Chủ đề 7: Các bài toán về đường tròn – Chuyên đề toán luyện thi vào 10

Chủ đề 7: Các bài toán về đường tròn – Chuyên đề toán luyện thi vào 10

Câu 1. Cho đường tròn $(O)$ đường kính $A B=2 R, C$ là trung điểm của $O A$ và dây $M N$ vuông góc với $O A$ tại $C$. Gọi $K$ là điểm tùy ý trên cung nhỏ $B M, H$ là giao điểm của $A K$ và MN.

1. Chứng minh tứ giác $B C H K$ nội tiếp.

2. Tính tích $A H . A K$ theo $R$.

3. Xác định vị trị của điểm $K$ để tổng $(K M+K N+K B)$ đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó?

Câu 2. Cho đường tròn $(O ; R)$ tiếp xúc với đường thẳng $d$ tại $A$. Trên $d$ lấy điểm $H \mathrm{không}$ trùng với điểm $A$ và $A H<R$. Qua $H$ kẻ đường thẳng vuông góc với $d$, đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm $E$ và $B(E$ nằm giữa $B$ và $H)$.

1. Chứng minh $\widehat{A B E}=\widehat{E A H}$ và $\triangle A B H \sim \triangle E A H$.

2. Lấy điểm $C$ trên $d$ sao cho $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $A C$, đường thẳng $C E$ cắt $A B$ tại $K$.Chứng minh $A H E K$ là tứ giác nội tiếp.

3. Xác định vị trí điểm $H$ để $A B=R \sqrt{3}$.

Câu 3. Cho đường tròn $(O)$ có đường kính $A B=2 R$ và $E$ là điểm bất kì trên đường tròn đó ( $E$ khác $A$ và $B)$. Đường phân giác góc $A E B$ cắt đoạn thẳng $A B$ tại $F$ và cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $K$.

1. Chứng $\operatorname{minh} \triangle K A F \sim \triangle K E A$.

2. Gọi $I$ là giao điểm của đường trung trực đoạn $E F$ với $O E$, chứng minh đường tròn $(I)$ bán kính $I E$ tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại $E$ và tiếp xúc với đường thẳng $A B$ tại $F$.

3. Chứng $\operatorname{minh} M N / / A B$, trong đó $M$ và $N$ lân lượt là giao điểm thứ hai của $A E, B E$ với đường tròn $(I)$.

4. Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác $K P Q$ theo $R$ khi $E$ chuyển động trên đường tròn $(O)$, với $P$ là giao điểm của $N F$ và $A K ; Q$ là giao điểm của $M F$ và $B K$.

Câu 4. $C h o(O ; R)$ và điểm $A$ nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến $A B, A C$ với đường tròn $(B, C$ là các tiếp điểm).

1. Chứng minh $A B O C$ là tứ giác nội tiếp.

2. Gọi $E$ là giao điểm của $B C$ và $O A$. Chứng minh $B E$ vuông góc với $O A$ và $O E . O A=R^{2}$.

3. Trên cung nhỏ $B C$ của $(O ; R)$ lấy điểm $K$ bất kì ( $K$ khác $B$ và $C$ ). Tiếp tuyến tại $K$ của $(O ; R)$ cắt $A B, A C$ theo thứ tự tại $P$ và $Q$. Chứng minh tam giác $A P Q$ có chu vi không đổi khi $K$ chuyển động trên cung nhỏ $B C$.

4. Đường thẳng qua $O$ và vuông góc với $O A$ cắt các đường thẳng $A B, A C$ theo thứ tự tại $M, N$. Chứng minh $P M+Q N \geq M N$. Câu 5. Cho đường tròn $(O)$ có đường kính $A B=2 R$ và điểm $C$ thuộc đường tròn đó (C khác $A, B)$. Lấy điểm $D$ thuộc dây $B C(D$ khác $B, C)$. Tia $A D$ cắt cung nhỏ $B C$ tại điểm $E$, tia $A C$ cắt $B E$ tại điểm $F$.

1. Chứng minh $F C D E$ là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh $D A \cdot D E=D B \cdot D C$.

3. Chứng minh $\widehat{C F D}=\widehat{O C B}$. Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $F C D E$. $C$ hứng minh $I C$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.

4. Cho biết $D F=R$, chứng $\operatorname{minh} \tan \widehat{A F B}=2$.

Câu 6. Cho đường tròn $(O)$, đường kính $A B=2 R$. Gọi $d_{1}$ và $d_{2}$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại hai điểm $A$ và $B$. Gọi $I$ là trung điểm của $O A$ và $E$ là điểm thuộc đường tròn $(O)$ ( $E$ không trùng với $A$ và $B)$. Đường thẳng $d$ đi qua $E$ và vuông góc với $E I$ cắt hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ lân lượt tại $M, N$.

1. Chứng minh $A M E I$ là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh $\widehat{E N I}=\widehat{E B I}$ và $\widehat{M I N}=90^{\circ}$.

3. Chứng $\operatorname{minh} A M \cdot B N=A I \cdot B I$.

4. Gọi $F$ là điểm chính giữa của cung $A B$ không chứa $E$ của đường tròn $(O)$. Hãy tính diện tích của tam giác $M I N$ theo $R$ khi ba điểm $E, I, F$ thẳng hàng.

