a8c}$ = $\frac{21}{22}$ (số thứ hai)

Số thứ ba bằng:   $\overline{a8c}$: $\overline{14a80}$ = $\overline{14a78}$ (số thứ hai)

Tổng của 3 số bằng $\overline{14a78}$ (số thứ hai) = $\overline{14a81}$(số thứ hai)

Số thứ hai là : 210 : $\frac{70}{22}$ = 66 ;  số thứ nhất là: $\overline{14a79}$. 66 = 63 ; số thứ 3 là:$\overline{14a79}$.66 = 81

Câu5: Đường thẳng a chia mặt phẳng ra hai nửa mặt phẳng

Xét 3 trường hợp

a). Nếu cả 4 điểm A, B, CD thuộc cùng một nửa mặt phẳng thì a không cắt đoạn thẳng nào.

b). Nếu có 1 điểm ( Chẳng hạn điểm A thuộc nửa mặt phẳng) ba điểm B, C, D thuộc nửa mặt phẳng đối thì đường thẳng a cắt ba đoạn thẳng AB, AC, AD

c). Nếu có 2 điểm chẳng hạn (A và B) thuộc một nửa mặt phẳng hai điểm kia (C và D) thuộc mỗi mặt phẳng đối thì a cắt bốn đoạn thẳng AC, AD, BC, BD

Đề ôn thi HSG Toán 6 số 5

Bài 1 (3đ):

a) So sánh: 222³³³ và 333²²²

b) Tìm các chữ số x và y để số $\frac{4}{9}<\ \frac{2n+1}{5n+1}<\ \frac{10}{21}$ chia hết cho 36

c) Tìm số tự nhiên a biết 1960 và 2002 chia cho a có cùng số dư là 28

Bài 2 (2đ):

Cho : S = 3⁰ + 3² + 3⁴ + 3⁶ + … + 3²⁰⁰²

a) Tính S

b) Chứng minh S $\frac{4}{9}<\ \frac{2n+1}{5n+1}<\ \frac{10}{21}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ 7

Bài 3 (2đ):

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng khi chia số này cho 29 dư 5 và chia cho 31 dư 28

Bài 4 (3đ):

Cho góc AOB = 135⁰. C là một điểm nằm trong góc AOB biết  góc BOC = 90⁰

a) Tính góc AOC

b) Gọi OD là tia đối của tia OC. So sánh hai góc AOD và BOD

HƯỚNG DẪN

Bài 1 (3đ):

a) Ta có 222³³³ = (2.111)¹¹¹ = 8¹¹¹.(111¹¹¹)².111¹¹¹ (0,5đ)

333²²² = (3.111)^2.111 = 9¹¹¹.(111¹¹¹)² (0,5đ)

Suy ra: 222³³³ > 333²²²

b) Để số $\frac{4}{9}<\ \frac{2n+1}{5n+1}$ $\ \frac{2n+1}{5n+1}<\ \frac{10}{21}$ 36 ( 0 $\frac{a}{b}=\frac{5}{11}$x, y $\frac{\left( \frac{15}{4}\,.\,4-\frac{12}{5}.\frac{5}{4} \right)-\left( \frac{7}{2}.\frac{4}{5}-\frac{6}{5}.\frac{2}{3} \right)}{\frac{9}{4}x}=64\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,16=64\,.\,\frac{9}{4}x\,\,\,\,\Rightarrow \,\,x=\,\frac{1}{9}$ 9 , x, y $\overline{xyzt}$ N )

$\overline{xyzt}$       (0,5đ)

$\overline{y2}\vdots 4\Rightarrow y=\left\{ 1;3;5;7;9 \right\}$

(x+y+2) $\overline{xyzt}$ 9 => x+y = 7 hoặc x+y = 16 => x = $\overline{xyztxyzt}$     (0,25đ)

Vậy ta có các số: 16812; 14832; 12852; 10872; 19872; 17892         (0,25đ)

c) Ta có a > 28 => ( 2002 – 1960 ) $\overline{xyztxyzt}$ a => 42 $\overline{1a8bc9d7}$ a (0,5đ)

