Ba đường conic – Sách bài tập Toán 10 Cánh Diều Tập 2

$6 BA ĐƯỜNG CONIC

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Đường elip

a) Định nghĩa

Cho hai điểm ${{F}_{1}},{{F}_{2}}$ cố định có khoảng cách ${{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c(c>0)$.

Đrờng elip (còn gọi là elip) là tập hợp các điểm $M$ trong mặt phẳng sao cho $M{{F}_{1}}+M{{F}_{2}}=2a$, trong đó $a$ là số cho trước lớn hơn $c$.

Hai điểm ${{F}_{1}}$ và ${{F}_{2}}$ được gọi là hai tiêu điểm của elip.

b) Phương trình chính tắc

Khi chọn hệ trục toạ độ như Hinh 12 , phương trình chính tắc của đường elip $\left( E \right)$ là:

$\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1\text{, }\!\!~\!\!\text{ trong }\!\!~\!\!\text{  }\!\!\acute{\mathrm{o}}\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{ }a>b>0.\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$

${{F}_{1}}\left( -c;0 \right),{{F}_{2}}\left( c;0 \right)$ là hai tiêu điểm, ${{c}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}$.

Hinh 12

2. Đường hypebol

a) Định nghĩa

Cho hai điểm ${{F}_{1}},{{F}_{2}}$ cố định có khoảng cách ${{F}_{1}}{{F}_{2}}=2c(c>0)$.

Đirơng hypebol (còn gọi là hypebol) là tập hợp các điểm $M$ sao cho $\left| M{{F}_{1}}-M{{F}_{2}} \right|=2a$, trong đó $a$ là số dương cho trước nhỏ hơn $c$.

Hai điểm ${{F}_{1}}$ và ${{F}_{2}}$ được gọi là hai tiêu điểm của hypebol.

b) Phương trình chính tắc

Khi chọn hệ trục toạ độ như Hinh 13, phương trinh chính tắc của đường hypebol $\left( H \right)$ là:

$\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$, trong đó $a>0,b>0$.
${{F}_{1}}\left( -c;0 \right),{{F}_{2}}\left( c;0 \right)$ là hai tiêu điểm, ${{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$.

3. Đường parabol

Hinh 13

a) Định nghĩa

Cho một điểm $F$ cố định và một đường thẳng $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$ cố định không đi qua $F$.

Đuroòng parabol (còn gọi là parabol) là tập hợp các điểm $M$ trong mặt phẳng cách đều $F$ và $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$.

Điểm $F$ được gọi là tiêu điểm của parabol. Đường thẳng $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$ được gọi là đường chuẩn của parabol.

b) Phương trình chính tắc

Khi chọn hệ trục toạ độ như Hinh 14, phương trình chính tắc của đường parabol $\left( P \right)$ là:

${{y}^{2}}=2px(p>0)\text{. }\!\!~\!\!\text{ }$

$F\left( \frac{p}{2};0 \right)$ là tiêu điểm, $x+\frac{p}{2}=0$ là phương trỉnh đường chuẩn $\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }$.

Hinh 14

B. Ví dụ

Vấn đề 1 . Xác định phương trình chính tắc của ba đường conic

Vi dụ 1 Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của đường elip? Đường hypebol? Đường parabol?
a) $\frac{{{x}^{2}}}{{{7}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{7}^{2}}}=1$;
b) $\frac{{{x}^{2}}}{{{7}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{6}^{2}}}=1$
c) $\frac{{{x}^{2}}}{{{6}^{2}}}-\frac{{{y}^{2}}}{{{7}^{2}}}=1$
d) ${{y}^{2}}=5x$.

Giải

Dựa vào dạng phương trinh chính tắc của mỗi đường conic, ta có trường hợp b) là phương trỉnh đường elip, trường hợp c) là phương trình đường hypebol, trường hợp d) là phương trỉnh đường parabol.

Vấn đề 2 . Viết phương trình chính tắc của ba đường conic

Vi dụ 2 Lập phương trình chính tắc của mỗi đường conic trong các trường hợp sau:
a) Elip có một tiêu điểm là ${{F}_{2}}\left( 3;0 \right)$ và đi qua điểm $A\left( 11;0 \right)$;
b) Elip đi qua hai điểm $M\left( 0;3 \right)$ và $N\left( 3;-\frac{12}{5} \right)$;
c) Hypebol có một tiêu điểm là ${{F}_{2}}\left( 2;0 \right)$ và đi qua điểm $A\left( 1;0 \right)$;
d) Parabol có tiêu điểm là $F\left( 8;0 \right)$.

