Chủ đề 5. Luỹ thừa với số mũ tự nhiên – Dạy thêm Toán 6

Chủ đề 5. Luỹ thừa với số mũ tự nhiên – Dạy thêm Toán 6

CHỦ ĐỀ 5: LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN

A/Kiến thức cơ bản:

Lũy thừa bậc n của số a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a

${{a}^{n}}=\underbrace{a.a…a}_{{}}$ ( n $\ne $0). a gọi là cơ số, no gọi là số mũ.

Nhân hai luỹ thừa cùng cơ số ${{a}^{m}}.{{a}^{n}}={{a}^{m+n}}$

Chia hai luỹ thừa cùng cơ số ${{a}^{m}}:{{a}^{n}}={{a}^{m-n}}$( a$\ne $0, m $\ge $n)

Quy ước a⁰ = 1 ( a$\ne $0)

Luỹ thừa của luỹ thừa ${{\left( {{a}^{m}} \right)}^{n}}={{a}^{m\cdot n}}$

Luỹ thừa mộttích ${{\left( a.b \right)}^{m}}={{a}^{m}}.{{b}^{m}}$

Một số luỹ thừa của 10:

– Một nghìn:          1 000 = 10³

– Một vạn:   10 000 = 10⁴

– Một triệu: 1 000 000 = 10⁶

– Một tỉ:                 1 000 000 000 = 10⁹

Tổng quát: nếu n là số tự nhiên khác 0 thì: 10ⁿ = 1000…00 (có n chữ số 0)

Thứ tự thực hiện phép tính:

Trong một biểu thức có chứa nhiều dấu phép toán ta làm như sau:

– Nếu biểu thức không có dấu ngoặc chỉ có các phép cộng, trừ hoặc chỉ có các phép nhân chia ta thực hiện phép tính theo thứ tự từ trái sang phải.

– Nếu biểu thức không có dấu ngoặc, có các phép cộng, trừ ,nhân ,chia, nâng lên lũy thừa, ta thực hiện nâng lên lũy thừa trước rồi thực hiện nhân chia,cuối cùng đến cộng trừ.

– Nếu biểu thức có dấu ngoặc ( ), $\left[ {} \right] ,\left\{ {} \right\}$ta thực hiện các phép tính trong ngoặc tròn trước, rồi đến các phép tính trong ngoặc vuông, cuối cùng đến các phép tính trong ngoặc nhọn.

B/ CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN.

DẠNG 1: THỰC HIỆN TÍNH, VIẾT DƯỚI DẠNG LŨY THỪA.

Bài 1: viết các tích sau dưới dạng  1 luỹ thừa

a) 5.5.5.5.5.5 b) 2.2.2.2.3.3.3.3             c) 100.10.2.5

Đáp số:

a) 5.5.5.5.5.5 = 5⁶

b) 2.2.2.2.3.3.3.3= 2 . 3⁴

c)100.10.2.5 =10 .10.10.10 =10⁴

Bài 2: Tính giá trị củ các biểu thức sau:

a) 3⁴: 3² b) 2. 2² c) (2)²

Đáp số:

a) 3⁴: 3² = 3² = 9

b) 2. 2² = 16 .4 = 54

c) (2)² = 2⁸ = 256

Bài 3: Viết các tích sau đây dưới dạng một luỹ thừa của một số:

a) A = 8².32⁴

b) B = 27³.9⁴.243

Hướng dẫn

a) A = 8².32⁴ = 2⁶.2²⁰ = 2 hoặc A = 4¹³

b) B = 27³.9⁴.243 = 3²²

Bài 4: Tìm các số mũ n sao cho luỹ thừa 3ⁿ thảo mãn điều kiện: 25 < 3ⁿ < 250

Hướng dẫn

Ta có: 3² = 9, 3³ = 27 > 25, 3⁴  = 41, 3⁵ = 243 < 250

nhưng 3⁶ = 243. 3 = 729 > 250

Vậy với số mũ n = 3,4,5 ta có 25 < 3ⁿ < 250

Bài 5: Viết các số sau đây dưới dạng lũy thừa của một số.

a) A = 25³.125 b) B = 64³.256²

DẠNG 2: SO SÁNH CÁC LŨY THỪA.

