Chuyên đề: Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM) – Ôn thi HSG Toán 8

Chuyên đề: Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM) – Ôn thi HSG Toán 8

LÝ THUYẾT BẤT ĐẲNG THỨC Cauchy (AM – GM)

Tên gọi:

Bất đẳng thức Cauchy (AM- GM) hay còn gọi là BĐT Trung bình cộng và Trung bình Nhân. Ngoài ra còn 1 số sách và 1 số giáo viên thường gọi là Cô si.

Định nghĩa:

Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của

chúng và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

Tổng quát:

Ở cấp THCS, Tài liệu Toán  xin phép chỉ đưa ra hai công thức tổng quát sau:

• Với $a,b\ge 0$ thì $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$ , Dấu “ = “  khi và chỉ khi  $a=b$
• Với $a,b,c\ge 0$ thì $\frac{a+b+c}{3}\ge 3\sqrt[3] {abc}$  , Dấu “ = “ khi và chỉ khi $a=b=c$

B: CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC Cauchy (AM – GM)

 Dạng 1: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP CÔNG THỨC

 Bài 1: Cho $x,y,z\ge 0$, CMR : $\left( x+y \right)\left( y+z \right)\left( z+x \right)\ge 8xyz$

HD:

Áp dụng Cô si cho hai số $x,y\ge 0$, ta có: $x+y\ge 2\sqrt{xy}$ ,

Làm tương tự ta sẽ có :  $\left\{ \begin{align}& y+z\ge 2\sqrt{yz} \\& z+x\ge 2\sqrt{zx} \\\end{align} \right.$,

Nhân theo vế ta được:

$\left( x+y \right)\left( y+z \right)\left( z+x \right)\ge 8xyz$

Dấu “ = “ khi và chỉ khi: $\left\{ \begin{align}& x=y \\& y=z \\& z=x \\\end{align} \right.<=>x=y=z$

Bài 2: Cho$a,b,c>0$  và $abc=1$ , CMR: $\left( a+1 \right)\left( b+1 \right)\left( c+1 \right)\ge 8$

HD :

Áp dụng Cô si cho hai số không âm $a,1$ , ta có : $a+1\ge 2\sqrt{a}$

Tương tự ta sẽ có : $\left\{ \begin{align}& b+1\ge 2\sqrt{b} \\& c+1\ge 2\sqrt{c} \\\end{align} \right.=>\left( a+1 \right)\left( b+1 \right)\left( c+1 \right)\ge 8\sqrt{abc}=8$

Dấu “ = “ khi và chỉ khi:  $a=b=c=1$

Bài 3: Cho $a,b$  không âm. CMR: $\left( a+b \right)\left( ab+1 \right)\ge 4ab$

HD :

Áp dụng Cô si cho hai số không âm $a,b$ , ta có : $a+b\ge 2\sqrt{ab}$

Tương tự : $ab+1\ge 2\sqrt{ab}$  , nhân theo vế ta được : $\left( a+b \right)\left( ab+1 \right)\ge 4ab$

Dấu “ = “ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{align}& a=b \\& ab=1 \\\end{align} \right.<=>a=b=1$

Bài 4: Cho 3 số x,y,z >0, CMR: $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge 3$

HD:

Ta có:$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge 3\sqrt[3] {\frac{x}{y}.\frac{y}{z}.\frac{z}{x}}=3$, Dấu bằng khi $\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}=>\left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}=yz \\& {{y}^{2}}=xz \\& {{z}^{2}}=xy \\\end{align} \right.=>x=y=z$

Bài 5: CMR: ${{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}+{{d}^{4}}\ge 4abcd$, Với mọi $a,b,c,d$

HD :

Vì ${{a}^{4}},{{b}^{4}},{{c}^{4}},{{d}^{4}}$ là 4 số dương =>${{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}+{{d}^{4}}\ge 4\sqrt[4] {{{\left( abcd \right)}^{4}}}=4abcd$

Dấu “ = “ khi và chỉ khi $a=b=c=d$

Bài 6: Cho $a,b,c,d>0;abcd=1$ . CMR:${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+ab+cd\ge 6$

HD :

