Bài toán liên quan đến sự trao đổi nhiệt – Ôn thi HSG Lý THCS

Bài toán liên quan đến sự trao đổi nhiệt – Ôn thi HSG Lý THCS

Loại 1. Trao đổi nhiệt chưa dẫn đến sự chuyển thể :

Dựa vào phương trình cân bằng nhiệt: Qóa =Qhu

+ Nếu hỗn hợp có 2 chất: chất 1 có m₁, c₁, nhiệt độ ban đầu t₁ và chất 2 có m₂,

c₂, nhiệt độ ban đầu t₂. Khi cân bằng nhiệt, nhiệt độ hỗn hợp là t.

Ta có: ${{m}_{1}}.{{c}_{1}}\left( {{t}_{1}}-t \right)={{m}_{2}}{{c}_{2}}\left( t-{{t}_{2}} \right)\Rightarrow t=\frac{{{m}_{1}}{{c}_{1}}{{t}_{1}}+{{m}_{2}}{{c}_{2}}{{t}_{2}}}{{{m}_{1}}{{c}_{1}}+{{m}_{2}}{{c}_{2}}}$

+ Nếu có hỗn hợp gồm nhiều chất thì: $\sum{{{Q}_{toa}}=}\sum{{{Q}_{thu}}}$

Từ hai chất ta khái quát cho n chất như sau:

$t=\frac{{{m}_{1}}{{c}_{1}}{{t}_{1}}+{{m}_{2}}{{c}_{2}}{{t}_{2}}+…+{{m}_{n}}{{c}_{n}}{{t}_{n}}}{{{m}_{1}}{{c}_{1}}+{{m}_{2}}{{c}_{2}}+…+{{m}_{n}}{{c}_{n}}}$

Chú ý: Khi trộn 2 chất có nhiệt độ$~{{t}_{1}}<\text{ }{{t}_{2}}$ thì được hỗn hợp có nhiệt độ 1 luôn luôn

thỏa mãn điều kiện sau: ${{t}_{1}}<t<{{t}_{2}}$

Ví dụ 1: Người ta thả một thỏi đồng nặng 400g ở nhiệt độ 80°C vào 0,25 lít nước ở nhiệt độ 18°C. Hãy xác định nhiệt độ khi có cân bằng nhiệt. Cho nhiệt dung riêng của đồng c₁= 400 J/kg.K và nhiệt dung riêng của nước c₂ = 4200 J/kg.K). Biết khối lượng riêng của nước là D= 1000 kg/m³.

Hướng dẫn:

+ Gọi ${{m}_{1}},\text{ }{{t}_{1}}$và ${{m}_{2}},\text{ }{{t}_{2}}$ lần lượt là khối lượng, nhiệt độ nhiệt độ ban đầu của đồng và nước.

+ Khối lượng của 0,25 lít nước: ${{m}_{2}}=\text{ }D.V\text{ }=\text{ }0,25kg$

+ Gọi nhiệt độ khi cân bằng của hỗn hợp là t.

+ Ta có phương trình cân bằng nhiệt của hỗn hợp như sau:

$\begin{align}& {{m}_{1}}{{c}_{1}}\left( {{t}_{1}}-t \right)={{m}_{2}}{{c}_{2}}\left( t-{{t}_{2}} \right)\Leftrightarrow {{m}_{1}}{{c}_{1}}{{t}_{1}}-{{m}_{1}}{{c}_{1}}t={{m}_{2}}{{c}_{2}}t-{{m}_{2}}{{c}_{2}}{{t}_{2}} \\& \Rightarrow t=\frac{{{m}_{1}}{{c}_{1}}{{t}_{1}}+{{m}_{2}}{{c}_{2}}{{t}_{2}}}{{{m}_{1}}{{c}_{1}}+{{m}_{2}}{{c}_{2}}}=26,2{}^\circ C \\\end{align}$

Ví dụ 2: Để xác định nhiệt độ của một chiếc lò, người ta đốt trong nó một cục sắt có khối lượng m₁ = 0,3kg rồi thả nhanh vào trong bình chứa m₂ = 4kg nước có nhiệt độ ban đầu là t₂ = 8°C. Nhiệt độ cuối cùng trong bình là t = 16°C. Hãy xác định nhiệt độ của lò. Bỏ qua trao đổi nhiệt với vỏ bình. Nhiệt dung riêng của sắt là c₁ = 460J/(kg.K) và nhiệt dung riêng của nước c₂ = 4200 J/(kg.K).