          Để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi về hai lũy thừa có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ (có thể sử dụng các lũy thừa trung gian để so sánh)

             Với  a , b , m , n$\in $ N , ta có:       a > b    ó   aⁿ > bⁿ                  $\forall $n$\in $ N^*

                                                          m > n   ó   a^m > aⁿ                   (a > 1)

                                                          a = 0 hoặc a = 1  thì a^m = aⁿ  ( m.n $\ne $0)

             Với A , B là các biểu thức ta có :

                             Aⁿ > Bⁿ   ó   A > B > 0

                             A^m > Aⁿ  =>   m > n   và   A > 1

                                                   m < n   và  0 < A < 1

Bài 1 : So sánh :

a) 333¹⁷ và 333²³

b) 2007¹⁰ và 2008¹⁰

c) (2008-2007)²⁰⁰⁹ và (1998 – 1997)¹⁹⁹⁹

Hướng dẫn

a) Vì 1 < 17 < 23 nên   333¹⁷ < 333²³

b) Vì 2007 < 2008  nên  2007¹⁰ < 2008¹⁰

c) Ta có : (2008-2007)²⁰⁰⁹ = 1²⁰⁰⁹ = 1

(1998 – 1997)¹⁹⁹⁹ = 1¹⁹⁹⁹ = 1

Vậy (2008-2007)²⁰⁰⁹ = (1998 – 1997)¹⁹⁹⁹

Bài 2:  So sánh

a, 2³⁰⁰ và 3²⁰⁰                                  e, 99²⁰ và  9999¹⁰

b, 3⁵⁰⁰ và 7³⁰⁰                                  f,  11¹⁹⁷⁹ và 37¹³²⁰

c,  8⁵ và 3.4⁷                                   g,  10¹⁰ và 48.50⁵

d,  202³⁰³ và 303²⁰²                         h,   1990¹⁰ + 1990 ⁹ và 1991¹⁰

             Hướng dẫn

a,  Ta có :  2³⁰⁰ = 2³)¹⁰⁰ = 8¹⁰⁰

3²⁰⁰ = (3²)¹⁰⁰ = 9¹⁰⁰

Vì 8¹⁰⁰ < 9¹⁰⁰  =>   2³⁰⁰ < 3²⁰⁰

b,  Tương tự câu a, ta có : 3⁵⁰⁰ = (3⁵)¹⁰⁰  = 243¹⁰⁰

7³⁰⁰ = (7³)¹⁰⁰ = 343¹⁰⁰

Vì  243¹⁰⁰ < 343¹⁰⁰   nên   3⁵⁰⁰ < 7³⁰⁰

c, Ta có :     8⁵ = 2¹⁵ = 2.2¹⁴ < 3.2¹⁴ = 3.4⁷   =>  8⁵ < 3.4⁷

d,  Ta có :   202³⁰³ = (2.101)^3.101 = (2³.101³)¹⁰¹ = (8.101.101²)¹⁰¹ = (808.101)¹⁰¹

303²⁰² = (3.101)^2.101 = (3².101²)¹⁰¹ = (9.101²)¹⁰¹

Vì  808.101² > 9.101²  nên    202³⁰³ > 303²⁰²

e,  Ta thấy : 99² < 99.101 = 9999  => (99²)¹⁰ < 9999¹⁰   hay 99²⁰ < 9999¹⁰

f,   ta có :   11¹⁹⁷⁹ < 11¹⁹⁸⁰ = (11³)⁶⁶⁰ = 1331⁶⁶⁰         (1)

37¹³²⁰ = 37²)⁶⁶⁰ = 1369⁶⁶⁰                      (2)

Từ   (1)  và  (2)   suy ra : 11¹⁹⁷⁹ < 37¹³²⁰

g,  Ta có :   10¹⁰ = 2¹⁰. 5¹⁰ = 2. 2⁹. 5¹⁰                               (*)

50⁵ = (3. 2⁴). (2⁵. 5¹⁰) = 3. 2⁹. 5¹⁰         (**)

