Chủ đề 10: bất đẳng thức và cực trị – Chuyên đề toán luyện thi vào 10

Chủ đề 10: bất đẳng thức và cực trị – Chuyên đề toán luyện thi vào 10

Bài 1. (Trường THCS Yên Hòa – Cầu Giấy 2020-2021)

Cho $x, y, z$ là các số thực thỏa mãn $x \geq 7, x+y \geq 12$ và $x+y+z=15$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=x^{2}+y^{2}+z^{2}$.

Bài 2. (Thi thử Trường Vinshool – Hà Nội 2020-2021)

Cho $a, b, c$ là các số dương thay đổi thỏa mãn $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=2020$.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{1}{2 a+3 b+3 c}+\frac{1}{3 a+2 b+3 c}+\frac{1}{3 a+3 b+2 c}$.

Bài 3. (Trưòng THCS Thạch bàn Hà nội 2020-2021)

Với $a, b, c$ là các số dương thoả mãn có $a b+b c=2 a c$. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{a+b}{2 a-b}+\frac{c+b}{2 c-b}$

Bài 4. (Truờng THCS Phúc Lợi Quận Long Biên 2020-2021)

Cho $a, b$ là các số không âm thỏa mãn $a^{2}+b^{2} \leq 2$. Chứng minh rằng:

$
a \sqrt{3 a(a+2 b)}+b \sqrt{3 b(b+2 a)} \leq 6
$

Bài 5. (Truờng THCS Phúc Đồng Quận Long Biên 2020-2021)

Cho hai số dương $a$ và $b$ thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$
P=\frac{1}{a^{4}+b^{2}+2 a b^{2}}+\frac{1}{b^{4}+a^{2}+2 b a^{2}} .
$

Bài 6. (Trương THCS Ngoc Thuy Long Biên 2020-2021)

Với $x, y$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $x \geq 2 y$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$
M=\frac{x^{2}+y^{2}}{x y}
$

Bài 7. (Truoòng THCS Ngoc Lâm Long Biên 2020-2021)

Cho $x ; y ; z>0$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$. Chứng minh rằng :

$
\frac{1}{2 x+y+z}+\frac{1}{x+2 y+z}+\frac{1}{x+y+2 z} \leq 1
$

Bài 8. (Truò̀ng THCS Lý Thái Tổ Cầu Giấy 2020-2021)

Cho biểu thức : $B=(1+x)\left(1+\frac{1}{y}\right)+(1+y)\left(1+\frac{1}{x}\right)$.

Với $x>0, y>0$ và $x^{2}+y^{2}=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $B$.

Bài 9. (Trường THCS Luơng Thế Vinh Cầu Giấy 2020-2021)

Cho hai số dương $x$ và $y$. Chứng minh rằng $\left(x+\frac{2}{y}\right) \cdot\left(\frac{y}{x}+2\right) \geq 8$ Bài 10. (Trương THCS Giang Biên 2020-2021)

Cho $a, b, c$ là các số dương và $a+b+c \leq \sqrt{3}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$
P=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+1}}
$

Bài 11. (Truờng THCS Gia Thuy Long Biên 2020-2021)

Cho các số thực dương $a, b, c$.Chứng minh rằng:

$
\frac{a^{2}}{\sqrt{3 a^{2}+8 b^{2}+14 a b}}+\frac{b^{2}}{\sqrt{3 b^{2}+8 c^{2}+14 b c}}+\frac{c^{2}}{\sqrt{3 c^{2}+8 a^{2}+14 c a}} \geq \frac{a+b+c}{5}
$

Bài 12. (Trường THCS Đức Giang 2020-2021)

Cho $x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn: $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 3$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{1}{1+x y}+\frac{1}{1+y z}+\frac{1}{1+z x}$

Bài 13. (Truờng THCS Dịch Vọng 2020-2021)

Cho $x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$
P=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\frac{2020}{x y+y z+z x}
$

Bài 14. (Truờng THCS Đa Trí Tuệ 2020-2021)

Cho ba số $a, b, c$ dương. Chứng minh $\frac{1}{a^{2}+b c}+\frac{1}{b^{2}+a c}+\frac{1}{c^{2}+a b} \leq \frac{a+b+c}{2 a b c}$.