Câu 7. Cho đường tròn $(O ; R)$, đường kính $A B$. Bán kính $C O$ vuông góc với $A B, M$ là điểm bất kì trên cung nhỏ $A C$ ( $M$ khác $A$ và $C), B M$ cắt $A C$ tại $H$. Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ trên $A B$.

1. Chứng minh tứ giác $C B K H$ là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh $\widehat{A C M}=\widehat{A C K}$

3. Trên đoạn thẳng $B M$ lấy điểm $E$ sao cho $B E=A M$. Chứng minh tam giác $E C M$ là tam giác vuông cân tại $C$.

4. Gọi $d$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại điểm $A$. Cho $P$ là một điểm nằm trên $d$ sao cho hai điểm $P, C$ nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ $A B$ và $\frac{A P . M B}{M A}=R$. Chứng minh đường thẳng $P B$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $H K$.

Câu 8. Cho đường tròn $(O)$ và điểm $A$ nằm bên ngoài $(O)$. Kẻ hai tiếp tuyến $A M, A N$ với đường tròn $(\mathrm{O})$. Một đường thẳng $d$ đi qua $A$ cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm $B$ và $C(A B<$ $A C, d$ không đi qua tâm $O$ )

1. Chứng minh tứ giác $A M O N$ nội tiếp.

2. Chứng minh $A N^{2}=A B \cdot A C$. Tính độ dài đoạn thẳng $B C$ khi $A B=4 \mathrm{~cm}, A N=6 \mathrm{~cm}$.

3. Gọi $I$ là trung điểm $B C$. Đường thẳng $N I$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai $T$. Chứng $\operatorname{minh}: M T / / A C$.

4. Hai tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $B$ và $C$ cắt nhau tại $K$. Chứng minh $K$ thuộc một đường thẳng cố định khi $d$ thay đổi và thỏa mãn điêu kiện đầu bài. Câu 9. Cho đường tròn $(O ; R)$ đường kính $A B$ cố định. Vẽ đường kính $M N$ của đường tròn $(O ; R)$. ( $M$ khác $A, M$ khác $B)$. Tiếp tuyến của đường tròn $(O ; R)$ tại $B$ cắt các đường thẳng $A M, A N$ lân lượt tại các điểm $Q, P$.

1. Chứng minh tứ giác $A M B N$ là hình chữ nhật.

2. Chứng minh bốn điểm $M, N, P, Q$ cùng thuộc một đường tròn.

3. Gọi $E$ là trung điểm của $B Q$. Đường thẳng vuông góc với $O E$ tại $O$ cắt $P Q$ tại $F$. Chứng $\operatorname{minh} F$ là trung điểm của $B P$ và $M E / / N F$

4. Khi đường kính $M N$ quay quanh tâm $O$ và thỏa mãn điêu kiện đề bài, xác định vị trí của đường kính $M N$ để tứ giác $M N P Q$ có diện tích nhỏ nhất.

Câu 10. Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $A B$. Lấy điểm $C$ trên đoạn thẳng $A O(C$ khác $A, C$ khác $O$ ). Đường thẳng đi qua $C$ vuông góc với $A B$ cắt nửa đường tròn tại $K$. Gọi $M$ là điểm bất kì nằm trên cung $K B$ ( $M$ khác $K, M$ khác $B)$. Đường thẳng $C K$ cắt đường thẳng $A M, B M$ lân lượt tại $H$ và $D$. Đường thẳng $B H$ cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là $N$.

1. Chứng minh tứ giác $A C M D$ là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh $C A \cdot C B=C H \cdot C D$.

3. Chứng minh ba điểm $A, N, D$ thẳng hàng và tiếp tuyến tại $N$ của đường tròn đi qua trung điểm của $D H$.

4. Khi $M$ di động trên cung $K B$, chứng minh đường thẳng $M N$ luôn đi qua một điểm cố địn.

Câu 11. Cho đường tròn $(O)$ và một điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến $A B$ với đường tròn $(O)$ ( $B$ là tiếp điểm) và đường kính $B C$. Trên đoạn thẳng $C O$ lấy điểm $I$ ( $I$ khác $C, I$ khác $O$ ). Đường thẳng $I A$ cắt $(O)$ tại hai điểm $D$ và $E$ ( $D$ nằm giữa $A$ và $E$ ). Gọi $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $D E$.

1. Chứng minh bốn điểm $A, B, O, H$ cùng nằm trên một đường tròn.

2. Chứng $\operatorname{minh} \frac{A B}{A E}=\frac{B D}{B E}$.

3. Đường thẳng $d$ đi qua điểm $E$ song song với $A O, d$ cắt $B C$ tại điểm $K$. Chứng minh: $H K / / D C$.

4. Tia $C D$ cắt $A O$ tại điểm $P$, tia $E O$ cắt $B P$ tại điểm $F$. Chứng minh tứ giác $B E C F$ là hình chữ nhật

Câu 12. Cho đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác nhọn $A B C$. Gọi $M, N$ lân lượt là điểm chính giữa của cung nhỏ $A B$ và cung nhỏ $B C$. Hai dây $A N$ và $C M$ cắt nhau tại điểm $I$. Dây $M N$ cắt các cạnh $A B$ và $B C$ lân lượt tại các điểm $H$ và $K$.

