Bài tập tuần 1 – Ôn HSG Toán 9

Bài tập tuần 1 – Ôn HSG Toán 9

Số – Đại số

1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) $2{{x}^{2}}-5x-12$ b) $2{{x}^{3}}+5{{x}^{2}}-9x-18$ c) $3{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}-11x-15$           d) ${{x}^{5}}+{{x}^{4}}+1$

2. Phân tích đa thức ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc$ thành nhân tử sau đó vận dụng giải quyết bài tập 3.

3. Giải các bài toán sau:

a) Cho $x+y+z=0$ chứng minh ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}=3xyz$

b) Cho a = b = c chứng minh ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=3abc$

c) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x – y)³ + (y – z)³ + (z – x)³.

d) Cho ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=3abc$ và $a+b+c\ne 0$, Tính giá trị $N=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{{{(a+b+c)}^{2}}}$

e) Cho ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}=3xyz$và $x+y+z\ne 0$, Rút gọn $A=\frac{xyz}{\left( x+y \right)\left( y+z \right)\left( z+x \right)}$

f) Phân tích thành nhân tử:$A={{(2x-y-z)}^{3}}+{{(2y-x-z)}^{3}}+{{(2z-x-y)}^{3}}$

g) Cho $x,y>0$ thỏa mãn $x^3+y^3+3 x^2 y^2=x^3 y^3$. Tính $T=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$.

4. “Số chính phương là số viết được dưới dạng bình phương của một số tự nhiên” để chứng minh một biểu thức là một số chính phương ta thường viết biểu thức đó dướng dạng bình phương.

a) Chứng minh n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương với mọi số tự nhiên n

b) Chứng minh tích của bốn số tự nhiện liên tiếp cộng thêm một đơn vị là số chính phương.

c) Chứng minh (x + 3)(x + 5)(x + 7)(x + 9) + 16 là số chính phương với mọi số nguyên x

d) Cho hai số chính phương liên tiếp. Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ.

e) Chứng minh rằng S = x²(x + 1)² + 2x² + 2x + 1 là số chính phương với mọi$x\in N$

f) Chứng minh rằng đa thức 2x² + 4y² + 4xy – 6x + 9 là tổng của hai số chính phương với mọi x, y thuộc $\mathbb{Z}$.

g) Chứng minh rằng tổng: $S=1+3+5+…+(2n+1)$ là số chính phương với mọi n là số tự nhiên.

HÌNH HỌC:

Ôn tại các trường hợp đồng dạng của tam giác, tam giác vuông vài làm các bài tập sau:

1. Cho tam giác nhọn ABC đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là chân đường cao kẻ từ H đến AB và AC. Chứng minh $AN.BC=AB.MN.$

2. Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. chứng minh rằng: $BH\cdot BD+CH\cdot CE=B{{C}^{2}}$

3. Cho hình bình hành ABCD, AC là đường chéo lớn. Vẽ CE vuông góc với AB (E thuộc đường thẳng AB), vẽ CF vuông góc với AD (F thuộc đường thẳng AD). Chứng minh rằng $AB.AE+AD.AF=A{{C}^{2}}.$

4. Cho $\Delta ABC$, đường thẳng d cắt AB, AC và trung tuyến AM theo thứ tự tại E, F, N. Chứng minh: $\frac{AB}{AE}+\frac{AC}{AF}=\frac{2AM}{AN}$.