Bài 15. (Trưòng THCS Cư Khôi – Long Biên 2020-2021)

Cho $a, b, c>0$ và $a+b+c=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$
A=\frac{a b}{\sqrt{c+a b}}+\frac{b c}{\sqrt{a+b c}}+\frac{c a}{\sqrt{b+c a}}
$

Bài 16. (Truò̀ng THCS Cầu Giấy – Cầu Giấy 2020-2021)

Cho các số thực dương $a, b$ thay đổi luôn thỏa mãn $\sqrt{a+3}+\sqrt{b+3}=4$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\sqrt{a}+\sqrt{b}$.

Bài 17. (Trương THCS Ái Mộ – Long Biên 2020-2021)

Cho hai số $x>0, y>0$ và $x+y=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$
M=\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{y^{2}}\right)
$

Bài 18. (Quận Hà Đông 2020-2021)

Cho ba số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn $x+y+z \geq 6$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{y^{3}+z^{3}}{y^{2}+z^{2}}+\frac{z^{3}+x^{3}}{z^{2}+x^{2}}$.

Bài 19. (Quận Long Biên 2020-2021)

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn $x+y+z=2020$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{x y}{\sqrt{2020 z+x y}}+\frac{y z}{\sqrt{2020 x+y z}}+\frac{z x}{\sqrt{2020 y+z x}}$.

Bài 20. Cho hai số thực $x, y$ thỏa mãn: $x+y+x y=\frac{7}{2}$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x^{2}+4 y^{2}+4 x y$.

Bài 21. (Huyện Thanh Oai 2020-2021)

Cho các số thực dương $x, y$ là những số thực thỏa mãn: $x+y+x y=8$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x^{2}+y^{2}$.

Bài 22. (Trưòng Nguyễn Trưòng Tộ – Hà Nội 2020-2021)

Cho $x>0, y>0, z>0$ và $x+2 y+3 z \geq 20$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+y+z+\frac{3}{x}+\frac{9}{2 y}+\frac{4}{z}$

Bài 23. (Trường Quỳnh Mai – Hà Nội 2020-2021)

Cho $x ; y$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y \leq 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$
A=4 x y+\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{2}{x y}
$

Bài 24. (Huyện Ba Vì – Hà Nội 2020-2021)

Cho $x, y, z>1$ thỏa mãn và $x+y+z=6$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{(x+1)^{2}}{y-1}+\frac{(y+1)^{2}}{z-1}+\frac{(z+1)^{2}}{x-1}$.

Bài 25. (Trưòng Thái Thịnh- Đống Đa 2020-2021)

Với $x, y \geq 0$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x^{2}+y^{2}+\frac{16}{\sqrt{(x+1)(y+1)}}$.

Bài 26. (Truờng Lương Thế Vinh – Hà Nội 2020-2021)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x}-\sqrt{4-x^{2}}$.

Bài 27. (Truoòng Quốc Oai – Hà Nội 2020-2021)

Cho các số thực dương $x, y$ thỏa mãn: $x+y=15$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A=\sqrt{x+1}+\sqrt{y+2}$

Bài 28. (Quận Long Biên 2020-2021)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $\left\{\begin{array}{c}a \geq b \geq c \\ a+b+c=3\end{array}\right.$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+3 b$

Bài 29. (Trường Đoàn Thị Điểm 2022-2023)

Cho hai số thực $x, y$ thỏa mãn $x \geq 1 ; x+y \leq 4$.

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=x^{2}+3 x y+4 y^{2}$.

Bài 30. (Truoòng Archimedes Academy 2022-2023) Xét các số thực dương $x, y$ thỏa mãn $x^{3}+y^{3}+x^{2}+y^{2}=2 x y(x+y)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $K=x^{3}+y^{3}+\frac{3}{x^{2}+y^{2}}+\frac{2}{(x+y)^{2}}$

Bài 31. (Trưòng Lưong Thế Vinh 2022-2023)

Cho $a, b$ là các số dương thỏa mãn $a b=4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{(a+b-2)\left(a^{2}+b^{2}\right)}{a+b}$

Bài 32. Cho các số không âm a, b, c thỏa mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3$.