Hướng dẫn:

Gọi ${{t}_{1}}$là nhiệt độ ban đầu của khối sắt, cũng chính là nhiệt độ của lò

+ Nhiệt lượng tỏa ra của cục sắt: Q_tỏa = ${{m}_{1}}.{{c}_{1}}\left( {{t}_{1}}\text{ }-\text{ }t \right)$

+ Nhiệt lượng thu vào của nước: Q_thu = ${{m}_{2}}.{{c}_{2}}\left( t-\text{ }{{t}_{2}} \right)$

+ Khi cân bằng nhiệt ta có: Q_tỏa =Q_{thu$\Leftrightarrow {{m}_{1}}{{c}_{1}}\left( {{t}_{1}}-t \right)={{m}_{2}}{{c}_{2}}\left( t-{{t}_{2}} \right)$}

Thay số ta có: $0,3.460.({{t}_{1}}\text{-}16)\text{ }=\text{ }4.4200.\left( 16-8 \right)\Rightarrow {{t}_{1}}=\text{ }990{}^\circ C$

Ví dụ 3: Trộn lẫn rượu và nước người ta thu được hỗn hợp nặng m = 140g ở nhiệt độ 36°C. Tính khối lượng mị của rượu và khối lượng ma của nước đã trộn. Biết rằng ban đầu rượu có nhiệt độ ${{t}_{1}}$= 19°C và nước có nhiệt độ ${{t}_{2}}$= 100°C, cho biết nhiệt dung riêng của rượu là 2500J/(kg.K); của nước là 4200J/(kg.K).

Hướng dẫn:

+ Theo bài ra tổng khối lượng của rượu và nước là 0,14kg nên:

${{m}_{1}}+\text{ }{{m}_{2}}=\text{ }0,14$

+ Nhiệt lượng do nước tỏa ra: ${{Q}_{2}}=\text{ }{{m}_{2}}{{c}_{2}}\left( {{t}_{2}}-t \right)=\text{ }{{m}_{2}}.4200.64\text{ }=268800{{m}_{2}}$

+ Nhiệt lượng rượu thu vào: ${{Q}_{1}}=\text{ }{{m}_{1}}{{c}_{1}}\left( t-{{t}_{1}} \right)=\text{ }{{m}_{1}}.2500.17\text{ }=42500{{m}_{1}}$

+ Theo PTCB nhiệt: ${{Q}_{1}}={{Q}_{2}}\Leftrightarrow 42500{{m}_{1}}=268800{{m}_{2}}\Rightarrow {{m}_{1}}=\frac{2688}{425}{{m}_{2}}  \left( 2 \right)$

+ Thay (2) vào (1) ta được: $\frac{2688}{425}{{m}_{2}}+{{m}_{2}}=0,14\Rightarrow {{m}_{2}}=0,02kg$

+ Từ (2) ta có: ${{m}_{1}}=\frac{2688}{425}{{m}_{2}}=\frac{2688}{425}.0,02=0,12kg$

Vậy ta phải pha trộn là 0,02kg nước vào 0,12kg rượu để thu được hỗn hợp nặng

0,14kg ở 36°C.

Ví dụ 4: Một cục đồng khối lượng m = 0,5kg được nung nóng đến nhiệt độ ${{t}_{1}}=\text{ }917{}^\circ C$rồi thả vào một chậu chứa m₂= 27,5kg nước đang ở nhiệt độ t₂ = 15,5°C. Khi cân bằng nhiệt độ thì nhiệt độ của cả chậu là t= 17°C. Hãy xác định nhiệt dung riêng của đồng. Nhiệt đung riêng của nước c₂= 4200J/(kg.K). Bỏ qua trao đổi nhiệt với nhiệt và môi trường.

Hướng dẫn:

Gọi ${{c}_{1}}$ là nhiệt đung riêng của cục đồng.

+ Nhiệt lượng tỏa ra của cục đồng: ${{Q}_{1}}=\text{ }{{m}_{1}}{{c}_{1}}\left( {{t}_{1}}\text{ }-t \right)=0,5.c.900\text{ }=\text{ }450{{c}_{1}}$

+ Nhiệt lượng thu vào của nước: ${{Q}_{2}}={{m}_{2}}{{c}_{2}}(t-{{t}_{2}})=\text{ }27,5.4200.1,5\text{ }=\text{ }173250$

+ Theo PTCB nhiệt: ${{Q}_{1}}={{Q}_{2}}\text{ }\Leftrightarrow 450{{c}_{1}}=173250\Rightarrow {{c}_{1}}=\text{ }3853J/\left( kg.K \right)$

Ví dụ 5: Có hai binh cách nhiệt, bình thứ nhất chứa ${{m}_{1}}$= 3kg nước ở ${{t}_{1}}$= 80°C, binh thứ hai chứa ${{m}_{2}}$ = 5kg nước ở ${{t}_{2}}$ = 20°C. Người ta rót một lượng nước có khối lượng m từ bình 1 vào bình 2. Khi binh 2 đã cân bằng nhiệt là t, thì người ta lại rót một một lượng nước có khối lượng đúng bằng m từ bình 2 sang bình 1, nhiệt độ ở bình ] sau khi cân bằng là t’ = 77,92°C.

a) Xác định lượng nước m đã rót ở mỗi lần và nhiệt độ cân bằng ở bình 2.

b) Nếu tiếp tục thực hiện lần thứ hai, tìm nhiệt độ cân bằng ở mỗi bình.

