101+ Bài bất đẳng thức hai số ôn thi HSG Toán THCS

101+ Bài bất đẳng thức hai số ôn thi HSG Toán THCS

Đề bài bất đẳng thức hai số ôn thi HSG Toán THCS

Bài 1. Với mọi a, b ta có: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2\text{a}b$ hoặc ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge -2\text{a}b$.

Bài 2. Cho $a,\,b>0$. Chứng minh rằng $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}$.

Bài 3. Cho các số thực dương $a,\,b$ thỏa mãn $ab=1$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\left( a+b+1 \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)+\frac{1}{a+b}$.

Bài 4. Cho x>y>0, xy=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\text{A}=\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{x-y}$.

Bài 5. Cho $x,\,y>0$ và ${{\text{x}}^{3}}+{{y}^{3}}+6\text{x}y\le 8$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$.

Bài 6. Cho $a,\,b\ge 0$ thỏa mãn $\text{a}+b\le 1$. Chứng minh rằng ${{\text{a}}^{2}}{{b}^{2}}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\le \frac{1}{32}$.

Bài 7. Cho biểu thức $P={{a}^{4}}+{{b}^{4}}-ab$. Với $a,\,b$ thỏa mãn ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+ab=3$.

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $P$.

Bài 8. Cho $x,\,y\ge 0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\frac{16}{\sqrt{\left( x+1 \right)\left( y+1 \right)}}$.

Bài 9. Cho $a\in \mathbb{R}$. Chứng minh rằng $\frac{{{\left( a-4 \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}+16}+\frac{{{\left( a+2 \right)}^{2}}}{{{a}^{2}}+8}\ge \frac{3}{2}$.

Bài 10. Cho $a,\,b\ge 0,\,a+b=1$.

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của $\text{S}=\sqrt{7\text{a}+9}+\sqrt{7b+9}$.

Bài 11. Cho $\text{a}+2b=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}$.

Bài 12. Cho $x,\,y>0,\,x+y\le 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $\text{A}=4\text{x}y+\frac{1}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{2}{xy}$.

Bài 13. Cho $x,\,y>0$ thỏa mãn $\frac{x}{2}+\frac{8}{y}\le 2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $K=\frac{x}{y}+\frac{2y}{x}$.

Bài 14. Cho $a,\,b>0,\,\left( \sqrt{a}+1 \right)\left( \sqrt{b}+1 \right)=4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $M=\frac{{{a}^{2}}}{b}+\frac{{{b}^{2}}}{a}$.

Bài 15. Cho $a,\,b\ge 0,\,{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2$. Chứng minh rằng $a\sqrt{3b+1}+b\sqrt{3\text{a}+1}+\sqrt{3\text{a}+2}.\sqrt{3b+2}\le 9$.

Bài 16. Cho $\text{x},\,y\ge 0$ và ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 2$.

Tìm giá trị lớn nhất của $P=\sqrt{x\left( 14\text{x}+10y \right)}+\sqrt{y\left( 14y+10\text{x} \right)}$.

Bài 17. Cho $x,\,y$ thỏa mãn $0<y<x\le 4,\,x+y\le 7$. Tìm giá trị lớn nhất của $M={{x}^{2}}+{{y}^{2}}$.

Bài 18. Cho $x,\,y$ thỏa mãn ${{\text{x}}^{2}}+{{y}^{2}}-xy=4$.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}$.

Bài 19. Cho $\text{a},\,b>0$ thỏa mãn $\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}=2$.

Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{1}{{{a}^{2}}+b+2b\sqrt{a}}+\frac{1}{{{b}^{2}}+a+2a\sqrt{b}}$.

Bài 20. Cho $a,\,b>0$. Chứng minh rằng $\frac{1}{2\text{a}+3b}-\frac{8}{\sqrt{2{{b}^{2}}+2{{\left( a+\frac{b}{2} \right)}^{2}}}+3}\ge -\frac{3}{2}$.

Bài 21. Cho $\text{a},\,b$ là các số thực dương thỏa mãn ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}=2\text{a}+b$.

Tìm giá trị lớn nhất của $P=a-b+ab$.

Bài 22. Cho $a,\,b>0$. Chứng minh rằng $\frac{2\sqrt{\text{a}}}{{{a}^{3}}+{{b}^{2}}}+\frac{2\sqrt{b}}{{{b}^{3}}+{{a}^{2}}}\le \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}$.