1. Chứng minh bốn điểm $C, N, K, I$ thuộc cùng một đường tròn..

2. Chứng $\operatorname{minh} N B^{2}=N K . N M$.

3. Chứng minh tứ giác $B H I K$ là hình thoi. 4. Gọi $P$ và $Q$ lân lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác $M B K$, tam giác $M C K$ và $E$ là trung điểm của đoạn $P Q$. Vẽ đường kính $N D$ của đường tròn $(O)$. Chứng minh ba điểm $D, E, K$ thẳng hàng.

Câu 13. Cho đường tròn $(O ; R)$ với dây cung $A B$ không đi qua tâm. Lấy $S$ là một điểm bất kì trên tia đối của tia $A B(S$ khác $A)$. Từ điểm $S$ vẽ hai tiếp tuyến $S C, S D$ với đường tròn (O; $R)$ sao cho điểm $C$ nằm trên cung nhỏ $A B(C, D$ là các tiếp điểm). Gọi $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $A B$.

1. Chứng minh năm điểm $C, D, H, O, S$ thuộc đường tròn đường kính $S O$.

2. Khi $S O=2 R$, hãy tính độ dài đoạn thẳng $S D$ theo $R$ và tính số đo $\widehat{C S D}$.

3. Đường thẳng đi qua điểm $A$ và song song với đường thẳng $S C$, cắt đoạn thẳng $C D$ tại điểm $K$. Chứng minh tứ giác $A D H K$ là tứ giác nội tiếp và đường thẳng $B K$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $S C$.

4. Gọi $E$ là trung điểm của đoạn thẳng $B D$ và $F$ là hình chiếu vuông góc của điểm $E$ trên đường thẳng $A D$. Chứng minh rằng, khi điểm $S$ thay đổi trên tia đối của tia $A B$ thì điểm $F$ luôn thuộc một đường tròn cố định.

Câu 14. Cho đường tròn $(O)$, đường kính $A B$. Vẽ các tiếp tuyến $A x, B y$ của đường tròn. $M$ là một điểm trên đường tròn $(M$ khác $A, B)$. Tiếp tuyến tại $M$ của đường tròn cắt $A x, B y$ lân lượt tại $P, Q$.

1. Chứng minh rằng: Tứ giác $A P M O$ nội tiếp.

2. Chứng minh rằng: $A P+B Q=P Q$.

3. Chứng minh rằng: $A P \cdot B Q=A O^{2}$.

4. Khi điểm $M$ di động trên đường tròn $(O)$, tìm các vị trí của điểm $M$ sao cho diện tích tứ giác $A P Q B$ nhỏ nhất.

Câu 15. Cho đường tròn $(O)$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến $A M, A N$ với các đường tròn $(O)(M, N \in(O))$. Qua $A$ vẽ một đường thẳng cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm $B, C$ phân biệt $(B$ nằm giữa $A, C)$. Gọi $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $B C$.

1. Chứng minh tứ giác $A N H M$ nội tiếp được trong đường tròn.

2. Chứng minh $A N^{2}=A B \cdot A C$.

3. Đường thẳng qua $B$ song song với $A N$ cắt đoạn thẳng $M N$ tại $E$. Chứng minh $E H / / N C$.

Câu 16. Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và một điểm $A$ sao cho $O A=3 R$. Qua $A$ kẻ 2 tiếp tuyến $A P$ và $A Q$ với đường tròn $(O ; R)(P, Q$ là 2 tiếp điểm). Lấy $M$ thuộc đường tròn $(O ; R)$ sao cho $P M$ song song với $A Q$. Gọi $N$ là giao điểm thứ hai của đường thẳng $A M$ với đường tròn $(O ; R)$. Tia $P N$ cắt đường thẳng $A Q$ tại $K$.

1. Chứng minh tứ giác $A P O Q$ là tứ giác nội tiếp và $K A^{2}=K N \cdot K P$

2. Kẻ đường kính $Q S$ của đường tròn $(O ; R)$. Chứng minh $N S$ là tia phân giác của $\widehat{P N M}$. 3. Gọi $G$ là giao điểm của 2 đường thẳng $A O$ và $P K$. Tính đội dài đoạn thẳng $A G$ theo bán kính $R$.

Câu 17. Cho tam giác $A B C$ nhọn $(A B<A C)$ nội tiếp đường tròn $(O)$, hai đường cao $B E, C F$ cắt nhau tại $H$. Tia $A O$ cắt đường tròn $(O)$ tại $D$.

1. Chứng minh tứ giác $B C E F$ nội tiếp đường tròn;

2. Chứng minh tứ giác $B H C D$ là hình bình hành;

3. Gọi $M$ là trung điểm của $B C$, tia $A M$ cắt $H O$ tại $G$. Chứng $\operatorname{minh} G$ là trọng tâm của tam giác $B A C$.

Câu 18. Cho đường tròn $(O ; R)$ có đường kính $A B$ cố định. Trên tia đối của tia $A B$ lấy điểm $C$ sao cho $A C=R$. Qua $C$ kẻ đường thẳng $d$ vuông góc với $C A$. Lấy điểm $M$ bất kì trên $(O)$ không trùng với $A, B$. Tia $B M$ cắt đường thẳng $d$ tại $P$. Tia $C M$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $N$, tia $P A$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $Q$.