Giải

a) Gọi elip cần lập phương trình chính tắc là $\left( E \right)$. Elip $\left( E \right)$ có phương trình chính tắc là:

$\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a>b>0).$

Do ${{F}_{2}}\left( 3;0 \right)$ là một tiêu điểm của $\left( E \right)$ nên $c=3$.

Điểm $A\left( 11;0 \right)$ nằm trên $\left( E \right)$ nên $\frac{{{11}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{0}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$.

Do đó ${{a}^{2}}=121$, suy ra ${{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}=121-9=112$.

Vậy elip $\left( E \right)$ có phương trình chính tắc là: $\frac{{{x}^{2}}}{121}+\frac{{{y}^{2}}}{112}=1$.

b) Goi elip cần lập phương trinh chính tắc là $\left( E \right)$. Elip $\left( E \right)$ có phương trình chính tắc là:

$\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a>b>0)\text{. }\!\!~\!\!\text{ }$

Điểm $M\left( 0;3 \right)$ nằm trên $\left( E \right)$ nên $\frac{{{0}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{3}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$. Do đó ${{b}^{2}}=9$.

Điểm $N\left( 3;-\frac{12}{5} \right)$ nằm trên $\left( E \right)$ nên:

$\frac{{{3}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{\left( -\frac{12}{5} \right)}^{2}}}{9}=1\Leftrightarrow \frac{9}{{{a}^{2}}}+\frac{144}{225}=1\Leftrightarrow \frac{9}{{{a}^{2}}}=1-\frac{144}{225}=\frac{81}{225}\Leftrightarrow {{a}^{2}}=\frac{9.225}{81}=25$.

Vậy elip $\left( E \right)$ có phương trình chính tắc là: $\frac{{{x}^{2}}}{25}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1$.

c) Gọi hypebol cần lập phương trình chính tắc là $\left( H \right)$. Hypebol $\left( H \right)$ có phương trình chính tắc là:

$\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a>0,b>0).$

Do ${{F}_{2}}\left( 2;0 \right)$ là một tiêu điểm của $\left( H \right)$ nên $c=2$.

Điểm $A\left( 1;0 \right)$ nằm trên $\left( H \right)$ nên $\frac{{{1}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{{{0}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$.

Do đó ${{a}^{2}}=1$, suy ra ${{b}^{2}}={{c}^{2}}-{{a}^{2}}=4-1=3$.

Vậy hypebol $\left( H \right)$ có phương trinh chính tắc là: $\frac{{{x}^{2}}}{1}-\frac{{{y}^{2}}}{3}=1$.

d) Gọi parabol cần lập phương trình chính tắc là $\left( P \right)$. Parabol $\left( P \right)$ có phương trinh chính tắc là: ${{y}^{2}}=2px$.

Do $F\left( 8;0 \right)$ là tiêu điểm của $\left( P \right)$ nên $\frac{p}{2}=8$. Suy ra $p=16$.

Vậy parabol $\left( P \right)$ có phương trình chính tắc là: ${{y}^{2}}=32x$.

Vấn đề 3. Xác định một số yếu tố cơ bản của ba đường conic

Vi dụ 3 Cho elip $\left( E \right)$ có phương trình chính tắc: $\frac{{{x}^{2}}}{100}+\frac{{{y}^{2}}}{64}=1$.
a) Tìm các giao điểm của $\left( E \right)$ với hai trục toạ độ.
b) Tim hai tiêu điểm ${{F}_{1}},{{F}_{2}}$ của $\left( E \right)$.

Tải về file word

Giải

a) Gọi $A$ là giao điểm của $\left( E \right)$ với trục $Ox$, suy ra $A\left( x;0 \right)$. Vì $A$ thuộc $\left( E \right)$ nên

$\frac{{{x}^{2}}}{100}+\frac{{{0}^{2}}}{64}=1\Rightarrow x=10\text{ }\!\!~\!\!\text{ ho}\text{c }\!\!~\!\!\text{ }x=-10.\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$

Vậy $\left( E \right)$ giao với trục $Ox$ tại hai điểm có toạ độ $\left( -10;0 \right)$ và $\left( 10;0 \right)$.