Từ  (*)  và (**)  =>   10¹⁰ <  48. 50⁵

h,  Có : 1990¹⁰ + 1990⁹ = 1990⁹. (1990+1) = 1991. 1990⁹

1991¹⁰ = 1991. 1991⁹

Vì  1990⁹ < 1991⁹ nên   1990¹⁰ + 1990 ⁹ < 1991¹⁰

Bài 3 . Chứng tỏ rằng :  5²⁷ < 2⁶³ < 5²⁸

Hướng dẫn:

Hãy chứng tỏ  2⁶³ > 5²⁷  và   2⁶³ < 5²⁸

Ta có :     2⁶³ = (2⁷)⁹ = 128⁹

5²⁷ =(5³)⁹ = 125⁹             => 2⁶³ > 5²⁷                     (1)

Lại có :   2⁶³ = (2⁹)⁷ = 512⁷

5²⁸ = (5⁴)⁷ = 625⁷             => 2⁶³ < 5²⁸                     (2)

Từ (1) và (2)   =>  5²⁷ < 2⁶³ < 5²

Bài 4 . So sánh :

a,  107⁵⁰ và 73⁷⁵

b,  2⁹¹ và 5³⁵

             Hướng dẫn

a,  Ta thấy :   107⁵⁰ < 108⁵⁰ = (4. 27)⁵⁰ = 2¹⁰⁰. 3¹⁵⁰             (1)

73⁷⁵ > 72⁷⁵ = (8. 9)⁷⁵ = 2²²⁵. 3¹⁵⁰                    (2)

Từ (1)  và (2)   => 107⁵⁰ < 2¹⁰⁰. 3¹⁵⁰ < 2²²⁵. 3¹⁵⁰ < 73⁷⁵

b,   2⁹¹ > 2⁹⁰ = (2⁵)¹⁸ = 32¹⁸  và 5³⁵ < 5³⁶ = (5²)¹⁸ = 25¹⁸  =>   2⁹¹ > 32¹⁸ > 25¹⁸ > 5³⁵

Vậy     2⁹¹ > 5³⁵

Bài 5: So sách các cặp số sau:

a) A = 27⁵ và B = 243³

b) A = 2 ³⁰⁰ và B = 3²⁰⁰

Hướng dẫn

a) Ta có A = 27⁵ = (3³)⁵ =  3¹⁵ và B = (3⁵)³ = 3¹⁵ Vậy A = B

b) A = 2 ³⁰⁰ = 3¹⁰⁰ = 8¹⁰⁰ và B = 3²⁰⁰ = 3¹⁰⁰ = 9¹⁰⁰

Vì 8 < 9 nên 8¹⁰⁰ < 9¹⁰⁰ và A < B.

Ghi chú: Trong hai luỹ thừa có cùng cơ số, luỹ thừa nào số mũ lớn hơn thì lớn hơn.

a² gọi là bình phương của a hay a bình phương

a³ gọi là lập phương của a hay a lập phương

Bài 6: Tính và so sánh

a) A = (3 + 5)² và B = 3² + 5²

b) C = (3 + 5)³ và D = 3³ + 5³

Hướng dẫn

a) A > B b) C > D

Lưu ý HS tránh sai lầm khi viết (a + b)² = a² + b² hoặc (a + b)³ = a³ + b³

Bài 7: Tìm các giá trị của số mũ n sao cho.

a) 5 < 2ⁿ < 100 b) 50 < 7ⁿ < 2500

Bài 8: So sánh các số.

a) 10³⁰ và 2¹⁰⁰         b) 3⁴⁵⁰  và  5³⁰⁰                       c) 333⁴⁴⁴  và  444³³³

          Hướng dẫn

Biến đổi đưa về cùng số mũ hoặc cùng cơ số rồi so sánh

Bài 9: Tìm các số tự nhiên n sao cho :

a,  3 < 3ⁿ $\le $ 234

b,  8.16 $\ge $ 2ⁿ $\ge $ 4

 

Hướng dẫn: đưa các số về các lũy thừa có cùng cơ số .

