8 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán Nên tham khảo cho năm học 2022 – 2023

8 đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán Nên tham khảo cho năm học 2022 – 2023

ĐỀ SỐ 13 (THCS NGHĨA TÂN)

Bài 1. (2,0 điểm) Cho hai biểu thức: ${{A=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-3}}}$ và ${{B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}+\frac{3}{\sqrt{x}+2}+\frac{9 \sqrt{x}-10}{4-x}}}$, với ${{x \geq 0, x \neq 4, x \neq 9}}$

a) Tính giá trị của biểu thức ${{A}}$ khi ${{x=\frac{16}{9}}}$.

b) Rút gọn biểu thức ${{B}}$.

c) Cho ${{P=B}}$ : ${{A}}$. Tìm các giá trị của ${{x}}$ là số thực để ${{P}}$ nhận giá trị nguyên.

Bài 2. (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình hoạc phương trình :

Theo kế hoạch một công nhân phải hoàn thành 60 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nhưng do cải tiến kĩ thuật nên mỗi giờ người công nhân đó đã làm thêm 2 sản phẩm. Vì vậy, chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn dự định 30 phút mà còn làm dư 3 sản phẩm. Hỏi theo kế hoach, mỗi giờ người đó phải làm bao nhiêu sản phẩm?

Bài 3. (2,0 điểm) Cho hàm số ${{y=\left(m^{2}-2 m+2\right) x+3(d)}}$

a) Vẽ đồ thị hàm số khi ${{m=2}}$.

b) Xác định giá trị của ${{m}}$ để đường thẳng ${{(d)}}$ cắt đường thẳng ${{y=2 x+m-1}}$ tại một điểm trên trục tung.

c) Tìm ${{m}}$ để đường thẳng ${{(d)}}$ tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích lớn nhất.

Bài 4. (3,5 diểm) Cho nửa đường tròn ${{(O ; R)}}$ đường kính ${{A B}}$. Trên nửa mặt phẳng bờ ${{A B}}$ chứa nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến ${{A x}}$ của ${{(O), C}}$ là điểm bất kì thuộc ${{(O),(C \neq A, C \neq B)}}$. Tia ${{B C}}$ cắt ${{A x}}$ tại ${{D}}$.

a) Chứng minh rằng ${{A C \perp B D}}$ và ${{B C . B D=4 R^{2}}}$.

b) Tiếp tuyến tại ${{C}}$ của ${{(O)}}$ cắt đoạn ${{A D}}$ tại ${{M, O M}}$ cắt ${{A C}}$ tại ${{K}}$. Chứng minh rằng ${{O M / / B C}}$ và ${{M}}$ là trung điểm của ${{A D}}$.

c) Gọi ${{N}}$ là trung điểm của ${{B C, I}}$ là hình chiếu của ${{C}}$ trên ${{A B}}$. Chứng minh rằng ${{I N}}$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACI.

d) Xác định vị trí của điểm ${{C}}$ trên nửa đường tròn để chu vi của ${{\Delta C O I}}$ là lớn nhất.

Bài 5. (0,5 điểm) Cho ${{x, y}}$ là hai số thực dương thỏa mãn ${{x+y \geq 3}}$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ${{P=2 x^{2}+y^{2}+\frac{28}{x}+\frac{1}{y}}}$.

ĐỀ SỐ 14 (TRUỜNG THCS MẠC ĐĨNH CHI)

Bài 1.

1) Cho biểu thức ${{A=\frac{x-4}{\sqrt{x}-1}}}$. (Với ${{x \geq 0, x \neq 1}}$ ). Tìm giá trị của ${{x}}$ để ${{A=4}}$.

2) Rút gọn biểu thức ${{B=\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}\right): \frac{3}{\sqrt{x}+1}}}$ (Với ${{\left.x \geq 0, x \neq 4\right)}}$

3) Với các biểu thức ${{A}}$ và ${{B}}$ nói trên, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ${{\frac{18}{A \cdot B}}}$.

Bài 2. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Để hoàn thành một công việc theo dự định, cần một số công nhân làm trong số ngày nhất định. Nếu bớt đi 2 công nhân thì phải mất thêm 3 ngày mới hoàn thành công việc. Nếu thêm 5 công nhân thì công việc hoàn thành sớm được 4 ngày. Hỏi theo dự định cần bao nhiêu công nhân và làm bao nhiêu ngày?

