Bài toán “Nửa đường tròn và ba tiếp tuyến” và các biến thể
Tạm thời mình gọi tên bài toán là “Nửa đường tròn và ba tiếp tuyến” có thể không chính xác lắm, bạn nào có cái tên phù hợp xin đề xuất
Bài toán xuất phát:
| Cho nửa đường tròn (O; R), đường kính AB và điểm M trên nửa đường tròn (M khác A và B). Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của nửa đường tròn lần lượt ở C và D. |
Trong hình vẽ ta có AC = CM, DM = DB , OM và CD vuông góc, AC và BD cùng vuông góc với AB, AM và MB vuông góc ta dễ dàng chứng minh được bài toán cơ bản sau:
Bài toán 1: (Đề là bài toán xuất phát)
| Chứng minh:
a) Góc COD bằng 90 b) AC.BD = R2. (cách hỏi khác chứng minh AC.BD không đổi khi M thay đổi trên nửa đường tròn) |
Các bạn hãy dùng phần mềm Sketchpad hoặc Cabri hay Geogebra để vẽ hình
Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB). Nối C và B cắt MH tại I. Di chuyển và đo MI, IH kì là thật chúng bằng nhau và hơn thế nữa AD cũng cùng đi qua I.
Ta tiếp tục có:
Bài toán số 2
| Kẻ MH vuông góc với AB tại H. Chứng minh CB, AD, MH đồng quy tại trung điểm của MH |
Bài toán này có thể có một số cách hỏi khác như sau:
| Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh
a) MI vuông góc với AB b) MI = IH (H là giao điểm của MI và AB) |
Bài toán số 3: (Bỏ bớt một tiếp tuyến)
Nếu bây giờ bỏ bớt đi một tiếp tuyến thì ta sẽ có được những bài toán hết sức thú vị và một trong những cách giải bài toán này là hãy thêm vào một tiếp tuyến thứ 3.
Đây là cách mà Đề thi HSG toán 9 TP Bảo Lộc – Năm học 2017 – 2018 đã khai thác:
| Đề thi HSG toán 9 TP Bảo Lộc – Năm học 2017 – 2018
Câu 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, nội tiếp nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Hai tiếp tuyến vẽ từ A và B với nửa đường tròn cắt nhau tại D. Chứng minh rằng DC đi qua trung điểm I của đường cao AH của tam giác ABC. |
Cũng bằng cách bỏ bớt một tiếp tuyến và thêm vào một yếu tố khác Đề Thi HKI toán 9 Lâm Đồng – Năm học 2017 – 2018 cũng khai thác rất tốt bài toán nửa đường tròn và ba tiếp tuyến trên. Và một trong các hướng giải quyết bài toán này cũng là kẻ thêm tiếp tuyến thứ ba
| Đề Thi HKI toán 9 Lâm Đồng – Năm học 2017 – 2018
Câu 10: Cho nửa đường tròn (O; R) có đường kính AB, bán kính OC vuông góc với AB. Gọi M là điểm trên nửa đường tròn (M không trùng với A và B). Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn đó tại E và cắt OC tại D. AE cắt BD tại F. Chứng minh EA.EF = R^2 |
Quả thật bài toán trên có rất nhiều biến thể phải không các bạn. Khi giải những bài toán thấy xuất hiện nửa đường tròn và hai tiếp tuyến hãy nghĩ đến việc kẻ thêm tiếp tuyến thứ 3 nhé có thể đó sẽ là điểm mấu chốt giúp giải quyết bài toán đó.
Bạn nào tìm được biến thể khác của bài toán hãy comment đóng góp để xây dựng thêm cho phong phú nhé!