1. Chứng minh tứ giác $A C P M$ là tứ giác nội tiếp;

2. Tính $B M . B P$ theo $R$.

3. Chứng minh hai đường thẳng $P C$ và $N Q$ song song;

4. Chứng minh trọng tâm $G$ của tam giác $C M B$ luôn nằm trên một đường tròn cố định khi $M$ thay đôi $\operatorname{trên}(O)$.

Câu 19. Cho $\triangle A B C$ có ba góc nội tiếp đường tròn $(O)$, bán kính $R$. Hạ đường cao $A H, B K$ của tam giác. Các tia $A H, B K$ lần lượt cắt $(O)$ tại các điểm thứ hai là $D, E$.

1. Chứng minh tứ giác $A B H K$ nội tiếp đường tròn. Xác định tâm đường tròn đó.

2. Chứng minh. $H K / / D E$.

3. Cho $(O)$ và dây $A B$ cố định, điểm $C$ di chuyển trên $(O)$ sao cho $\triangle A B C$ có ba góc nhọn. Chứng minh rằng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp $\triangle C H K$ không đổi.

Câu 20. Cho $\widehat{x A y}=90^{\circ}$, vẽ đường tròn tâm $A$ bán kính $R$. Đường tròn này cắt $A x, A y$ thứ tự tại $B$ và $D$. Các tiếp tuyến với đường tròn $(A)$ kẻ từ $B$ và $D$ cắt nhau tại $C$.

1. Tứ giác $A B C D$ là hình gì? Chứng minh?

2. Trên $B C$ lấy điểm $M$ tùy ý ( $M$ khác $B$ và $C)$ kẻ tiếp tuyến $M H$ với đường tròn $(A),(H$ là tiếp điểm). $M H$ cắt $C D$ tại $N$. Chứng minh rằng $\widehat{M A N}=45^{\circ}$.

3. $P ; Q$ thứ tự là giao điểm của $A M ; A N$ với $B D$. Chứng minh rằng $M Q ; N P$ là các đường cao của $\triangle A M N$.

Câu 21. Cho $\triangle A B C(A B<A C)$ có 3 góc nhọn nội tiếp trong đường tròn $(O ; R)$. Vẽ đường cao $A H$ của $\triangle A B C$, đường kính $A D$ của đường tròn. Gọi $E, F$ lân lượt là chân đường vuông góc kẻ từ $C$ và $B$ xuống đường thẳng $A D . M$ là trung điểm của $B C$.

1. Chứng minh các tứ giác $A B H F$ và $B M F O$ nội tiếp. 2. Chứng minh $H E / / B D$.

3. Chứng minh $S_{A B C}=\frac{A B \cdot A C \cdot B C}{4 R}\left(S_{A B C}\right.$ là diện tích $\left.\triangle A B C\right)$.

Câu 22. Cho $\triangle A B C$ nhọn $(A B<A C)$ ba đường cao $A P, B M, C N$ của $\triangle A B C$ cắt nhau tại $H$.

1. Chứng minh tứ giác $B C M N$ nội tiếp.

2. Chứng minh $\triangle A N M \backsim \triangle A C B$.

3. Kẻ tiếp tuyến $B D$ với đường tròn đường kính $A H$ ( $D$ là tiếp điểm) kẻ tiếp tuyến $B E$ với đường tròn đường kính $C H$ ( $E$ là tiếp điểm). Chứng minh $B D=B E$.

4. Giả sử $A B=4 \mathrm{~cm} ; A C=5 \mathrm{~cm} ; B C=6 \mathrm{~cm}$. Tính $M N$.

Câu 23. Cho nửa đường tròn $O$ đường kính $A B=2 R$. Điểm $M$ di chuyển trên nửa đường tròn ( $M$ khác $A$ và $B)$. C là trung điểm của dây cung $A M$. Đường thẳng $d$ là tiếp tuyến với nửa đường tròn tại $B$. Tia $A M$ cắt $d$ tại điểm $N$. Đường thẳng $O C$ cắt $d$ tại $E$.

1. Chứng minh: tứ giác $O C N B$ nội tiếp.

2. Chứng minh: $A C \cdot A N=A O \cdot A B$.

3. Chứng minh: $N O$ vuông góc với $A E$.

4. Tìm vị trí điểm $M$ sao cho $(2 \cdot A M+A N)$ nhỏ nhất.

Câu 24. Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ và đường thẳng $(d)$ không đi qua $O$, cắt đường tròn $(O)$ tại 2 điểm $A, B$. Lấy điểm $M$ bất kỳ trên tia đối $B A$, qua $M$ kẻ hai tiếp tuyến $M C, M D$ với đường tròn $(C, D$ là các tiếp điểm).

1. Chứng minh tứ giác $M C O D$ nội tiếp đường tròn.

2. Gọi $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $A B$. Chứng minh $H M$ là phân giác của $\widehat{C H D}$.

3. Đường thẳng đi qua $O$ và vuông góc với $M O$ cắt các tia $M C, M D$ theo thứ tự tại $P, Q$. Tìm vị trí của điểm $M$ trên $(d)$ sao cho diện tích $\triangle M P Q$ nhỏ nhất.

