Chủ đề 13. Tập hợp số nguyên – Dạy thêm Toán 6

                                                CHỦ ĐỀ 13: TẬP HỢP SỐ NGUYÊN.

 

A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

B/ CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN.

DẠNG 1: Xác định số nguyên, biểu diễn số nguyên trên trục số. So sánh hai số nguyên.

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Cách biểu diễn số nguyên trên trục số

– Số nguyên dương a nằm bên phải điểm 0 và cách 0 là a đơn vị

– Số nguyên âm b nằm bên trái điểm 0 và cách 0 là $\left| b \right|=b$đơn vị

Cách nhận biết một số nguyên: Trong các số đã biết thì số thập phân và phân số thực sự không phải số nguyên

Để so sánh hai số nguyên

– Nếu a, b đều nguyên dương thì so sánh như đã biết về số tự nhiên

– Nếu a, b đều nguyên âm và $\left| a \right|<\left| b \right|$ thì a > b

– Nếu a nguyên âm, b nguyên dương thì a < b

BÀI TẬP MẪU.

Bài 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

1) –3 $\in \mathbb{N}$                              2) 7 $\in \mathbb{Z}$                                 3) 4,5 $\in \mathbb{Z}$

4) 0 $\in \mathbb{Z}$                                 5) $\mathbb{N}\in \mathbb{Z}$                           6) $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$

Lời giải

Số 7 và 0 là số nguyên nên 2) và 4) Đúng

Số –3 không là số tự nhiên; 4,5 không là số nguyên nên 1) và 3) Sai

Tập $\mathbb{N}$ là tập con của $\mathbb{Z}$ nên 6) Đúng 5) Sai

Bài 2. Vẽ một trục số

1) Biểu diễn các số 2; –3; 4; –6; 0; 3; 4 trên trục số

2) Cho biết những điểm cách điểm 0 bốn đơn vị biểu diễn những số nào? Nhận xét về những điểm cách đều 0 biểu diễn những số nào?

3) Khẳng định, trên trục số điểm nào ở gần điểm 0 hơn thì biểu diễn số nhỏ hơn có đúng không? Hãy phát biểu cho đúng.

Lời giải
2) Những điểm cách 0 bốn đơn vị biểu diễn số 4 và –4 (hai số đối nhau). Những điểm cách đều 0 biểu diễn hai số đối nhau.

3) Khẳng định Sai. Cần phát biểu lại như sau: Trên trục số (nằm ngang), đối với những điểm nằm bên phải điểm 0, điểm nào ở gần điểm 0 hơn thì biểu diễn số nhỏ hơn. Đối với những điểm nằm bên trái điểm 0, điểm nào gần điểm 0 hơn thì biêu diễn số lớn hơn.

Bài 3.

1) Sắp xếp các số nguyên sau theo thứ tự tăng dần: –12; 3; 15; 12; –7; –6; 0

2) Tìm số nguyên x sao cho $-3<x<9$

Lời giải

1) Sắp xếp các số nguyên sau theo thứ tự tăng dần:  –12; –7; –6; 0; 3; 12; 15.

2) Những số nguyên x cần tìm là: –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8

Bài 4.

1) Tìm số đối của mỗi số nguyên sau: –15; 0; 3; 7.

2) Tìm số liền sau của mỗi số nguyên sau: –13; 0; 1; 7

Lời giải

1) Số đối của –15 là 15; số đối của 0 là 0; số đối của 3 là –3; số đối của 7 là –7.

2) Số liền sau của một số hơn số đó 1 đơn vị, do đó: Số liền sau của mỗi số nguyên –13; 0; 1; 7 lần lượt là –12; 1; 2; 8.

Bài 5. Vẽ một trục số và cho biết:

a) Những điểm nằm cách điểm 3 bốn đơn vị.

b) Những điểm nằm giữa các điểm $-4$ và $2$.

Lời giải

a) Những điểm nằm cách điểm 3 bốn đơn vị: $7$ và $-1$

b) Những điểm nằm giữa các điểm $-4$ và $2$: $-3;-2;-1;\,0\,;\,1.$

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG.

Bài 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a) $6\in \mathbb{N}$ b) $-6\in \mathbb{N}$ c) $4,5\in \mathbb{Z}$

d) $0\in \mathbb{Z}$ e) $-6\in \mathbb{Z}$ g) $6\in \mathbb{Z}$

Bài 2. Điền kí hiệu thích hợp vào dấu ….

$-7\,\,….\,\,\mathbb{N}$                             $3\,\,….\,\,\mathbb{Z}$                               $0\,\,….\,\,\mathbb{N}$                               $-12\,\,….\,\,\mathbb{Z}$

$4,5\,\,….\,\,\mathbb{Z}$                            $\frac{1}{3}\,\,….\,\,\mathbb{N}$                        $-100\,\,….\,\,\mathbb{Z}$                             $10\,\,….\,\,\mathbb{Z}$

Bài 3. Vẽ một trục số

a) Biểu diễn các số 2; –3; 4; –6; 0; 3; –4 trên trục số.

b) Cho biết những điểm cách điểm 0 bốn đơn vị biểu diễn những số nào? Nhận xét về những điểm cách đều 0 biểu diễn những số nào?

c) Khẳng định “trên trục số điểm nào ở gần điểm 0 hơn thì biểu diễn số nhỏ hơn” có đúng không? Nếu không đúng hãy phát biểu lại cho đúng.