Hướng dẫn:

a) Giả sử khi rót lượng nước m từ bình 1 sang bình 2, nhiệt độ cân bằng của bình 2

là t. Phương trình cân bằng nhiệt:

$mc\left( t-{{t}_{1}} \right)={{m}_{2}}c\left( {{t}_{2}}-t \right)\text{ }\Leftrightarrow m\left( t-{{t}_{1}} \right)={{m}_{2}}\left( {{t}_{2}}-t \right)\text{ }\left( 1 \right)$

Tương tự lần rót tiếp theo nhiệt độ cân bằng ở bình 1 là t’ = 77,92°C và lượng nước trọng bình 1 lúc này chỉ còn (${{m}_{1}}$ – m) nên ta có phương trình cân bằng nhiệt là:

$\begin{align}& mc\left( t-{t}’ \right)=\left( {{m}^{1}}-m \right)c\left( {t}’-t \right)\Leftrightarrow m\left( t-{t}’ \right)=\left( {{m}_{1}}-m \right)\left( t{ }’-{{t}_{1}} \right) \\& \Leftrightarrow m\left( t-{t}’+t{ }’-{{t}_{1}} \right)={{m}_{1}}\left( t{ }’-{{t}_{1}} \right)\Rightarrow m\left( t-{{t}_{1}} \right)={{m}_{1}}\left( t{ }’-{{t}_{1}} \right)   \left( 2 \right) \\\end{align}$

Từ (1) và (2) ta có:

${{m}_{2}}\left( {{t}_{2}}-t \right)={{m}_{1}}\left( t{ }’-{{t}_{1}} \right)\Rightarrow t=\frac{{{m}_{1}}\left( {{t}_{1}}-t{ }’ \right)+{{m}_{2}}{{t}_{2}}}{{{m}_{2}}}=21,248{}^\circ C$

Thay t = 21,248°C vào (2) ta có: $m=\frac{{{m}_{1}}\left( t{ }’-{{t}_{1}} \right)}{\left( t-{{t}_{1}} \right)}=\frac{65}{612}kg\approx 0,1kg$

b) Từ (1) ta rút ra công thức tổng quát về nhiệt độ khi cân bằng của bình 2, khi rót

từ bình 1 sang bình 2: $t=\frac{m{{t}_{1}}+{{m}_{2}}{{t}_{2}}}{m+{{m}_{2}}}$

Từ (2) ta rút ra công thức tổng quát về nhiệt độ khi cân bằng của bình 1, khi rót từ bình 2 trở lại bình 1: $t{ }’=\frac{m\left( t-{{t}_{1}} \right)+{{m}_{1}}{{t}_{1}}}{{{m}_{1}}}$

Trong đó:

_{${{t}_{1}}$}  và ${{t}_{2}}$, là nhiệt độ ban đầu của các bình 1 và 2.

t là nhiệt độ khi cân bằng của bình 2 sau khi rót khối lượng m từ bình 1 sang bình 2.

 t là nhiệt độ khi cân bằng của bình 1 sau khi rót khối tượng m từ bình 2

sang bình 1.

Vì sau khi rót từ bình 1 sáng bình 2 rồi lại rót trở lại từ bình 2 sang bình 1, lúc này nhiệt độ của bình 1 và bình 2 lần lượt là ${{t}_{1}}$=77,92°C và ${{t}_{2}}=\text{ }21,248{}^\circ C$. Bây giờ ta thực hiện rót m = 0,1 kg nước từ bình 1 sang binh 2 thì khi cân bằng nhiệt độ của binh 2 là t

Ta có: $t=\frac{m{{t}_{1}}+{{m}_{2}}{{t}_{2}}}{m+{{m}_{2}}}=\frac{0,1.77,92+5.21,248}{0,1+5}=22,36{}^\circ C$

Bây giờ ta tiếp tục rót từ bình 2 sang bình 1 thì khi cân bằng nhiệt độ bình 1 là t’ Ta có: $t{ }’=\frac{m\left( t-{{t}_{1}} \right)+{{m}_{1}}{{t}_{1}}}{{{m}_{1}}}=\frac{0,1\left( 22,36-77,92 \right)+3.77,92}{3}=76,07{}^\circ C$

Loại 2. Trao đổi nhiệt có sự chuyển thể của các chất