Câu 25. Cho $\triangle A B C$ có ba góc đều nhọn, hai đường cao $B D$ và $C E$ cắt nhau tại $H$ ( $D$ thuộc $A C ; E$ thuộc $A B)$.

1. Chứng minh tứ giác $A D H E$ nội tiếp được trong một đường tròn;

2. Gọi $M, I$ lần lượt là trung điểm của $A H$ và $B C$. Chứng minh $M I$ vuông góc với $E D$.

Câu 26. Cho $\triangle A B C$ có ba góc đều nhọn $(A B<A C)$ nội tiếp trong đường tròn tâm $O$, kẻ đường cao $A H$. Gọi $M, N$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $A B$ và $A C$. Kẻ $N E$ vuông góc với $A H$. Đường vuông góc với $A C$ tại $C$ cắt đường tròn tại $I$ và cắt tia $A H$ tại $D$. Tia $A H$ cắt đường tròn tại $F$.

1. Chứng minh $\widehat{A B C}+\widehat{A C B}=\widehat{B I C}$ và tứ giác $D E N C$ nội tiếp được trong một đường tròn.

2. Chứng minh hệ thức $A M \cdot A B=A N . A C$ và tứ giác $B F I C$ là hình thang cân.

3. Chứng minh: tứ giác $B M E D$ nội tiếp được trong một đường tròn.

Câu 27. Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $A B$. Gọi $C$ là điểm cố định thuộc đoạn thẳng $O B(C$ khác $O$ và $B)$. Dựng đường thẳng $d$ vuông góc với $A B$ tại điểm $C$, cắt nửa đường tròn $(O)$ tại điểm $M$. Trên cung nhỏ $M B$ lấy điểm $N$ bất kỳ $(N$ khác $M$ và $B)$, tia $A N$ cắt đường thẳng $d$ tại điểm $F$, tia $B N$ cắt đường thẳng $d$ tại điểm $E$.Đường thẳng $A E$ cắt nửa đường tròn $(O)$ tại điểm $D(D$ khác $A)$.

1. Chứng minh: $A D \cdot A E=A C \cdot A B$.

2. Chứng minh: $B$ a điểm $B, F, D$ thẳng hàng và $F$ là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle C D N$.

3. Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\triangle A E F$.Chứng minh rằng điểm $I$ luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi điểm $N$ di chuyển trên cung nhỏ $M B$.

Câu 28. Cho $\triangle A B C$ nhọn $(A B<A C)$ nội tiếp $(O)$, vẽ đường kính $A D$.Đường thẳng đi qua $B$ vuông góc với $A D$ tại $E$ và cắt $A C$ tại $F$. Gọi $H$ là hình chiếu của $B$ trên $A C$ và $M$ là trung điểm của $B C$.

1. Chứng minh $C D E F$ là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh $\widehat{M H C}+\widehat{B A D}=90^{\circ}$.

3. Chứng $\operatorname{minh} \frac{H C}{H F}+1=\frac{B C}{H E}$.

Câu 29. Cho $\triangle A B C$ nhọn. Đường tròn tâm $O$ đường kính $B C$ cắt các cạnh $A B, A C$ lần lượt tại các điểm $M, N(M \neq B, N \neq C)$. Gọi $H$ là giao điểm của $B N$ và $C M ; P$ là giao điểm của $A H$ và $B C$

1. Chứng minh tứ giác $A M H N$ nội tiếp được trong một đường tròn.

2. Chứng $\operatorname{minh} B M \cdot B A=B P \cdot B C$.

3. Trong trường hợp đặc biệt khi $\triangle A B C$ đêuu cạnh bằng $2 a$. Tính chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác $A M H N$ theo $a$.

4. Từ điểm $A$ kẻ các tiếp tuyến $A E$ và $A F$ của đường tròn tâm $O$ đường kính $B C(E, F$ là các tiếp điểm). Chứng minh ba điểm $E, H, F$ thẳng hàng.

Câu 30. Cho $\triangle A B C$ đều có đường cao $A H$. Trên cạnh $B C$ lấy điểm $M$ tùy ý $(M$ không trùng với $B, C, H)$. Gọi $P, Q$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $M$ lên $A B, A C$.

1. Chứng minh tứ giác $A P M Q$ nội tiếp được đường tròn và xác định tâm $O$ của đường tròn này.

2. Chứng $\operatorname{minh} O H \perp P Q$.

3. Chứng $\operatorname{minh} M P+M Q=A H$.

Câu 31. Cho $\triangle A B C$ có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn $(O)$ có bán kính $R=3 \mathrm{~cm}$. Các tiếp tuyến với $(O)$ tại $B$ và $C$ cắt nhau tại $D$.

1. Chứng minh tứ giác $O B D C$ nội tiếp đường tròn;

2. Gọi $M$ là giao điểm của $B C$ và $O D$. Biết $O D=5(\mathrm{~cm})$. Tính diện tích $\triangle B C D$

3. Kẻ đường thẳng $d$ đi qua $D$ và song song với đường tiếp tuyến với $(O)$ tại $A, d$ cắt các đường thẳng $A B, A C$ lân lượt tại $P, Q$. Chứng minh $A B \cdot A P=A Q \cdot A C$. 4. Chứng minh $\widehat{P A D}=\widehat{M A C}$.

