Các hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng (Nâng cao Toán 8)

Các hằng đẳng thức đáng nhớ và ứng dụng (Nâng cao Toán 8)

A. Một số kiến thức cần nhớ

Nhắc lại nhũng hằng đẳng thức đáng nhớ

Bình phương của một tổng: $(A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2}=(A-B)^{2}+4 A B$

Bình phương của một hiệu: $(A-B)^{2}=(B-A)^{2}=A^{2}-2 A B+B^{2}=(A+B)^{2}-4 A B$

Hiệu của hai bình phương: $A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)$

Lập phương của tổng: $(A+B)^{3}=A^{3}+3 A^{2} B+3 A B^{2}+B^{3}=A^{3}+B^{3}+3 A B(A+B)$

Lập phương của hiệu: $(A-B)^{3}=A^{3}-3 A^{2} B+3 A B^{2}-B^{3}=A^{3}-B^{3}-3 A B(A-B)$

Tổng hai lập phương: $\mathrm{A}^{3}+\mathrm{B}^{3}=(\mathrm{A}+\mathrm{B})\left(\mathrm{A}^{2}-\mathrm{AB}+\mathrm{B}^{2}\right)=(\mathrm{A}+\mathrm{B})^{3}-3 \mathrm{AB} \cdot(\mathrm{A}-\mathrm{B})$

Hiệu hai lập phương: $A^{3}-B^{3}=(A-B)\left(A^{2}+A B+B^{2}\right)=(A-B)^{3}+3 A B \cdot(A-B)$

\section{Một sốhằng đẳng thức tổng quát}

$$
\begin{aligned}
& a^{n}-b^{n}=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2} b+\ldots+a b^{n-2}+b^{n-1}\right) \\
& a^{2 k}-b^{2 k}=(a-b)\left(a^{2 k-1}+a^{2 k-1} b+\ldots+a^{2 k-3} b^{2}+b^{2 k-1}\right) \\
& a^{2 k+1}+b^{2 k+1}=(a+b)\left(a^{2 k}-a^{2 k-1} b+a^{2 k-2} b^{2}-\ldots+b^{2 k}\right) \\
& (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 c a
\end{aligned}
$$

\section{Nhị thức Newton}

$$
(a+b)^{n}=a^{n}+C_{n}^{1} a^{n-1} b+C_{n}^{2} a^{n-2} b^{2}+\ldots+C_{n}^{n-1} a b^{n-1}+b^{n}
$$

Trong đó $C_{\mathrm{n}}^{\mathrm{k}}=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)(\mathrm{n}-2) \ldots[\mathrm{n}-(\mathrm{k}-1)] }{1.2 .3 \ldots \mathrm{k}}$

\section{Cách xác định hệ số của khai triển Newton.}

– Cách 1. Dùng công thức $C_{\mathrm{n}}^{\mathrm{k}}=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)(\mathrm{n}-2) \ldots[\mathrm{n}-(\mathrm{k}-1)] }{1.2 .3 \ldots \mathrm{k}}$

Chẳng hạn hệ số của hạng tử $\mathrm{a}^{4} \mathrm{~b}^{3}$ trong khai triển của $(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{7}$ là

$$
\mathrm{C}_{7}^{4}=\frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{4 !}=\frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}=35
$$

Chú ý.

$$
\begin{aligned}
& +\mathrm{C}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{k}}=\frac{\mathrm{n} !}{\mathrm{n} !(\mathrm{n}-\mathrm{k}) !} \text { với quy ước } 0 !=1 \\
& + \text { Ta có } \mathrm{C}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{k}}=\mathrm{C}_{\mathrm{n}}^{\mathrm{n}-\mathrm{k}} \text { nên } \mathrm{C}_{7}^{4}=\mathrm{C}_{7}^{3}=\frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot}{3 !}=35
\end{aligned}
$$

– Cách 2. Dùng tam giác Patxcan

Trong tam giác hai cạnh bên gôm các số 1 và dòng $\mathrm{k}+1$ được thành lập từ dòng $\mathrm{k}(\mathrm{k} \geq 1)$.