Chứng minh rằng $\sqrt{\mathrm{a}^{2}+\mathrm{ab}+\mathrm{b}^{2}}+\sqrt{\mathrm{b}^{2}+\mathrm{bc}+\mathrm{c}^{2}}+\sqrt{\mathrm{c}^{2}+\mathrm{ca}+\mathrm{a}^{2}} \geq 3 \sqrt{3}$

Bài 33. Cho hai số dương $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ thỏa mãn $\mathrm{x}+\mathrm{y} \leq 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$
M=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right) \sqrt{1+x^{2} y^{2}}
$

Bài 34. Cho hai số thực dương $a$ và $b$ thay đổi thỏa mãn đồng thời các điều kiện: $|\mathrm{a}-2 \mathrm{~b}| \leq \frac{1}{\sqrt{\mathrm{a}}},|\mathrm{b}-2 \mathrm{a}| \leq \frac{1}{\sqrt{\mathrm{b}}}$. Tìm giá trị lớn nhất của tích $\mathrm{ab}$.

Bài 35. Với các số thức không âm $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ thỏa mãn $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức $\mathrm{P}=\sqrt{\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}+1}}+\sqrt{\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}+1}}+\sqrt{\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}+1}}$.

Bài 36. Cho $x$, $y$ là hai số không âm. Tìm $x, y$ sao cho:

$
\left(x^{2}+2 y+3\right)\left(y^{2}+2 x+3\right)=(3 x+y+2)(3 y+x+2)
$

Bài 37. Cho $\mathrm{a}>0 ; \mathrm{b}>0$ và $\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}=\mathrm{a}+\mathrm{b}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=a^{4}+b^{4}+\frac{2020}{(a+b)^{2}}$

Bài 38. Cho $x, y$ là hai số thực dương thỏa mãn $x+y \geq 3$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=2 x^{2}+y^{2}+\frac{28}{x}+\frac{1}{y}$.

Bài 39. Cho $x, y, z>0$ thỏa mãn $x+y+z=3$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $: P=\frac{\mathrm{x}}{3+\mathrm{y}-\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{y}}{3+\mathrm{z}-\mathrm{y}}+\frac{\mathrm{z}}{3+\mathrm{x}-\mathrm{z}}$

Bài 40. Cho các số thực $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} \in\left[\frac{1}{2} ; 1\right] $. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $\mathrm{P}=$

$
\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}
$

Bài 41. Cho ba số thực dương $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ thỏa mãn $\mathrm{xyz}=1$ Chứng minh rằng : $\frac{\mathrm{xy}}{\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+\mathrm{xy}}+\frac{\mathrm{yz}}{\mathrm{y}^{2}+\mathrm{z}^{2}+\mathrm{yz}}+\frac{\mathrm{xz}}{\mathrm{x}^{2}+\mathrm{z}^{2}+\mathrm{xz}} \leq 1$

Bài 42. Với $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ là các số thực thỏa mãn $\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}=4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=a^{4}+b^{4}+a b$

Bài 43. Cho $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ là hai số dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$
S=\frac{(x+y)^{2}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{(x+y)^{2}}{x y}
$

Bài 44. Cho $a, b, c$ là ba số dương thỏa mãn: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2$.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $Q=a b c$.

Bài 45. Cho các số thực không âm $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ thỏa mãn: $\mathrm{a}+\mathrm{b}=2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\sqrt{4 a+1}+\sqrt{4 b+1}$

Bài 46.Cho các số thực dương $a, b, c$. Chứng minh rằng:

$
\frac{a b}{a+b+2 c}+\frac{b c}{b+c+2 a}+\frac{c a}{c+a+2 b} \leq \frac{1}{4}(a+b+c)
$

Bài 47. Cho các số thực dương $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ thỏa mãn $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=1$.

Tính giá trị nhỏ nhất của bieur thức $\mathrm{P}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{\mathrm{abc}}$.

Bài 48. Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=a c+b c-2018 a b$.

Bài 49. Cho ba số $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ không âm và $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+\mathrm{z}^{2} \leq 3 \mathrm{y}$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $\mathrm{P}=\frac{1}{(\mathrm{x}+1)^{2}}+\frac{4}{(\mathrm{y}+2)^{2}}+\frac{8}{(\mathrm{z}+3)^{2}}$.

Bài 50. Tìm GTNN của biểu thức sau: $P=x+\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x}}($ voi $x>0)$