Câu 32. Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $A B=2 R$. Điểm $C$ cố định trên nửa đường tròn. Điểm $M$ thuộc cung $A C(M \neq A ; C)$. Hạ $M H \perp A B$ tại $H$. Nối $M B$ cắt $C A$ tại $E$. Hạ $E I \perp A B$ tại $I$. Gọi $K$ là giao điểm của $A C$ và $M H$. Chứng minh:

1. $B H K C$ và $A M E I$ là các tứ giác nội tiếp.

2. $A K . A C=A M^{2}$.

3. $A E \cdot A C+B E \cdot B M$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm $M$.

4. Khi $M$ chuyển động trên cung $A C$ thì đường tròn ngoại tiếp tam giác $I M C$ đi qua hai điểm cố định.

Câu 33. Cho đường tròn $(O ; R)$ và điểm $A$ cố định ở ngoài đường tròn. Vẽ đường thẳng $d \perp O A$ tại $A$. Trên $d$ lấy điểm $M$. Qua $M$ kẻ 2 tiếp tuyến $M E, M F$ tới đường tròn $(O)$. Nối $E F$ cắt $O M$ tại $H$, cắt $O A$ tại $B$.

1. Chứng minh $A B H M$ là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng $\operatorname{minh} O A \cdot O B=O H \cdot O M=R^{2}$.

3. Chứng minh tâm $I$ của đường tròn nội tiếp tam giác $M E F$ thuộc một đường tròn cố định khi $M$ di chuyển trên $d$.

4. Tìm vị trí của $M$ để diện tích $\triangle H B O$ lớn nhất.

Câu 34. Cho $(O ; R)$ và điểm $A$ thuộc đường tròn. Kẻ tiếp tuyến $A x$ với đường tròn. Trên Ax lấy điểm $H$ sao cho $A H<R$. Dựng đường thẳng $d \perp A x$ tại $H$. Đường thẳng $d$ cắt đường tròn tại $E$ và $B(E$ nằm giữa $H$ và $B)$.

1. Chứng minh $\triangle A B H \# \triangle \mathrm{EAH}$.

2. Lấy điểm $C$ thuộc $A x$ sao cho $H$ là trung điểm $A C$. Nối $C E$ cắt $A B$ tại $K$. Chứng minh AHEK là tứ giác nội tiếp.

3. Tìm vị trí của $H$ trên $A x$ sao cho $A B=R \sqrt{3}$.

Câu 35. Cho $\triangle A B C$ vuông ở $A$. Trên cạnh $A C$ lấy 1 điểm $M$, dựng đường tròn tâm $(O)$ có đường kính $M C$.Đường thẳng $B M$ cắt đường tròn tâm $(O)$ tại $D$, đường thẳng $A D$ cắt đường tròn tâm $(O)$ tại $S$

1. Chứng minh tứ giác $A B C D$ là tứ giác nội tiếp và $C A$ là tia phân giác của góc $\widehat{B C S}$.

2. Gọi $E$ là giao điểm của $B C$ với đường tròn $(O)$. Chứng minh các đường thẳng $B A, E M, C D$ đông quy.

3. Chứng minh $M$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $A D E$.

Câu 36. Cho đường tròn $(O ; R)$, đường kính $A B$. Điểm $H$ thuộc đoạn $O A$. Kẻ dây $C D$ vuông góc với $A B$ tại $H$. Vẽ đường tròn $\left(O_{1}\right)$ đường kính $A H$ và đường tròn $\left(O_{2}\right)$ đường kính $B H$. Nối $A C$ cắt đường tròn $\left(O_{1}\right)$ tại $N$. Nối $B C$ cắt đường tròn $\left(O_{2}\right)$ tại $M$.Đường thẳng $M N$ cắt đường tròn $(O ; R)$ tại $E$ và $F$.

1. Chứng minh $C M H N$ là hình chữ nhật.

Liên hệ tài liệu word toán SDT (zalo): 039.373.2038 2. Cho $A H=4 \mathrm{~cm}, B H=9 \mathrm{~cm}$. Tính $M N$.

3. Chứng minh $M N$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn $\left(O_{1}\right)$ và $\left(O_{2}\right)$.

4. Chứng $\operatorname{minh} C E=C F=C H$.

Câu 37. Cho đường tròn $(O ; R)$ có hai đường kính vuông góc $A B$ và $C D$. Gọi $I$ là trung điểm của $O B$. Tia $C I$ cắt đường tròn $(O ; R)$ tại $E$. Nối $A E$ cắt $C D$ tại $H ;$ nối $B D$ cắt $A E$ tại $K$.

1. Chứng minh tứ giác $O I E D$ nội tiếp.

2. Chứng $\operatorname{minh} A H \cdot A E=2 R^{2}$.

3. Tính $\tan \widehat{B A E}$.

4. Chứng minh $O K$ vuông góc với $B D$.

Câu 38. Cho đường tròn tâm $O$, bán kính $R$, đường kính $A D$. Điểm $H$ thuộc đoạn $O D$. Kẻ dây $B C \perp A D$ tại $H$. Lấy điểm $M$ thuộc cung nhỏ $A C$, kẻ $C K \perp A M$ tại $K$. Đường thẳng $B M$ cắt $C K$ tại $N$.