Bài 10: Tìm số tự nhiên n biết rằng :

4¹⁵ . 9¹⁵ < 2ⁿ . 3ⁿ < 18¹⁶ . 2¹⁶

Gợi ý: quan sát , nhận xét về số mũ  của các lũy thừa trong một tích để đưa về cùng cơ số

Bài 11: So sánh các số sau?

a) 27¹¹ và 81⁸.      b) 625⁵ và 125⁷    c) 5³⁶ và 11²⁴   d) 3²ⁿ và 2³ⁿ   (n Î N^* )

  Hướng dẫn:

a) Đưa về cùng cơ số 3.                                 b) Đưa về cùng cơ số 5.

c) Đưa về cùng số mũ 12.      d) Đưa về cùng số mũ n

Bài 12: So sánh các số sau:

a) 5²³ và 6.5²²               b) 7.2¹³ và 2¹⁶ c) 21¹⁵ và 27⁵.49⁸

Hướng dẫn:

a) Đưa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau 5²².

b) Đưa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau là 2¹³.

c) Đưa hai số về dạng một tích 2 luỹ thừa cơ số là 7 và 3.

 

Bài 13: So sánh các số sau:

a) 199²⁰ và 2003¹⁵.           b) 3³⁹ và 11²¹.

Hướng dẫn :

a) 199²⁰ < 200²⁰ = (2³ .5²)²⁰ = 2⁶⁰. 5⁴⁰.

2003¹⁵ > 2000¹⁵ = (2.10³)¹⁵ = (2⁴. 5³)¹⁵ = 2⁶⁰.5⁴⁵

b) 3³⁹ <3⁴⁰ = (3²)²⁰ = 9²⁰<11²¹.

Bài 14: So sánh 2 hiệu,hiệu nào lớn hơn: 72 ⁴⁵-72⁴⁴và 72 ⁴⁴-72⁴³.

Hướng dẫn:

72⁴⁵ – 72⁴⁴ = 72⁴⁵(72 – 1) = 72⁴⁵.71.

72⁴⁴ – 72⁴⁴ = 72⁴⁴(72 – 1) = 72⁴⁴.71.

Bài 15: So sánh các số sau:

a) 9⁵ và 27³          b) 3²⁰⁰ và 2³⁰⁰        c) 3⁵⁰⁰ và 7³⁰⁰         d) 8⁵ và 3 . 4⁷  . 8⁵  

e) 202³⁰³ và 303²⁰²

Hướng dẫn:

a) Ta có:    9⁵ = (3²)⁵ = 3¹⁰

27³   = (3³ )³  = 3⁹

Vì    3¹⁰   > 3⁹ nên  9⁵ > 27³

b) Ta có: 3²⁰⁰ = (3²)¹⁰⁰ = 9¹⁰⁰

2³⁰⁰  = (2³) ¹⁰⁰  = 8¹⁰⁰

Vì 9¹⁰⁰ > 8^{100 ;} nên 3²⁰⁰  > 2³⁰⁰

c) 3⁵⁰⁰ và 7³⁰⁰

3⁵⁰⁰ = 3^5.100 = (3⁵)¹⁰⁰ = 243¹⁰⁰

7^{300 =} 7^3.100  . (7³ )¹⁰⁰ = (343)¹⁰⁰

Vì 243¹⁰⁰ < 343¹⁰⁰ => 3⁵⁰⁰ < 7³⁰⁰

d) có 3 . 4⁷ . 8⁵ = (2³)+5 = 2¹⁵ <3.2¹⁴ = 3.4⁷

=> 8⁵ < 3 . 4⁷

e) 202³⁰³ và 303²⁰²

202³⁰³ =(202³)²⁰¹     ; 303²⁰² = (303²)¹⁰¹

Ta so sánh 202³ và 303²

202³ = 2³. 101 . 101³ và 303²    => 303² < 202³

303² = 3³. 101² = 9.101²

Vậy 303²⁰² < 2002³⁰³

DẠNG 3: THỨ TỰ THỰC HIỆN CÁC PHÉP TÍNH – ƯỚC LƯỢNG CÁC PHÉP TÍNH

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức: A = 2002.20012001 – 2001.20022002

Hướng dẫn

A = 2002.(20010000 + 2001) – 2001.(20020000 + 2002)

= 2002.(2001.10⁴ + 2001) – 2001.(2002.10⁴ + 2001)

= 2002.2001.10⁴ + 2002.2001 – 2001.2002.10⁴ – 2001.2002  = 0

Bài 2: Thực hiện phép tính

a) A = (456.11 + 912).37 : 13: 74

b) B = [(315 + 372).3 + (372 + 315).7] : (26.13 + 74.14)

ĐS: A = 228         B = 5

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức

a) 12:{390: [500 – (125 + 35.7)] }

b) 12000 –(1500.2 + 1800.3 + 1800.2:3)

ĐS: a) 4                b) 2400

DẠNG 4: TÌM SỐ CHƯA BIẾT TRONG LŨY THỪA.