Gọi $B$ là giao điểm của $\left( E \right)$ với trục $Oy$, suy ra $B\left( 0;y \right)$. Vi $B$ thuộc $\left( E \right)$ nên

$\frac{{{0}^{2}}}{100}+\frac{{{y}^{2}}}{64}=1\Rightarrow y=8\text{ }\!\!~\!\!\text{ ho}\text{c }\!\!~\!\!\text{ }y=-8.\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$

Vậy $\left( E \right)$ giao với trục $Oy$ tại hai điểm có toạ độ $\left( 0;-8 \right)$ và $\left( 0;8 \right)$.

b) Ta có: ${{a}^{2}}=100,{{b}^{2}}=64$, suy ra ${{c}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}=100-64=36$.

Vậy hai tiêu điểm của $\left( E \right)$ là ${{F}_{1}}\left( -6;0 \right),{{F}_{2}}\left( 6;0 \right)$.

Vi dụ 4 Cho hypebol $\left( H \right)$ có phương trinh chính tắc: $\frac{{{x}^{2}}}{49}-\frac{{{y}^{2}}}{33}=1$. Tim toạ độ các tiêu điểm của $\left( H \right)$.

Giải

Ta có: ${{a}^{2}}=49,{{b}^{2}}=33$, suy ra ${{c}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}=49+33=82$.

Vậy hai tiêu điểm của $\left( H \right)$ là ${{F}_{1}}\left( -\sqrt{82};0 \right),{{F}_{2}}\left( \sqrt{82};0 \right)$. Vi du 5 Cho parabol $\left( P \right)$ có phương trình chính tắc: ${{y}^{2}}=14x$. Tìm toạ độ tiêu điểm và viết phương trình đường chuẩn của $\left( P \right)$.

Giải

Ta có: $2p=14$, suy ra $p=7$.

Vậy tiêu điểm của $\left( P \right)$ là $F\left( \frac{7}{2};0 \right)$ và phương trỉnh đường chuẩn của $\left( P \right)$ là $x+\frac{7}{2}=0$.

Vấn đề 4. Tìm điểm thuộc đường conic thoả mãn điều kiện cho trước

Vi dụ 6 Tìm toạ độ điểm $M$ trong mỗi trường hợp sau:
a) Điễm $M$ thuộc elip $\left( E \right):\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{5}=1$ và có hoành độ bằng 2 .
b) Điểm $M$ thuộc hypebol $\left( H \right)$ : ${{x}^{2}}-\frac{{{y}^{2}}}{9}=1$ và có tung độ bằng 3 .
c) Điểm $M$ thuộc parabol $\left( P \right):{{y}^{2}}=4x$ và đường thẳng $d:x-2y=0$.

Giải

Gọi toạ độ điểm $M$ là $\left( m;n \right)$.

a) Điểm $M$ có hoành độ bằng 2 nên $m=2$.

Vì $M$ thuộc $\left( E \right)$ nên ta có: $\frac{{{2}^{2}}}{9}+\frac{{{n}^{2}}}{5}=1\Rightarrow n=\frac{5}{3}$ hoặc $n=-\frac{5}{3}$.

Vậy có hai trường hợp là $M\left( 2;\frac{5}{3} \right)$ và $M\left( 2;-\frac{5}{3} \right)$.

b) Điểm $M$ có tung độ bằng 3 nên $n=3$.

Vi $M$ thuộc $\left( H \right)$ nên ta có: ${{m}^{2}}-\frac{{{3}^{2}}}{9}=1\Rightarrow m=\sqrt{2}$ hoặc $m=-\sqrt{2}$.

Vậy có hai trường hợp là $M\left( \sqrt{2};3 \right)$ và $M\left( -\sqrt{2};3 \right)$.

c) Điểm $M$ thuộc đường thẳng $d$ nên $m-2n=0$ hay $m=2n$.

Vì $M$ thuộc $\left( P \right)$ nên ${{n}^{2}}=4m\Rightarrow {{n}^{2}}=8n\Rightarrow n=0$ hoặc $n=8$.

Vậy có hai trường hợp là $M\left( 0;0 \right)$ và $M\left( 16;8 \right)$.