=> a = 42         (0,5đ)

Bài 2 (2đ):

a) Ta có 3²S = 3² + 3⁴ + … + 3²⁰⁰² + 3²⁰⁰⁴ (0,5đ)

Suy ra: 8S = 3²⁰⁰⁴ – 1 => S = $\overline{xyzt}$        (0,5đ)

b) S = (3⁰ + 3² + 3⁴ ) + 3⁶(3⁰ + 3² + 3⁴ ) + … + 3¹⁹⁹⁸(3⁰ + 3² + 3⁴ ) =

= (3⁰ + 3² + 3⁴ )( 1 + 3⁶ + … + 3¹⁹⁹⁸ )

= 91( 1 + 3⁶ + … + 3¹⁹⁹⁸ )  (0,75đ) suy ra: S $\frac{1}{3\ .\ 8}+\frac{1}{8\ .\ 13}+\frac{1}{13\ .\ 18}+…+\frac{1}{33\ .\ 38}=\frac{1}{5}\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{38} \right)$ 7 (0,25đ)

Bài 3 (2đ):  Gọi số cần tìm là: a

Ta có a = 29q + 5 = 31p +28  (0,5đ)  <=> 29(q – p) = 2p + 23

Vì 2p + 23 lẻ nên( q – p) lẻ => q – p $\frac{1}{3\ .\ 10}+\frac{1}{10\ .\ 17}+…+\frac{1}{31\ .\ 38}=\frac{1}{7}\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{38} \right)$ 1.  (0,75đ)

Vì a nhỏ nhất hay q – p = 1 => p = 3;

=> a = 121 (0,5đ)

Vậy số cần tìm là 121 (0,25đ)

Bài 4 (3đ):

a) Theo giả thiết C nằm trong góc AOB nên tia OC nằm giữa hai tia OB và OA

=> góc AOC + góc BOC = góc AOB

=> góc AOC = góc AOB – góc BOC => góc AOC = 1350 – 900 = 450

b) Vì OD là tia đối của tia OC nên C, O, D thẳng hàng, Do đó góc DOA + góc AOC = 1800(hai góc kề bù)

=> góc AOD = 1800 – góc AOC

= 1800 – 450 = 1350

góc BOD = 1800 – 900 = 900

Vậy góc AOD > góc BOD

Đề ôn thi HSG Toán 6 số 6

Thời gian làm bài 120 phút

Bài 1( 8 điểm

Tìm chữ số tận cùng của các số sau:

a)  57¹⁹⁹⁹                                   b) 93¹⁹⁹⁹

Cho A= 999993¹⁹⁹⁹ – 555557¹⁹⁹⁷. Chứng minh rằng A chia hết cho 5.

3 . Cho phân số $\frac{A}{B}=\frac{1}{5}:\ \frac{1}{7}=\frac{7}{5}\,\,\Rightarrow \,\,\frac{B}{A}\,=\,\frac{5}{7}$  (0 < a < b) cùng thêm m đơn vị (m > 0) vào tử và mẫu thì phân số mới lớn hơn hay bé hơn $\frac{\frac{55}{63}\,.\ 9.\ {{2}^{24}}}{{{2}^{24}}\left( x-4 \right)}=\frac{5}{7}$?

Cho số $\frac{55}{{{7}^{{}}}\left( x-4 \right)}=\frac{5}{7}\,\,\,\,\Rightarrow \frac{11}{x-4}=1\,\,\,\,\Rightarrow \,x\,=\,15$ có 12 chữ số . chứng minh rằng nếu thay các dấu * bởi các chưc số khác nhau trong ba chữ số 1,2,3 một cách tuỳ ‎ thì số đó luôn chia hết cho 396.

chứng minh rằng:

a) $\overline{12a4b1996}=N$; b) $\frac{1}{3}-\frac{2}{{{3}^{2}}}+\frac{3}{{{3}^{3}}}-\frac{4}{{{3}^{4}}}+…+\frac{99}{{{3}^{99}}}-\frac{100}{{{3}^{100}}}<\frac{3}{16}$

Bài 2: (2 điểm )

Trên tia Ox xác định các điểm A và B sao cho OA= a(cm), OB=b (cm)

a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b< a

b) Xác định điểm M trên tia Ox sao cho OM = $\frac{40}{31.39}+\frac{35}{39.46}+\frac{30}{46.52}+\frac{25}{52.57}$(a+b).