Bài 23. Cho $0<a,\,b<3$. Chứng minh rằng $\text{a}\left[ 1+\left( 3-a-b \right)\left( 1+b \right) \right]\le 4$.

Bài 24. Cho $\text{a},\,b\ge 0$. Chứng minh $\text{a}+b+2\sqrt{b\left( a+b \right)}\le \sqrt{2{{\left( 2\text{a}+b \right)}^{2}}+8{{b}^{2}}}$.

Bài 25. Cho $a,\,b\ge 0,\,a+b=1$. Chứng minh rằng $\sqrt{5\text{a}+4}+\sqrt{5b+4}\ge 5$.

Bài 26. Cho $\text{a},\,b>0,\,a+b=ab$. Chứng minh rằng $\frac{1}{{{a}^{2}}+2\text{a}}+\frac{1}{{{b}^{2}}+2b}+\sqrt{\left( 1+{{a}^{2}} \right)\left( 1+{{b}^{2}} \right)}\ge \frac{21}{4}$.

Bài 27. Cho $\text{a},\,b>0,\,ab=2$. Chứng minh rằng $P=\frac{1}{\sqrt{{{a}^{2}}+2}}+\frac{1}{\sqrt{{{b}^{2}}+2}}\le 1$.

Bài 28. Cho $a,\,b>0$ thỏa mãn ${{\left( a+b \right)}^{3}}+4\text{a}b\le 12$.

Chứng minh rằng $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+2020\text{a}b\le 2021$.

Bài 29. Cho $\text{a},\,b$ là các số dương thỏa mãn $ab=4$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{\left( a+b-2 \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}{a+b}$.

Bài 30. Cho $\text{x},\,y$ là các số tự nhiên thỏa mãn $x+y=99$.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P=\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}$.

Bài 31. Cho $\text{x},\,y$ là các số thực thỏa mãn ${{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2\text{x}y=24-5\text{x}-5y$.

Tìm giá trị lớn nhất của $P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x-y+2\text{x}y-2$.

Bài 32. Cho $\text{a},\,b>0,\,ab=1$. Chứng minh rằng $\frac{1}{{{\left( 1+a \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( 1+b \right)}^{2}}}\ge \frac{1}{2}$.

Bài 33. Cho $a,\,b\ge 0,\,ab=1$. Chứng minh rằng $\sqrt{2\left( {{a}^{2}}+1 \right)}+\sqrt{2\left( {{b}^{2}}+1 \right)}\le 2\left( a+b \right)$.

Bài 34. Cho $a,\,b>0$ và $\text{a}b=1$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{a}{\sqrt{{{a}^{4}}+3}}+\frac{b}{\sqrt{{{b}^{4}}+3}}$.

Chắc các bạn sẽ quan tâm Tuyển tập các bài toán về bất đẳng thức 3 số ôn thi HSG Toán 9 và vào chuyên 10

Bài 35. Cho $a,\,b$ là các số thực thỏa mãn ${{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}=a+b$.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P=2020\left( a+b \right)$.

Bài 36. Cho $\text{x},\,y>1$ thỏa mãn $\text{x}+y=xy$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{y-2}{{{x}^{2}}}+\frac{x-2}{{{y}^{2}}}$.

Bài 37. Cho $a,\,b\ne 0$ thỏa mãn $\text{a}\sqrt{2-{{b}^{2}}}+b\sqrt{2-{{a}^{2}}}=2$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-a-b$.

Bài 38. Cho ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1+xy;\,x,\,y\in \mathbb{R}$.

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $P={{x}^{4}}+{{y}^{4}}-{{x}^{2}}{{y}^{2}}$.

Bài 39. Cho $x,\,y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn ${{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}^{3}}+4{{\text{x}}^{2}}+{{y}^{2}}+6\text{x}+1=0$.

Tìm giá trị lớn nhất của ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}$.

Bài 40. Cho $x,\,y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn ${{x}^{2}}+xy-{{y}^{2}}=3$.

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $\text{A}={{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}}$.

Đang cập nhật tiếp

Hướng dẫn giải bất đẳng thức hai số ôn thi HSG Toán THCS

Bạn nào khó khăn bài nào vui lòng comment để được hướng dẫn