Bài 3.

1) Giải hệ phương trình: ${{\left\{\begin{array}{l}\frac{80}{x+y}+\frac{48}{x-y}=7 \\ \frac{100}{x+y}-\frac{32}{x-y}=3\end{array}\right.}}$.

2) Cho phương trình ${{x^{2}-2(m-1) x-m^{2}+m-1=0(x}}$ là ẩn số)

a) Giải phương trình khi ${{m=2}}$.

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi số thực ${{m}}$.

Bài 4. Cho tam giác ${{A B C}}$ nhọn nội tiếp ${{(O)}}$, đường cao ${{A N}}$, CK của tam giác ${{A B C}}$ cắt nhau tại ${{H}}$.

1) Chứng minh tứ giác ${{B K H N}}$ là tứ giác nội tiếp. Xác định tâm ${{I}}$ của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BKHN.

2) Chứng minh: ${{K B H=K C A}}$.

3) Gọi ${{E}}$ là trung điểm của ${{A C}}$. Chứng minh ${{K E}}$ là tiếp tuyến của đường tròn ${{(I)}}$.

4) Đường tròn ${{(I)}}$ cắt ${{(O)}}$ tại ${{M}}$. Chứng minh ${{B M}}$ vuông góc với ${{M E}}$.

Bài 5. Giải phương trình ${{\frac{1}{\sqrt{x+3}}+\frac{1}{\sqrt{3 x+1}}=\frac{2}{1+\sqrt{x}}}}$.

ĐỀ SỐ 15 (THCS NAM TỪ LIÊM)

Bài 1: Cho hai biểu thức ${{P=\left(1+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right):\left(\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{2 \sqrt{x}}{x \sqrt{x}+\sqrt{x}-x-1}\right)}}$ với ${{x \geq 0 ; x \neq 1}}$

1) Rút gọn biểu thức ${{P}}$.

2) Tìm ${{{x}}}$ để ${{P=7}}$.

3) Tìm ${{{x}}}$ để ${{P<1}}$.

Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Dân số của một tỉnh là 420000 người. Sau một năm, dân số nội thành tăng ${{0,8 \%}}$ và dân số ngoại thành tăng ${{1,1 \%}}$ nên sau một năm dân số toàn tỉnh tăng ${{1 \%}}$. Tính dân số nội thành và dân số ngoại thành của tỉnh đó tại thời điểm hiện tại ?

Bài 3:

a) Giải hệ phương trình: ${{\left\{\begin{array}{l}\frac{7}{2 x+y}+\frac{4}{2 x-y}=74 \\ \frac{3}{2 x+y}+\frac{2}{2 x-y}=32\end{array}\right.}}$

b) Cho hệ phương trình sau ${{\left\{\begin{array}{c}(m-1) x-y=2 \\ m x+y=m\end{array}\right.}}$

Tìm ${{{m}}}$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất ${{({x}, {y})}}$ thỏa mãn ${{2 x+y<0}}$

Bài 4: Cho ${{({O} ; {R})}}$ có hai đường kính ${{{AB}}}$. Lấy điểm ${{{D}}}$ nằm trên cung tròn ( cung ${{{AD}}}$ nhỏ hơn cung ${{{DB}}}$ ). Lấy điểm ${{{E}}}$ đối xứng với ${{{A}}}$ qua ${{{D}, {BE}}}$ cắt ${{({O})}}$ tại ${{{K}}}$.

a) Chứng minh: ${{\Delta A E B}}$ cân.

b) Chứng minh: ${{A K \perp D O}}$

c) Lấy điểm I là điểm chính giữa cung ${{{BK}, {AI}}}$ cắt ${{{BD}}}$ tại ${{{H}}}$. Tìm tâm đường tròn nội tiếp tam giác KAB. Chứng minh rằng khi ${{{D}}}$ di chuyển trên ${{({O})}}$ thì đường thẳng ${{{KH}}}$ luôn đi qua một điểm cố định d) Cho ${{A K=8 {\text{cm}}, K B=6 {\text{cm}}}}$. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ${{{AKB}}}$ ?