          Khi giải bài toán tìm x có luỹ thừa phải biến đổi về các luỹ thừa cùng cơ số hoặc các luỹ thừa cùng số mũ và các trường hợp đặc biệt

Bài 1: Tìm x, biết:

a) 2^x = 16 ĐS: x = 4

b) x⁵⁰ = x =>x= 0;1                   ĐS: x $\in \left\{ 0;1 \right\}$

Bài 1: Tìm x biết rằng:

a,   x³   =  -27                                         b,  (2x – 1)³ = 8

c, (x – 2)²  = 16                                      d,  (2x – 3)² = 9

Bài 2. Tìm số hữu tỉ x biết :  x² = x⁵

x² = x⁵  => x⁵ – x² = 0 => x².(x³ – 1) = 0  =>  $\left[ \begin{align}

& {{x}^{2}}=0 \\

& {{x}^{3}}-1=0 \\

\end{align} \right.$   =>$\left[ \begin{align}

& x=0 \\

& {{x}^{3}}=1 \\

\end{align} \right.$  => $\left[ \begin{align}

& x=0 \\

& x=1 \\

\end{align} \right.$

Bài 3. Tìm số hữu tỉ y biết : (3y – 1)¹⁰ = (3y – 1)²⁰           (*)

        Hướng dẫn :   Đặt 3y – 1 = x . Khi đó (*) trở thành :  x¹⁰ = x²⁰

Giải tương tự bài 2 ở trên ta được :  $\left[ \begin{align}

& {{x}^{10}}=0 \\

& {{x}^{10}}-1=0 \\

\end{align} \right.$   =>$\left[ \begin{align}

& x=0 \\

& {{x}^{10}}=1 \\

\end{align} \right.$  => $\left[ \begin{align}

& x=0 \\

& x=-1 \\

& x=1 \\

\end{align} \right.$

+) Với x = 0 ta có :   3y -1 = 0 => 3y = 1  => y = $\frac{1}{3}$

+) Với x = 1 ta có :   3y -1 = 1  => 3y = 2   =>  y =  $\frac{2}{3}$

+) Với  x = -1  ta có :  3y – 1 = -1  =>   3y = 0   =>   y = 0

Vậy    y =  $\frac{1}{3}$ ; $\frac{2}{3}$ ; 0

Bài 4:  Tìm x biết :   (x – 5)² = (1 – 3x)²

Bài 5:  Tìm n $\in $ N biết :

a,  2008ⁿ = 1                             c,  32^-n. 16ⁿ = 1024

b,  5ⁿ + 5ⁿ⁺² = 650                     d,  3^-1.3ⁿ + 5.3^n-1 = 162

Bài 6: Tìm hai số tự nhiên m , n biết : 2^m + 2ⁿ = 2^m+n

Hướng dẫn:  2^m+n – 2^m – 2ⁿ = 0 =>   2^m.2ⁿ -2^m -2ⁿ + 1 = 1

2^m(2ⁿ – 1) – (2ⁿ – 1) = 1 => (2^m – 1)( 2ⁿ – 1) = 1                    (*)

Vì   2^m $\ge $ 1  ,   2ⁿ $\ge $ 1      $\forall $m,n $\in $ N

Nên từ (*) =>$\left\{ \begin{align}

& {{2}^{m}}-1=1 \\

& {{2}^{n}}-1=1 \\

\end{align} \right.$    => $\left\{ \begin{align}

& {{2}^{m}}=2 \\

& {{2}^{n}}=2 \\

\end{align} \right.$   =>  $\left\{ \begin{align}

& m=1 \\

& n=1 \\

\end{align} \right.$

Vậy :  m = n = 1

Bài 7: Tìm x Î N biết

a)  1³ + 2³ + 3³  + …+ 10³ = ( x +1)²

b) 1 + 3 + 5 + …+ 99 = (x -2)²

          Hướng dẫn

a)  1³ + 2³ + 3³  + …+ 10³  = (x +1)²

(1+ 2 + 3+…+ 10)²  = ( x +1)²

=> 55²   = ( x +1) ² => x = 54

b) 1 + 3 + 5 +…+ 99 = ( x -2)²  => ${{\left( \frac{99-1}{2}+1 \right)}^{2}}$ = ( x – 2)² => 50² = ( x -2 )²