1. Chứng minh $A H \cdot A D=A B^{2}$.

2. Chứng minh tam giác $C A N$ cân tại $A$.

3. Giả sử $H$ là trung điểm của $O D$. Tính $R$ theo thể tích hình nón có bán kính đáy là $H D$, đường cao $B H$.

4. Tìm vị trí của $M$ để diện tích tam giác $A B N$ lớn nhất.

Câu 39. Cho nửa đường tròn $(O ; R)$ đường kính $B C$. Điểm $A$ thuộc nửa đường tròn $(A C \leq A B)$. Dựng về phía ngoài $\triangle A B C$ một hình vuông $A C E D$. Tia $E A$ cắt nửa đường tròn tại $F$. Nối $B F$ cắt $E D$ tại $K$.

1. Chứng minh rằng 4 điểm $B, C, D, K$ thuộc một đường tròn.

2. Chứng $\operatorname{minh} A B=E K$.

3. Cho $\widehat{A B C}=30^{\circ} ; B C=10 \mathrm{~cm}$. Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây $A C$ và cung nhỏ $A C$.

4. Tìm vị trí điểm $A$ để chu vi tam giác $\triangle A B C$ lớn nhất.

Câu 40. Cho đường tròn $(O ; R)$ đường kính $A C$ cố định. Kẻ tiếp tuyến $A x$ với đường tròn tại $A$. Lấy $M$ thuộc $A x$, kẻ tiếp tuyến $M B$ với đường tròn tại $B$ ( $B$ khác $A)$. Tiếp tuyến của đường tròn tại $C$ cắt $A B$ tại $D$. Nối $O M$ cắt $A B$ tại $I$, cắt cung nhỏ $A B$ tại $E$.

1. Chứng minh $O I D C$ là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh tích $A B \cdot A D$ không đổi khi $M$ di chuyển trên $A x$.

3. Tìm vị trí điểm $M$ trên $A x$ để $A O B E$ là hình thoi.

4. Chứng $\operatorname{minh} O D \perp M C$.

Câu 41. Cho đường tròn $(O ; R)$ đường kính $A B$ và điểm $C$ thuộc đường tròn. Gọi $M$ và $N$ là điểm chính giữa các cung nhỏ $A C$ và $B C$. Nối $M N$ cắt $A C$ tại $I$. Hạ $N D \perp A C$. Gọi $E$ là trung điểm $B C$. Dựng hình bình hành $A D E F$.

1. Tính $\widehat{M I C}$. 2. Chứng minh $D N$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O ; R)$.

3. Chứng minh rằng $F$ thuộc đường tròn $(O ; R)$.

4. Cho $\widehat{C A B}=30^{\circ} ; R=30 \mathrm{~cm}$. Tính thể tích hình tạo thành khi cho $\triangle A B C$ quay một vòng quanh $A B$

Câu 42. Cho đường tròn $(O ; R)$ với dây $A B$ cố định. Gọi $I$ là điểm chính giữa cung lớn $A B$.

Điểm $M$ thuộc cung nhỏ $I B$. Hạ $A H \perp I M ; A H$ cắt $B M$ tại $C$.

1. Chứng minh $\triangle I A B$ và $\triangle M A C$ là tam giác cân.

2. Chứng minh $C$ thuộc một đường tròn cố định khi $M$ chuyển động trên cung nhỏ $I B$.

3. Tìm vị trí của $M$ để chu vi $\triangle M A C$ lớn nhất.

Câu 43. Cho đường tròn $(O ; R)$ đường kính $A B$. Kẻ tiếp tuyến $A x$ với đường tròn. Trên $A x$ lấy điểm $K(A K \geq R)$. Qua $K$ kẻ tiếp tuyến $K M$ với đường tròn $(O)$. Đường thẳng $d \perp A B$ tại $O, d$ cắt $M B$ tại $E$.

1. Chứng minh $K A O M$ là tứ giác nội tiếp;

2. $O K$ cắt $A M$ tại $I$. Chứng minh $O I . O K$ không đổi khi $K$ chuyển động trên $A x$;

3. Chứng minh $K A O E$ là hình chữ nhật;

4. Gọi $H$ là trực tâm của $\triangle K M A$. Chứng minh rằng khi $K$ chuyển động trên $A x$ thì $H$ thuộc một đường tròn cố định.

Câu 44. Cho đường tròn $(\mathrm{O})$ đường kính $A B=2 R$. Gọi $C$ là trung điểm của $O A$. Dây $M N \perp A B$ tại $C$. Trên cung $M B$ nhỏ lấy điểm $K$. Nối $A K$ cắt $N M$ tại $H$.

1. Chứng minh $B C H K$ là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh tích $A H$. $A K$ không đổi khi $K$ chuyển động trên cung nhỏ $M B$.