Bài 5: Cho ${{x, y, z>0}}$ thỏa mãn ${{x+y+z=3}}$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : ${{P=\frac{x}{3+y-x}+\frac{y}{3+z-y}+\frac{z}{3+x-z}}}$

ĐỀ SỐ 16 (THPT THĂNG LONG)

Bài 1.  Cho các biểu thức ${{A=\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{x-\sqrt{x}+3}{x \sqrt{x}-1}}}$ và ${{B=\frac{x+2}{x+\sqrt{x}+1}}}$ với ${{x \geq 0, x \neq 1}}$

1) Tính giá trị của ${{B}}$ khi ${{x=\left(1+\frac{10+\sqrt{10}}{1+\sqrt{10}}\right)\left(\frac{10-\sqrt{10}}{\sqrt{10}-1}-1\right)}}$

2) Rút gọn biểu thức ${{{A}}}$

3) Tìm ${{x}}$ để ${{\frac{A}{1-B} \leq 1}}$

Bài 2. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phuơng trình:

Cho một hình chữ nhật khi tăng độ dài của chiều rộng lên ${{1 {\text{cm}}}}$ và chiều dài lên ${{4 {\text{cm}}}}$ thì diện tích hình chữ nhật tăng thêm ${{26 {\text{cm}}^{2}}}$ và khi tăng chiều rộng thêm ${{3 {\text{cm}}}}$ đồng thời giảm chiều dài đi ${{4 {\text{cm}}}}$ thì được hình vuông. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đã cho.

Bài 3.

1) Giải hệ phương trình: ${{\left\{\begin{array}{l}3|3 x-2|-2 y=4 \\ 2|3 x-2|+y=5\end{array}\right.}}$

2) Trong mặt phẳng tọ độ ${{{Oxy}}}$, cho đường thẳng ${{{d}: y=m x-\sqrt{m^{2}+1}}}$ với tham số ${{m \neq 0}}$.

a) Tìm ${{{m}}}$ để ba đường thẳng ${{{d}_{1}: y=x-2 ; d_{2}=2 x-2}}$ và đường thẳng ${{{d}}}$ đồng quy tại một điểm

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số ${{{m} \neq 0}}$ đường thẳng d luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

Bài 4. Cho điểm ${{{A}}}$ thuộc đường thẳng ${{{d}}}$ và đường thẳng ${{{d}_{1}}}$ vuông góc với ${{{d}}}$ tại ${{{A}}}$. Trên ${{{d}_{1}}}$ lấy điểm ${{{O}}}$ và vẽ đường tròn tâm ${{{O}}}$ bán kính ${{{R}}}$ sao cho ${{{R}<{OA}}}$. Cho ${{{M}}}$ là một điểm bất kì trên đường thẳng ${{{d}}}$, vẽ tiếp tuyến ${{{MB}}}$ với đường tròn ${{({O})}}$ ( ${{{B}}}$ là tiếp điểm). Vẽ dây ${{{BC}}}$ của đường tròn ${{({O})}}$ sao cho ${{{BC}}}$ vuông góc với ${{{OM}}}$ và cắt ${{{OM}}}$ tại ${{{N}}}$.

1) Chứng minh ${{M C}}$ là tiếp tuyến đường tròn ${{(O)}}$

2) Chứng minh năm điểm ${{{A}, {B}, {C}, {O}, {M}}}$ thuộc cùng một đường tròn

3) Chứng minh ${{B C . O M=2 B O . B M}}$. Xác định vị trí của điểm ${{{M}}}$ trên đường thẳng ${{{d}}}$ sao cho diện tích tứ giác ${{{OBMC}}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

4) Chứng minh rằng khi ${{{M}}}$ di chuyển trên đường thẳng ${{{d}}}$ thì điểm ${{{N}}}$ luôn thuộc đường thẳng cố định.