=> x = 52

(Ta có: 1 + 3 + 5+ …+ ( 2ⁿ⁺¹) = n²)

Bài 8: Tìm 1 cặp   x ; y Î N thoả mãn 7³   = x²  – y²

Hướng dẫn:

Ta thấy: 7³  = x²   – y²

(1³  + 2³  + 3³ +…+7³) – (1³+ 2³+ 3³+…+ 6³) = x² – y²

(1+ 2 + 3 + …+ 7)² – (1 + 2 + 3 +…+ 6)²  = x² – y²

28²   – 21²  = x²  – y²

Vậy 1 cặp x; y  thoả mãn là: x = 28; y = 21

DẠNG 4: MỘT SỐ BÀI TẬP BỔ SUNG.

             Vận dụng linh hoạt các công thức, phép tính về lũy thừa để tính cho hợp lí và nhanh. Biết kết hợp  hài hòa một số phương pháp trong tính toán khi biến đổi.

Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau: A = $\frac{{{2}^{30}}{{.5}^{7}}+{{2}^{13}}{{.5}^{27}}}{{{2}^{27}}{{.5}^{7}}+{{2}^{10}}{{.5}^{27}}}$

Hướng dẫn:              

A = $\frac{{{2}^{30}}{{.5}^{7}}+{{2}^{13}}{{.5}^{27}}}{{{2}^{27}}{{.5}^{7}}+{{2}^{10}}{{.5}^{27}}}$ = $\frac{{{2}^{13}}{{.5}^{7}}({{2}^{17}}+{{.5}^{20}})}{{{2}^{10}}{{.5}^{7}}({{2}^{17}}+{{5}^{20}})}$ = 2³  = 8

Bài 2: Chứng tỏ rằng:

b) B =  5²⁰⁰⁸ + 5²⁰⁰⁷ + 5²⁰⁰⁶ $\vdots $ 31

c) M = 8⁸ + 2²⁰ $\vdots $ 17

d) H = 313⁵ . 299 – 313⁶ . 36 ^{$\vdots $} 7

Hướng dẫn

Để chứng minh A (một biểu thức lũy thừa) chia hết cho số k ta cần biến đổi biểu thức A về dạng A = P . k (với P là một số nào đó)

b,  B  =  5²⁰⁰⁸  + 5²⁰⁰⁷ + 5²⁰⁰⁶ $\vdots $ 31

Ta không thể tính giá trị cụ thể của từng lũy thừa rồi thực hiện phép chia. Giáo viên có thể gợi ý đặt thừa số chung.

B  =  5²⁰⁰⁸  + 5²⁰⁰⁷ + 5²⁰⁰⁶

B  =  5²⁰⁰⁶ .( 5² + 5¹ + 1)

B  =  5²⁰⁰⁶ . 31  $\vdots $  31

c, M = 8⁸  + 2²⁰  $\vdots $ 17

Cách làm tương tự như câu b, nhưng trước tiên phải đưa về  hai lũy thừa có cùng cơ số:

M = 8⁸  + 2²⁰ = (2³)⁸ + 2²⁰ =  2^{24 +}  2²⁰

M = 2²⁰ (2⁴  + 1) =  2²⁰ (16  + 1)  =  2²⁰ . 17 $\vdots $ 17

d, H = 313⁵ . 299 – 313⁶ . 36  ^{$\vdots $} 7

Với câu này, học sinh cũng phải nhận ra cần đặt thừa số chung, nhưng đặt thừa số chung nào lại là một vấn đề. Nếu đặt 313⁵ làm thừa số chung thì buộc phải tính kết quả trong ngoặc, và như vậy thì rất lâu và dễ nhầm. Khi đó, giáo viên có thể hướng dẫn.