3. Chứng $\operatorname{minh} \triangle B M N$ là tam giác đều.

4. Tìm vị trí điểm $K$ để tổng $K M+K N+K B$ lớn nhất.

Câu 45. Cho đường tròn $(O ; R)$ và điểm $A$ ở ngoài đường tròn. Qua $A$ kẻ 2 tiếp tuyến $A B, A C$ tới đường tròn $(B$ và $C$ là 2 tiếp điểm). I là một điểm thuộc đoạn $B C(I B<I C)$. Kẻ đường thẳng $d \perp O I$ tại $I$. Đường thẳng $d$ cắt $A B, A C$ lân lượt tại $E$ và $F$.

1. Chứng minh $O I B E$ và $O I F C$ là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh $I$ là trung điểm $E F$.

3. K là một điểm trên cung nhỏ $B C$. Tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $K$ cắt $A B ; A C$ tại $M$ và $N$. Tính chu vi $\triangle A M N$ nếu $O A=2 R$.

4. Qua $O$ kẻ đường thẳng vuông góc với $O A$ cắt $A B, A C$ tại $P$ và $Q$. Tìm vị trí của $A$ để $S_{A P Q}$ nhỏ nhất.

Câu 46. Cho 2 đường tròn $(O)$ và $\left(O^{\prime}\right)$ cắt nhau tại hai điểm $A, B$ phân biệt. Đường thẳng $O A$ cắt $(O) ;\left(O^{\prime}\right)$ lần lượt tại điểm thứ hai $C, D$. Đường thẳng $O^{\prime} A$ cắt $(O) ;\left(O^{\prime}\right)$ lần lượt tại điểm thứ hai $E, F$.

1. Chứng minh 3 đường thẳng $A B, C E$ và $D F$ đồng quy tại một điểm $I$.

2. Chứng minh tứ giác $B E I F$ nội tiếp được trong một đường tròn.

3. Cho $P Q$ là tiếp tuyến chung của $(O)$ và $\left(O^{\prime}\right)\left(P \in(O), Q \in\left(O^{\prime}\right)\right)$. Chứng minh đường thẳng $A B$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $P Q$.

Câu 47. Cho hai đường tròn $(O ; R)$ và $\left(O^{\prime} ; R^{\prime}\right)$ với $R>R^{\prime}$ cắt nhau tại $A$ và $B$. Kẻ tiếp tuyến chung $D E$ của hai đường tròn với $D \in(O)$ và $E \in\left(O^{\prime}\right)$ sao cho $B$ gân tiếp tuyến đó hơn so với A.

1. Chứng minh rằng $\widehat{D A B}=\widehat{B D E}$.

2. Tia $A B$ cắt $D E$ tại $M$. Chứng minh $M$ là trung điểm của $D E$.

3. Đường thẳng $E B$ cắt $D A$ tại $P$, đường thẳng $D B$ cắt $A E$ tại $Q$. Chứng minh rằng $P Q$ song song với $A B$.

Câu 48. Cho đường trong $(O ; R)$ và đường thẳng $d$ không qua $O$ cắt đường tròn tại hai điểm $A, B$. Lấy một điểm $M$ trên tia đối của tia $B A$ kẻ hai tiếp tuyến $M C, M D$ với đường tròn $(C, D$ là các tiếp điểm). Gọi $H$ là trung điểm của $A B$;

1. Chứng minh rằng các điểm $M, D, O, H$ cùng nằm trên một đường tròn.

2. Đoạn $O M$ cắt đường tròn tại $I$. Chứng minh rằng $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $M C D$.

3. Đường thẳng qua $O$, vuông góc với $O M$ cắt các tia $M C, M D$ thứ tự tại $P$ và $Q$. Tìm vị trí của điểm $M$ trên $d$ sao cho diện tích tam giác $M P Q$ bé nhất.

Câu 49. Cho $\triangle A B C$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O ; R)$. Ba đường cao $A D ; B E ; C F$ cắt nhau tại $H$. Gọi $I$ là trung điểm $B C$, vẽ đường kính $A K$.

1. Chứng minh ba điểm $H, I, K$ thẳng hàng.

2. Chứng $\operatorname{minh} D A . D H=D B . D C$.

3. Cho $\widehat{B A C}=60^{\circ} ; S_{A B C}=20 \mathrm{~cm}^{2}$. Tính $S_{A B C}$.

4. Cho $B C$ cố định; $A$ chuyển động trên cung lớn $B C$ sao cho $\triangle A B C$ có ba góc nhọn. Chứng minh điểm $H$ luôn thuộc một đường tròn cố định.

Câu 50. Cho đường tròn $(O ; R)$ có hai đường kính vuông góc là $A B$ và $C D$. Lấy $K$ thuộc cung nhỏ $A C$, kẻ $K H \perp A B$ tại $H$. Nối $A C$ cắt $H K$ tại $I$, tia $B C$ cắt $H K$ tại $E$; nối $A E$ cắt đường tròn $(O ; R)$ tại $F$.

1. Chứng minh $B H F E$ là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh $E C . E B=E F . E A$.

3. Cho $H$ là trung điểm $O A$. Tính theo $R$ diện tích $\triangle C E F$.

4. Cho $K$ di chuyển trên cung nhỏ $A C$. Chứng minh đường thẳng $F H$ luôn đi qua một điểm cố định.

Tiếp theo: Chủ đề 8: Các bài toán về hình trụ, nón, cầu