Vấn đề 5 . Úng dụng

Vi dụ 7 Hinh 15 mô phỏng mặt cắt ngang của một chiếc đèn có dạng parabol trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ ( $x$ và $y$ tính bằng xăng-ti-mét). Hình parabol có chiều rộng giữa hai mép vành là $AB=40\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}$ và chiều sâu $h=30\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}$ ( $h$ bằng khoảng cách từ $O$ đến $AB$ ). Bóng đèn nằm ở tiêu điểm $S$. Viết phương trình chinh tắc của parabol đó.

Giải

Parabol có phương trình chính tắc là:

${{y}^{2}}=2px(p>0)\text{. }\!\!~\!\!\text{ }$

Vi $AB=40\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}$ và $h=30\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}$ nên $A\left( 30;20 \right)$.

Do $A\left( 30;20 \right)$ thuộc parabol nên ta có:

${{20}^{2}}=2p.30\Rightarrow p=\frac{20}{3}.$

Vậy parabol cóphương trình chính tắc là: ${{y}^{2}}=\frac{40}{3}x$.

Hinh 15

BÀl TÂP

Elip trong hệ trục toạ độ $Oxy$ nào dưới đầy có phương trinh chinh tắc dạng

$\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a>b>0)?$

A.

C.

B.

D.

Phương trinh nào sau đây là phương trình chinh tắc của elip?
$\frac{{{x}^{2}}}{{{3}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{3}^{2}}}=1$.
B. $\frac{{{x}^{2}}}{{{3}^{2}}}-\frac{{{y}^{2}}}{{{3}^{2}}}=1$.
C. $\frac{{{x}^{2}}}{6}+{{y}^{2}}=1$.
D. $\frac{{{x}^{2}}}{{{2}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{3}^{2}}}=1$. 61. Hypebol trong hệ trục toạ độ $Oxy$ nào dưới đây có phương trình chinh tắc dạng

$\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1(a>0,b>0)?$

A.

C.

B.

D.

Phương trình nào sau đây là phương trinh chính tắc của hypebol?
${{x}^{2}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{3}^{2}}}=1$.
B. $\frac{{{x}^{2}}}{16}-{{y}^{2}}=-1$.
C. $\frac{{{x}^{2}}}{25}-\frac{{{y}^{2}}}{9}=-1$.
D. ${{x}^{2}}-\frac{{{y}^{2}}}{2}=1$.

Parabol trong hệ trục toạ độ $Oxy$ nào dưởi đây có phương trình chính tắc dạng

${{y}^{2}}=2px(p>0)?$

A.

C.

B.

D.

Phương trình nào sau đây là phương trình chinh tắc của parabol?
${{y}^{2}}=-0,3x$.
B. ${{x}^{2}}=0,3y$.
C. ${{y}^{2}}=0,3x$.
D. ${{x}^{2}}=-0,3y$.

Lập phương trinh chính tắc của elip $\left( E \right)$ biết $\left( E \right)$ đi qua hai điểm

$P\left( 2;\frac{3\sqrt{3}}{2} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{  }\!\!~\!\!\text{ }Q\left( 2\sqrt{2};\frac{3\sqrt{2}}{2} \right)\text{. }\!\!~\!\!\text{ }$

Cho elip $\left( E \right)$ : $\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1$. Tìm điểm $P$ thuộc $\left( E \right)$ thoả mãn $OP=2,5$.

Lập phương trinh chính tắc của hypebol $\left( H \right)$, biết $\left( H \right)$ đi qua hai điểm $M\left( -1;0 \right)$ và $N\left( 2;2\sqrt{3} \right)$

Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc: $\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$ với $a>0,b>0$ và đường thẳng $y=n$ cắt $\left( H \right)$ tại hai điểm $P,Q$ phân biệt. Chứng minh hai điểm $P$ và $Q$ đối xứng nhau qua trục $Oy$.

Viết phương trinh chính tắc của parabol $\left( P \right)$, biết:
a) Phương trình đường chuẩn của $\left( P \right)$ là $x+\frac{1}{8}=0$;
b) $\left( P \right)$ đi qua điểm $M\left( 1;-8 \right)$.

Cho parabol $\left( P \right)$ có phương trình chính tắc: ${{y}^{2}}=2px(p>0)$ và đường thẳng $x=m$ $(m>0)$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm $I,K$ phân biệt. Chứng minh hai điểm $I$ và $K$ đối xứng nhau qua trục $Ox$.