Bài 4. Tìm số nguyên x sao cho:

a) $-8<x<4$ b) $-2\le x\le 10$

c) $-7<x\le 1$ d) $-5\le x<1$

Bài 5. Sắp xếp các số nguyên sau theo thứ tự giảm dần:  $-20;\,10;\,\,0;\,\,-3;\,\,-5;\,\,17.$

Bài 6.

a) Tìm số đối của mỗi số nguyên sau: –298; 25; 0; –53; 71.

b) Tìm số liền sau của mỗi số nguyên sau: –63; 0; 11; –27

c) Tìm số liền trước của mỗi số nguyên sau: –110; 99; –999; 1000; 0.

HƯỚNG DẪN

Bài 1. Các khẳng định đúng là a), d), e), g). Các khẳng định sai là b), c).

Bài 2. Cách điền như sau:

– 7$\notin $N; 3$\in $Z; 0$\in $N; –12$\in $Z; 4,5$\notin $Z; $\frac{1}{3}$$\notin $N; –100$\in $Z; 10$\in $Z

Bài 3.

a) Biểu diễn các số 2, –3, 4, –6, 0, 3, –4 trên trục số như sau:

 

b) Những điểm cách đều điểm 0 bốn đơn vị biểu diễn là số 4 và –4.

Những điểm cách đều 0 biểu diễn hai số đối nhau.

c) Khẳng định sai. Chẳng hạn, trên trục số điểm –3 gần điểm 0 hơn điểm –6, nhưng –3 > –6.

Phát biểu đúng như sau:

     Trên trục số, những điểm nằm bên trái điểm 0, điểm nào gần 0 hơn thì lớn hơn, những điểm nằm bên phải điểm 0, điểm nào gần 0 hơn thì nhỏ hơn.

Bài 4.

a) $x\in \left\{ -7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3 \right\};$

b) $x\in \left\{ -2;-1;0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10 \right\};$

c) $x\in \left\{ -6;-5;-4;-3;-2;-1 \right\};$

d) $x\in \left\{ -5;-4;-3;-2;-1;0 \right\};$

Bài 5. Sắp xếp các số nguyên sau theo thứ tự giảm dần: 17, 10, 0, –3, –5, –20.

Bài 6.

a) Số đối của mỗi số nguyên –289, 25, 0, –53, 71 thứ tự là: 289, –25, 0, 53, –71.

b) Số liền sau của mỗi số nguyên –63, 0, 11, –27 thứ tự là: –62, 1, 12, –26.

c) Số liền trước của mỗi số nguyên –110, 99, –999, 1000, 0 thứ tự là: –1111, 98, –1000, 999, –1.

DẠNG 2: Giá trị tuyệt đối của số nguyên

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

* Với a nguyên thì $\left| a \right|$ là số tự nhiên

* Tìm số nguyên x sao cho $\left| x \right|$ = a

– Nếu a là số nguyên dương thì x = a hoặc a = –a.

– Nếu a = 0 thì x = 0.

– Nếu a là số nguyên âm thì không có số x nào thỏa mãn.

        * Tìm số nguyên x sao cho $\left| x \right|$<a (a là số nguyên dương) thì cần tìm x sao cho

                        $\left| x \right|\,\in ${0; 1; 2; … ; a – 1}. Tức là $x\in \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }0;\,\,\pm 1;\,\,\pm 2;\,….;\,\,\pm (a-1)\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$.

* Tìm số nguyên x sao cho $\left| x \right|$>a (a là số nguyên dương) thì cần tìm x sao cho

                        $\left| x \right|\,\in ${a+1; a + 2; … }. Tức là $x\in \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }\,\,\pm (a+1);\,\,\pm (a+2);\,….\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$.

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Tính giá trị của các biểu thức sau

1) $\left| -7 \right|-\left| -4 \right|$                          2) $\left| -8 \right|-\left| -3 \right|$

3) $\left| 32 \right|:\left| -4 \right|$                         4) $\left| 0 \right|+\left| -16 \right|-\left| -15 \right|$

Lời giải

1) $\left| -7 \right|-\left| -4 \right|$ = 7 – 4 = 3

2) $\left| -8 \right|-\left| -3 \right|$ = 8 – 3 = 5

3) $\left| 32 \right|:\left| -4 \right|$ = 32 : 4 = 8

4) $\left| 0 \right|+\left| -16 \right|-\left| -15 \right|$ = 0 + 16 – 15 = 1

Bài 2. Tìm số nguyên x biết rằng

1) $\left| x \right|=5$                                                2) $\left| x \right|=0$                                       3) $\left| x \right|=-5$

4) $\left| x \right|=10$ và x > 0                               5) $\left| x \right|=7$ và x < 0