Bài 5.Cho các số thực ${{a, b, c \in\left[\frac{1}{2} ; 1\right] }}$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: ${{P=\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}}}$

ĐỀ SỐ 17 (THCS NAM TỪ LIÊM)

Bài 1: Cho hai biểu thức ${{A=\frac{x-9}{\sqrt{x}-3}}}$ và ${{B=\frac{3}{\sqrt{x}-3}+\frac{2}{\sqrt{x}+3}+\frac{x-5 \sqrt{x}-3}{x-9}}}$ với ${{x \geq 0 ; x \neq 9}}$

1) Khi ${{x=81}}$ tính giá trị của biểu thức ${{A}}$.

2) Rút gọn biểu thức ${{B}}$.

3) Với ${{x>9}}$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ${{P=A . B}}$

Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phuơng trình:

Hai máy cày làm việc trên một cánh đồng. Nếu hai máy cùng cày thì 10 ngày cày xong cả cánh đồng. Nhưng thực tế hai máy chỉ cùng cày 7 ngày đầu, sau đó máy thứ nhất cày nơi khác, máy thứ hai cày tiếp 9 ngày thì xong. Hỏi mỗi máy cày riêng thì sau bao lâu cày xong cả cánh đồng ?

Bài 3:

a) Giải hệ phương trình: ${{\left\{\begin{array}{l}3 \sqrt{x-1}+y=4 \\ \sqrt{x-1}-3 y=-2\end{array}\right.}}$

b) Cho hệ phương trình sau ${{\left\{\begin{array}{l}x+2 y=5 \\ m x+y=4\end{array}\right.}}$

Tìm ${{{m}}}$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất ${{{x}, {y}}}$ thỏa mãn ${{x=|y|}}$

Bài 4: Cho ${{({O} ; {R})}}$ có hai đường kính ${{{AB}}}$ và ${{{CD}}}$ vuông góc với nhau. Trên doạn thẳng ${{{AO}}}$ lấy điểm ${{{M}}}$ ( Điểm ${{{M}}}$ khác ${{{O}, {A}}}$ ). Đường thẳng ${{{CM}}}$ cắt đường tròn ${{({O})}}$ tại ${{{N}}}$. Qua ${{{M}}}$ kẻ đường thẳng ${{{d}}}$ vuông góc với ${{{AB}}}$. Kẻ tiếp tuyến với ${{({O})}}$ tại ${{{N}}}$ cắt đường thẳng ${{{d}}}$ tại ${{{P}}}$.

a) Chứng minh 4 điểm ${{{O}, {M}, {N}, {P}}}$ thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh rằng : ${{\Delta C M O \sim \Delta C D N}}$ và tích ${{{CM} . {CN}}}$ không đổi khi ${{{M}}}$ chuyển động trên đoạn AO.

c) Chứng minh: Tứ giác CMPO là hình bình hành.

d) Khi ${{{M}}}$ chuyển động trên đoạn ${{{OA}}}$ thì ${{{P}}}$ chuyển động trên đường nào ?

Bài 5: Cho ba số thực dương ${{{x}, {y}, {z}}}$ thỏa mãn ${{x {yz}=1}}$ Chứng minh rằng : ${{\frac{x y}{x^{2}+y^{2}+x y}+\frac{y z}{y^{2}+z^{2}+y z}+\frac{x z}{x^{2}+z^{2}+x z} \leq 1}}$

ĐỀ SỐ 18 (THCS THỐNG NHẤT)

Bài 1. (2,5 điểm). Cho biểu thức ${{P=\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right):\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\frac{1-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}\right)}}$.

a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị của ${{P}}$, biết ${{x=(1-\sqrt{3})^{2}}}$.

c) Tính giá trị của ${{x}}$ thỏa mãn: ${{P \sqrt{x}=6 \sqrt{x}-3-\sqrt{x-4}}}$.

Bài 2. (2,5 điểm). Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một hình chữ nhật có chu vi là 90 mét. Nếu tăng chiều rộng thêm 30m và giảm chiều dài đi ${{15 {\text{m}}}}$ thì được một hình chữ nhật mới có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu. Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật ban đầu.

Bài 3. (1,5 điểm). Cho hệ phương trình: ${{\left\{\begin{array}{l}x-m y=1 \\ m x+y=3\end{array}\right.}}$

a) Giải hệ phương trình khi ${{m=1}}$.

b) Chứng tỏ với mọi ${{m}}$ thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất.