H = 313⁵ . 299 – 313⁶ . 36 

H = 313⁵ . 299 – 313⁶   –  35. 313⁶

H = 313⁵ . (299 – 313)   –  35. 313⁶

H = 313⁵ . 14   –  35. 313⁶

H = 7 . (313⁵ . 2 – 5. 313⁶ ) $\vdots $ 7

Bài 3 .  Cho   A = 2+ 2² + 2³ +……+ 2⁶⁰ . Chứng tỏ rằng :  A$\vdots $3 ,  A$\vdots $7 ,  A$\vdots $5

Hướng dẫn:

A = 2+ 2² + 2³ +……+ 2⁶⁰

= (2+2²)+(2³+2⁴)+(2⁵+2⁶)+…….+(2⁵⁷+2⁵⁸)+(2⁵⁹+2⁶⁰)

= 2.(1+2)+2³.(1+2)+2⁵.(1+2)+…….+2⁵⁷.(1+2)+2⁵⁹.(1+2)

= (1+2).(2+2³+2⁵+…..+2⁵⁷+2⁵⁹)

= 3.( 2+2³+2⁵+…..+2⁵⁷+2⁵⁹)

=> A$\vdots $3

Tương tự ,ta có :

A = (2+ 2² + 2³)+(2⁴+2⁵+2⁶)+……+(2⁵⁸+2⁵⁹+ 2⁶⁰ )

= 2.(1+2+2²)+2⁴.(1+2+2²)+…….+2⁵⁸.(1+2+2²)

= (1+2+2²).(2+2⁴+2⁷+…….+2⁵⁸)

= 7.(2+2⁴+2⁷+…….+2⁵⁸)  => A$\vdots $7

A = (2+ 2³)+(2²+2⁴)+……+(2⁵⁷+2⁵⁹)+(2⁵⁸+ 2⁶⁰ )

A = 2(1+2²)+2²(1+2²)+……+2⁵⁷(1+2²)+2⁵⁸(1+2²)

= (1+2²).(2+2²+2⁵+2⁶+…….+2⁵⁷+2⁵⁸)

= 5. (2+2²+2⁵+2⁶+…….+2⁵⁷+2⁵⁸

=> A$\vdots $5

Bài 4: Chứng tỏ rằng :

a,   D = 3 + 3² + 3³ + 3⁴ +……..+ 3²⁰⁰⁷ $\vdots $ 13

b,   E = 7¹  +  7²  + 7³  +  7⁴  +…. + 7^4n-1  + 7⁴ⁿ  $\vdots $ 400

Hướng dẫn

a, Ta thấy :   13 = 1 + 3 + 3²  nên ta sẽ nhóm 3 số hạng liên tiếp của tổng thành một nhóm như sau :

D = (3 + 3² + 3³) + (3⁴ +3⁵ + 3⁶) +…….+ (3²⁰⁰⁵ + 3²⁰⁰⁶.+ 3²⁰⁰⁷)

=3.(1 + 3 + 3²) +3⁴.(1 + 3 + 3²) +…….+ 3²⁰⁰⁵.(1 + 3 + 3²)

= 3. 13 + 3⁴. 13 + ……..+ 3²⁰⁰⁵. 13

= (3 + 3⁴ + ……+ 3²⁰⁰⁵). 13

=> D $\vdots $ 13

b, Tương tự  câu a, có :  400 = 1 + 7 + 7² + 7³ nên :

E = (7¹  +  7²  + 7³  +  7⁴) + 7⁴. (7¹  +  7²  + 7³  +  7⁴) + …+ 7^4n-4. (7¹  +  7²  + 7³  +  7⁴)

= (7¹  +  7²  + 7³  +  7⁴). (1+7⁴ + 7⁸ + …+7^4n-4)

= 7.(1  + 7¹ + 7²  + 7³ ). (1+7⁴ + 7⁸ + …+7^4n-4)

= 7.(1  + 7 + 49  + 343 ). (1+7⁴ + 7⁸ + …+7^4n-4)

= 7.400 . (1+7⁴ + 7⁸ + …+7^4n-4) $\vdots $ 400

=> E $\vdots $ 400