Lời giải

1) $\left| x \right|=5\Leftrightarrow $ x = 5 hoặc x = $-5$

2) $\left| x \right|=0\Leftrightarrow x=0$

3) $\left| x \right|=-5$; do $\left| x \right|>0$ nên không tồn tại số x nào

4) $\left| x \right|=10\Leftrightarrow x=10$hoặc  x = $-10$ vì x> 0 nên x = 10

5) $\left| x \right|=7\Leftrightarrow x=7$ hoặc  x = $-7$ vì x < 0 nên x = $-7$

Bài 3. Tìm số nguyên x và biểu diễn chúng trên trục số:

1) $\left| x \right|<5$                                                2) $\left| x \right|\ge 10$

Lời giải

1) Cách 1:$\left| x \right|<5$ nên $\left| x \right|$ = 0; 1; 2; 3; 4.

– Với $\left| x \right|=0$ thì $x=0$

– Với $\left| x \right|=1$ thì $x=\pm 1$

– Với $\left| x \right|=2$ thì $x=\pm 2$

– Với $\left| x \right|=3$ thì $x=\pm 3$

– Với $\left| x \right|=4$ thì $x=\pm 4$

Biểu diễn trên trục số

            Cách 2:$\left| x \right|<5\Leftrightarrow -5<x<5$và x là số nguyên nên: $x\in \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }0;\,\,\pm 1;\,\,\pm 2;\,\,\pm 3;\,\,\pm 4\}$

2) $\left| x \right|\ge 10$ nên $x\ge 10$ hoặc $x\le -10$ và x là số nguyên nên

$x\in \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }….;\,-13;\,-12;\,-11;\,\,\,11;\,\,12;\,\,13;….\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }$

Biểu diễn trên trục số:

Bài 4: Tìm $x\in \mathbb{Z}$ biết: $-2000<\,\,|x|\,\,\le \,\,2.$

Lời giải

$x\in \mathbb{Z}$ thì $|x|\in \mathbb{N}$

Ta có: $|x|\,\,=0;\,\,1;\,\,2$=> $x=0;\,\,1;-1;\,\,2;\,\,-2$

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1. Tìm giá trị của các biểu thức sau

a) $\left| -5 \right|+\left| 3 \right|+\left| 15 \right|+\left| -1 \right|$ b) $\left| -9 \right|+\left| -7 \right|+\left| -5 \right|+\left| -3 \right|+\left| -1 \right|$

Bài 2.

a) Tìm số nguyên âm a sao cho $\left| a \right|=50$.

b) Tìm số nguyên dương b sao cho$\left| b \right|=15$.

Bài 3. Tìm các số nguyên x và biểu diễn chúng trên trục số

a) $2<\left| x \right|<10$ b) $\left| x \right|\le 7$             c) $\left| x \right|\ge 5$

Bài 4. So sánh các cặp số sau

a) $\left| -12 \right|$ và $\left| 12 \right|$ b) $\left| -11 \right|$ và $\left| -13 \right|$ c) $\left| -15 \right|$ và $\left| 14 \right|$

Bài 5. Tìm $x\in \mathbb{Z}$ để $|x|+1963$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 6. Tìm $x,\,y\in \mathbb{Z}$ biết: $|x|+|y|=2$

HƯỚNG DẪN

Bài 1.

a) $\left| -5 \right|+\left| 3 \right|+\left| -15 \right|+\left| -1 \right|=5+3+15+1=24;$

b) $\left| -9 \right|+\left| -7 \right|+\left| -5 \right|+\left| -3 \right|+\left| -1 \right|=9+7+5+3+1=25.$

Bài 2. a) $a=-50;$                    b) $b=15;$                                                          c) $c=10$ hoặc $c=-10.$

Bài 3.

a) $x\in \left\{ \pm 3;\,\,\pm 4;\,\,\pm 5;\,\,\pm 6;\,\,\pm 7;\,\,\pm 8;\,\,\pm 9 \right\}$

 

b) $x\in \left\{ 0;\,\,\pm 1;\,\,\pm 2;\pm 3;\,\,\pm 4;\,\,\pm 5;\,\,\pm 6;\,\,\pm 7 \right\}$

 

c) $x\in \left\{ \,\,\pm 5;\,\,\pm 6;\,\,\pm 7;\pm 8;… \right\}$

 

Bài 4. a) $\left| -12 \right|=\left| 12 \right|;$                    b) $\left| -11 \right|<\left| -13 \right|;$         c) $\left| -15 \right|>\left| 14 \right|.$

Bài 5: $x\in \mathbb{Z}$ thì $|x|\in \mathbb{N}$

Ta có $|x|+1963\ge 1963.$ Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow x=0.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $|x|+1963$ là $1963$.

Bài 6: Ta có: $|x|\in \mathbb{N};\,\,|y|\in \mathbb{N}$

 

$|x|$	$0$	$2$	$1$
$|y|$	$2$	$0$	$1$
$x$	$0$	$\pm 2$	$\pm 1$
$y$	$\pm 2$	$0$	$\pm 1$