Bài 4. (3,5 điểm). Cho đường tròn ${{(O)}}$, bán kính ${{R}}$, đường thẳng ${{d}}$ không qua ${{{O}}}$ và cắt đường tròn tại hai điểm ${{A, B}}$. Từ một điểm ${{C}}$ trên ${{d}}$ ( ${{A}}$ nằm giữa ${{B}}$ và ${{C}}$ ) kẻ hai tiếp tuyến ${{C M, C N}}$ với đường tròn ${{(M, N}}$ thuộc ${{(O), M}}$ và ${{O}}$ nằm cùng phía đối với ${{A B), M N}}$ cắt ${{O C}}$ tại ${{H}}$.

a) Chứng minh tứ giác CMON nội tiếp.

b) Chứng minh ${{C M^{2}=C A . C B}}$.

c) Chứng minh ${{O A B=C H A}}$.

d) Chọn một trong hai câu:

d.1) Tia ${{C O}}$ cắt ${{(O)}}$ tại hai điểm ${{I}}$ và ${{D}}$ ( ${{I}}$ nằm giữa ${{C}}$ và ${{D}}$ ). Chứng minh ${{I C . D H=D C . I H}}$.

d.2) Một đường thẳng đi qua ${{O}}$ và song song với ${{M N}}$ cắt các tia ${{C M, C N}}$ lần lượt tại ${{E}}$ và ${{F}}$. Xác định vị trí của ${{C}}$ trên ${{d}}$ sao cho diện tích tam giác ${{C E F}}$ nhỏ nhất.

ĐỀ SỐ 19 (THCS NGHĨA TÂN)

Bài 1. Cho hai biểu thức ${{A=\frac{x+2 \sqrt{x}}{x-1}}}$ và ${{B=\frac{2}{x}-\frac{2-x}{x(\sqrt{x}+1)}}}$ với ${{x>0, x \neq 1}}$

1) Tính giá trị biểu thức ${{A}}$ khi ${{x=25}}$.

2) Chứng minh ${{B=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}}}$.

3) Tìm ${{x}}$ để biểu thức ${{\frac{A}{B}>1}}$.

Bài 2. Giải bài toán bằng cách lập phưong trình hoặc hệ phưong trình:

Một đội xe dự định một số xe cùng loại để chở hết 60 tấn hàng. Khi khởi hành có 2 xe phải điều đi nhận hợp đồng khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm một tấn hàng. Tính số xe lúc đầu mà đội điều động (biết rằng số lương trên mỗi xe phải chở là nhu nhau).

Bài 3.

1) Giải hệ phương trình sau: ${{\left\{\begin{array}{l}x(x-2)-2(x-y)=2 \\ 2 x(x-2)+(4 x+y)=9\end{array}\right.}}$

2) Trong mặt phẳng tọa độ ${{{Oxy}}}$ cho đường thẳng ${{(d): y=2 x-2 m+2}}$ và Parabol ${{(P): y=x^{2}}}$

a) Xác định các tọa độ giao điểm của parabol ${{(P)}}$ và đường thẳng ${{(d)}}$ khi ${{m=-\frac{1}{2}}}$.

b) Tìm ${{m}}$ để đường thẳng ${{(d)}}$ cắt Parabol ${{(P)}}$ tại hai điểm phân biệt ${{A\left(x_{1} ; y_{1}\right) ; B\left(x_{2} ; y_{2}\right)}}$ sao cho ${{y_{1}+y_{2}=4\left(x_{1}+x_{2}\right)}}$.

Bài 4. Cho nửa đường tròn ${{(O)}}$, đường kính ${{B C}}$. Gọi ${{D}}$ là điểm cố định thuộc đoạn thẳng ${{O C(D \neq O ; D \neq C)}}$. Dựng đường thẳng ${{d}}$ cuông góc với ${{B C}}$ tại điểm ${{D}}$, đường thẳng ${{d}}$ cắt nửa đường tròn ${{(O)}}$ tại điểm ${{A}}$. Trên cung nhỏ ${{A C}}$ lấy điểm ${{M}}$ bất kì ${{(M \neq A ; M \neq C)}}$, tia ${{B M}}$ cắt đường thẳng ${{d}}$ tại điểm ${{K}}$, tia ${{C M}}$ cắt đường thẳng ${{d}}$ tại điểm ${{E}}$. Đường thẳng ${{B E}}$ cắt nửa đường tròn ${{(O)}}$ tại điểm ${{N(N \neq B)}}$.