Với $n=4$ thì ta có $(a+b)^{4}=a^{4}+4 a^{3} b+6 a^{2} b^{2}+4 a b^{3}+b^{4}$

Với $\mathrm{n}=5$ thì ta có $(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{5}=\mathrm{a}^{5}+5 \mathrm{a}^{4} \mathrm{~b}+10 \mathrm{a}^{3} \mathrm{~b}^{2}+10 \mathrm{a}^{2} \mathrm{~b}^{3}+5 \mathrm{ab}+\mathrm{b}^{5}$

Với $\mathrm{n}=6$ thì ta có $(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{6}=\mathrm{a}^{6}+6 \mathrm{a}^{5} \mathrm{~b}+15 \mathrm{a}^{4} \mathrm{~b}^{2}+20 \mathrm{a}^{3} \mathrm{~b}^{3}+15 \mathrm{a}^{2} \mathrm{~b}^{4}+6 \mathrm{ab}+\mathrm{b}^{6}$

B. Một số ví dạ minh họa.

Với các hẳng đẳng thưc đáng nhớ cũng nhu các hẳng đẳng thưc mở rộng ta có thẻ áp dụng khi giải một số dạng bài tập toán nhu sau.

+ Áp dụng trục tiêp các hằng đẳng thưc đề thục hiện tính phép tính, tính giá trị các biêu thúc số.

+ Áp dụng các hằng đẳng thúc để thu gọn biêu thúc và chưng minh các đẳng thúc.

+ Áp dụng các hằng đẳng thúc để giải bài toán tìm giá trị của biên. Xác định hẹ sốcủa đa thúc.

+ Bài toán tính giá trị biêu thức với các biên có đî̀u kiện. + Chưng minh bất đẳng thúc và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biêu thúc đại sô.

+ Áp dụng các hằng đẳng thúc để giải mọt số bài toán số học và tổ họp.

\section{Bài 1. Thực hiện phép tính.}
a) $\left(3-x y^{2}\right)^{2}-\left(2+x y^{2}\right)^{2}$
b) $9 x^{2}-(3 x-4)^{2}$
c) $\left(a-b^{2}\right)\left(a+b^{2}\right)$
d) $\left(a^{2}+2 a+3\right)\left(a^{2}+2 a-3\right)$
e) $(x-y+6)(x+y-6)$
f) $(y+2 z-3)(y-2 z-3)$
g) $(2 y-3)^{3}$
h) $(2-y)^{3}$
i) $(2 y-5)\left(4 y^{2}+10 y+25\right)$
j) $(3 y+4)\left(9 y^{2}-12 y+16\right)$
k) $(x-3)^{3}+(2-x)^{3}$
l) $(x+y)^{3}-(x-y)^{3}$

– Định hưóng tu duy. Sủ dụng các hằng đẳng thúc để khai triên các hạng tù rồi thu gọn da thúc

\section{Lời giải}
a) $\left(3-x y^{2}\right)^{2}-\left(2+x y^{2}\right)^{2}=9-6 x y^{2}+x^{2} y^{4}-4-4 x y^{2}-x^{2} y^{4}=5-10 x y^{2}$
b) $9 x^{2}-(3 x-4)^{2}=(3 x-3 x+4)(3 x+3 x-4)=4(6 x-4)=24 x-16$
c) $\left(a-b^{2}\right)\left(a+b^{2}\right)=a^{2}-b^{4}$
d) $\left(a^{2}+2 a+3\right)\left(a^{2}+2 a-3\right)=\left(a^{2}+2 a\right)^{2}-9=a^{4}+4 a^{3}+4 a^{2}-9$
e) $(x-y+6)(x+y-6)=x^{2}-(y-6)^{2}=x^{2}-y^{2}+12 y-36$
f) $(y+2 z-3)(y-2 z-3)=(y-3)^{2}-4 z^{2}=y^{2}-6 y-4 z^{2}+9$
g) $(2 y-3)^{3}=8 y^{3}-36 y^{2}+54 y-27$
h) $(2-y)^{3}=8-12 y+6 y^{2}-y^{3}$
i) $(2 y-5)\left(4 y^{2}+10 y+25\right)=8 y^{3}-125$
j) $(3 y+4)\left(9 y^{2}-12 y+16\right)=27 y^{3}+64$
k) $(x-3)^{3}+(2-x)^{3}=(x-3+2-x)\left[(x-3)^{2}-(x-3)(2-x)+(2-x)^{2}\right] $ $=-\left(x^{2}-6 x+9-2 x+x^{2}+6-3 x+4-4 x+x^{2}\right)=-3 x^{2}+15 x+19$
1) $(x+y)^{3}-(x-y)^{3}=x^{3}+3 x^{2} y+3 x y^{2}+y^{3}-x^{3}+3 x^{2} y-3 x y^{2}+y^{3}=6 x^{2} y+2 y^{3}$

Đọc tiếp: HĐT và ứng dụng phần 2