ĐÁP ÁN

Bài 1:

1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: ( 1 điểm )

Để tìm chữ số tận cùng của các số chỉ cần xét chữ số tận cùng của từng số :

a) 57¹⁹⁹⁹ ta xét 7¹⁹⁹⁹

Ta có: 7¹⁹⁹⁹ = (7⁴)⁴⁹⁹.7³ = 2041⁴⁹⁹. 343 Suy ra chữ số tận cùng bằng 3   ( 0,25 điểm )

Vậy  số 57¹⁹⁹⁹ có chữ số tận cùng là : 3

b) 93¹⁹⁹⁹ ta xét 3¹⁹⁹⁹

Ta có: 3¹⁹⁹⁹ = (3⁴)⁴⁹⁹. 3³ = 81⁴⁹⁹.27

Suy ra chữ số tận cùng bằng 7                                                                  (0,25 điểm )

Cho A = 999993¹⁹⁹⁹ – 555557¹⁹⁹⁷ . chứng minh rằng A chia hết cho 5

Để chứng minh A chia hết cho 5 , ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận cùng của từng số hạng.

Theo câu 1b ta có: 999993¹⁹⁹⁹ có chữ số tận cùng là 7

Tương tự câu 1a ta có: (7⁴)⁴⁹⁹.7 =2041⁴⁹⁹.7 có chữ số tận cùng là 7  ( 0,25 điểm )

Vậy A có chữ số tận cùng là 0, do đó A chia hết cho 5.                          ( 0,25 điểm )

3 (1 điểm )Theo bài toán cho a < b nên am < bm ( nhân cả hai vế với m)  ( 0,25 điểm )

Þ ab +am < ab+bm ( cộng hai vế với ab)                                             ( 0,25 điểm )

Þ a(b+m) < b( a+m)

Þ $\frac{40}{8}\left( \frac{1}{31}-\frac{1}{39} \right)+\frac{35}{7}\left( \frac{1}{39}-\frac{1}{46} \right)+\frac{30}{6}\left( \frac{1}{46}-\frac{1}{52} \right)+\frac{25}{5}\left( \frac{1}{52}-\frac{1}{57} \right)$

4.(1 điểm )

Ta nhận thấy , vị trí của các chữ số thay thế ba dấu sao trong số trên đều ở hàng chẵn và vì ba chữ số đó đôi một khác nhau, lấy từ tập hợp $5\left( \frac{1}{31}-\frac{1}{57} \right)=\frac{5.26}{31.57}$ nên tổng của chúng luôn  bằng 1+2+3=6.

Mặt khác 396 = 4.9.11 trong đó 4;9;11 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta cần chứng minh

A = $\frac{91}{19.31}+\frac{65}{19.43}+\frac{39}{23.43}+\frac{143}{69.19}$  chia hết cho 4 ; 9 và 11.

Thật vậy :

+A $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\,\frac{13}{19}\left( \frac{7}{31}+\frac{5}{43} \right)+\frac{13}{23}\left( \frac{3}{43}+\frac{11}{57} \right)=13\left( \frac{24}{31.19}+\frac{28}{43.57} \right)=\frac{13.52}{57}\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\frac{A}{B}=\frac{5.26}{31.57}:\frac{13.52}{57}=\frac{5}{62}$ 4 vì số tạo bởi hai chữ số tận cùng của A là 16 chia hết cho 4      ( 0,25 điểm )

+ A $\frac{4}{3}$ 9 vì tổng các chữ số chia hết cho 9 :

1+5+5+7+1+4+1+6+(*+*+*)=30+6=36 chia hết cho 9                          ( 0,25 điểm )

+ A $\frac{3}{4}$ 11 vì hiệu số giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ là 0, chia hết cho 11.