1) Chứng minh: Tứ giác CDNE nội tiếp một đường tròn.

2) Chứng minh: ${{K E \cdot K D=K B \cdot K M}}$ và ba điểm ${{C, K, N}}$ thẳng hàng.

3) Tiếp tuyến tại ${{N}}$ của đường tròn ${{(O)}}$ cắt đường thẳng ${{{d}}}$ tại ${{F}}$. Chứng minh: ${{F}}$ là trung điểm của ${{K E}}$ và ${{{OF} \perp {MN}}}$. 4) Gọi ${{I}}$ là tâm đường tròn ngoại tiếp ${{\Delta B K E}}$. Chứng minh khi ${{M}}$ di chuyển trên cung nhỏ ${{A C}}$ thì ${{I}}$ di chuyển trên một đường thẳng cố định.

Bài 5. Giải phương trình: ${{x^{2}+\sqrt{2 x+1}+\sqrt{x-3}=5 x}}$.

ĐỀ SỐ 20 (THPT TRẦN NHÂN TÔNG)

Bài 1. (2 điểm): Cho biểu thức ${{P=\left(\frac{\sqrt{x}-x-3}{x \sqrt{x}-1}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\left(\frac{2 \sqrt{x}+3}{x+\sqrt{x}+1}\right)}}$ với ${{x \geq 0 ; x \neq 1}}$.

1) Tính giá trị của biểu thức ${{A=\frac{2}{2 \sqrt{x}+3}}}$ khi ${{x=9}}$.

2) Rút gọn biểu thức ${{P}}$.

3) Tìm giá trị của ${{x}}$ để 3P là số nguyên.

Bài 2. (2 điểm): Giải bài toán bằng cách lập phwơng trình hoặc hệ phwơng trình:

Một hình chữ nhật có diện tích bằng ${{120 {\text{m}}^{2}}}$. Nếu tăng chiều rộng thêm ${{2 {\text{m}}}}$ đồng thời giảm chiều dài đi ${{5 {\text{m}}}}$, thì thu được một hình vuông. Tìm chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu theo mét.

Bài 3.

1) Giải hệ phương trình: ${{\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{\sqrt{x-4}}+\frac{4}{y+2}=7 \\ \frac{5}{\sqrt{x-4}}-\frac{1}{y+2}=4\end{array}\right.}}$

2) Cho phương trình ${{x^{2}-2(m+1) x+m^{2}+2 m=0}}$ (ẩn ${{x}}$, tham số ${{m}}$ ).

a) Giải phương trình khi ${{m=1}}$.

b) Tìm ${{m}}$ để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn ${{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}}$ nhỏ nhất.

Bài 4. Cho đường tròn ${{({O})}}$ và dây cung ${{{BC}}}$ cố định không đi qua ${{{O}}}$. A là một điểm di động trên cung lớn ${{{BC}({AB}<{AC})}}$ sao cho tam giác ${{{ABC}}}$ nhọn. Các đường cao ${{{BE}}}$, ${{{CF}}}$ cắt nhau tại ${{{H}}}$. Gọi ${{{H}}}$ là giao điểm của đường thẳng ${{{EF}}}$ và đường thẳng ${{{BC}}}$.

1) CHứng minh tứ giác ${{B C E F}}$ nội tiếp.

2) Chứng minh KB.KC = KE. KF.

3) Gọi ${{M}}$ là gia điểm của ${{A K}}$ với đường tròn (O) ( ${{M}}$ khác ${{A}}$ ). Chứng minh ${{M H}}$ vuông góc với ${{A K}}$. 4) Chứng minh đường thẳng MH luôn đi qua một điểm cố định khi A di động trên cung lớn ${{{BC}}}$.

Bài 5. Với ${{a, b}}$ là các số thực thỏa mãn ${{a^{2}+b^{2}=4}}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ${{P=a^{4}+b^{4}+a b}}$.

Xem tiếp: 9 đề toán ôn thi vào 10 Các tỉnh miền bắc Năm học 2022 – 2023