{1+5+7+4+1)-(5+1+6+(*+*+*)}= 18-12-6=0                                      ( 0,25 điểm )

Vậy A $\frac{7}{12}.4=\frac{7}{3}$ 396

5(4 điểm )

a) (2 điểm ) Đặt A= $\frac{7}{3}.2.21=98(km)$ (0,25 điểm )

Þ 2A= $\frac{11}{7}<\frac{a}{b}<\frac{23}{29}$                                                                       (0,5 điểm )

Þ 2A+A =3A = 1- $\frac{31+9a}{8}=\frac{32-1+8a+a}{8}$                                                                      (0,75 điểm )

Þ 3A < 1 Þ A < $\frac{31+9(8q+1)}{8}=9q+5\begin{matrix}{}  \\{}  \\\end{matrix}\begin{matrix}{} & {}  \\\end{matrix}\Rightarrow \frac{11}{17}<\frac{8q+1}{9q+5}<\frac{23}{29}$                 (0,5 điểm )

b) Đặt A= $\frac{a}{b}=\frac{23}{17}$ Þ3A= 1-$\frac{a}{b}=\frac{32}{25}$

(0,5 điểm )

Þ 4A = 1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{{{3}^{2}}}-\frac{1}{{{3}^{3}}}+…+\frac{1}{{{3}^{98}}}-\frac{1}{{{3}^{99}}}-\frac{100}{{{3}^{100}}}$ Þ 4A< 1-$\frac{7}{18}+\frac{1}{25}:\frac{\left( \frac{3}{5}+\frac{83}{200}-\frac{11}{200} \right):\frac{3}{7}}{49-18\frac{1}{4}+13\frac{5}{12}-16\frac{2}{17}}=\frac{7}{18}+\frac{1}{25}:\frac{\frac{56}{25}}{\frac{102}{2861}}$  (1)   (0,5 điểm )

Đặt B= 1-$\frac{7}{8}+\frac{1}{25}:\frac{56.2861}{25.102}=\frac{7}{8}+\frac{1.25.102}{25.2861.56}=\frac{7}{18}+\frac{2861}{56.102}=\frac{15247}{{{2.3}^{2}}.7.8.17}$  Þ 3B= 2+ $\frac{4}{31.7}+\frac{6}{7.41}+\frac{9}{10.41}+\frac{7}{10.57}=\frac{1}{7}\left( \frac{4}{31}+\frac{6}{41} \right)+\frac{1}{10}\left( \frac{9}{41}+\frac{7}{57} \right)=\frac{50}{31.41}+\frac{80}{41.57}=\frac{130}{31.57}$                       (0,5 điểm )

4B = B+3B= 3- $\frac{7}{19.31}+\frac{5}{19.43}+\frac{3}{23.43}+\frac{11}{23.57}=\frac{1}{19}\left( \frac{7}{31}+\frac{5}{43} \right)+\frac{1}{23}\left( \frac{3}{43}+\frac{11}{57} \right)=\frac{24}{31.43}+\frac{28}{43.57}=\frac{52}{31.57}$ < 3 Þ B < $\frac{A}{B}=\frac{130}{52}$  (2)

Từ (1)và (2) Þ 4A < B < $\overline{abc}+\overline{\deg }=127+465=592\vdots 37$ Þ A < $\overline{abc\deg }=127465$              (0,5 điểm )

Bài 2 ( 2 điểm )

a) (1 điểm )Vì OB <OA ( do b<a) nên trên tia Ox thì điểm B nằm giữa điểm O và điểm A. Do đó: OB +OA= OA

Từ đó suy ra: AB=a-b.

b)(1 điểm )Vì M nằm trên tia Ox và OM = $\overline{20x20x20x20x}=\overline{20x}.1001001$

= OB + $\overline{20x}\vdots 7$

Þ M chính là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AM = BM