Ta có : $\left\{ \begin{align}& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2ab \\& {{c}^{2}}+{{d}^{2}}\ge 2cd \\\end{align} \right.=>{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+ab+cd\ge 3\left( ab+cd \right)\ge 3.2\sqrt{abcd}=6$

Dấu “ = “ khi và chỉ khi

Bài 7: CMR: $\frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{b}^{2}}}{{{c}^{2}}}+\frac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}}\ge \frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}$

HD:

Áp dụng Cô si cho hai số không âm  $\frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}};\frac{{{b}^{2}}}{{{c}^{2}}}$ , ta có : $\frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{b}^{2}}}{{{c}^{2}}}\ge 2.\frac{a}{c}$,

Tương tự : $\frac{{{b}^{2}}}{{{c}^{2}}}+\frac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}}\ge 2.\frac{b}{a}$, và $\frac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}\ge 2.\frac{c}{b}$

Cộng theo vế ta được :  $2\left( \frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{b}^{2}}}{{{c}^{2}}}+\frac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}} \right)\ge 2\left( \frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b} \right)=>VT\ge VP$

Dấu “ = “ xảy ra khi: $a=b=c$

Bài 8: Cho a,b,c > 0, CMR: $\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c$

HD :

Ta có : $\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}=c\left( \frac{b}{a}+\frac{a}{b} \right)\ge 2c$,

Tương tự ta có : $\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}=a\left( \frac{c}{b}+\frac{b}{c} \right)\ge 2a$ và $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}=b\left( \frac{a}{c}+\frac{c}{a} \right)\ge 2b$

Cộng theo vế ta được : $2VT\ge 2VP$

Bài 9: Cho $a,b,c>0$. CMR : $\frac{a}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}+\frac{b}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}+\frac{c}{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}\le \frac{1}{2}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)$

HD:

Áp dụng Cô si cho hai số ${{a}^{2}},{{b}^{2}}>0$  , ta có : ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2ab$

Làm tương tự ta sẽ có$\left\{ \begin{align}& {{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 2bc \\& {{c}^{2}}+{{a}^{2}}\ge 2ca \\\end{align} \right.=>VT\le \frac{a}{2ab}+\frac{b}{2bc}+\frac{c}{2ca}=\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}+\frac{1}{2a}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)$Dấu “ = “ khi và chỉ khi: $\left\{ \begin{align}& a=b \\& b=c \\& c=a \\\end{align} \right.<=>a=b=c$

Bài 10: CMR: Với mọi $a,b,c>0$ , thì $\left( a+b+c \right)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\ge 9$

HD:

Áp dụng Cô si cho ba số $a,b,c>0$ , ta có : $a+b+c\ge 3\sqrt[3] {abc}$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 3\sqrt[3] {\frac{1}{abc}}$

Nhân theo vế ta có: $\left( a+b+c \right)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\ge 9$

Dấu “ = “ khi và chỉ khi : $\left\{ \begin{align}& a=b=c \\& \frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c} \\\end{align} \right.<=>a=b=c$

Bài 11: Cho $a,b,c\ge 0$ và $a+b+c\le 3$,

CMR :  $\frac{a}{1+{{a}^{2}}}+\frac{b}{1+{{b}^{2}}}+\frac{c}{1+{{c}^{2}}}\le \frac{3}{2}\le \frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}$

HD:

Ta có: $\left\{ \begin{align}& 1+{{a}^{2}}\ge 2a \\& 1+{{b}^{2}}\ge 2b \\& 1+{{c}^{2}}\ge 2c \\\end{align} \right.=>\frac{a}{1+{{a}^{2}}}+\frac{b}{1+{{b}^{2}}}+\frac{c}{1+{{c}^{2}}}\le \frac{a}{2a}+\frac{b}{2b}+\frac{c}{2a}=\frac{3}{2}$

Đặt $\left\{ \begin{align}& 1+a=x \\& 1+b=y \\& 1+c=z \\\end{align} \right.=>x+y+z=a+b+c+3\le 6$ =>$B=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge \frac{3}{2}$,

Khi đó: $\left( x+y+z \right)\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right)\ge 9=>\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge \frac{9}{x+y+z}\ge \frac{9}{6}=\frac{3}{2}$

Bài 12: Cho a,b,c là ba số dương, CMR: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{3}{2}$

HD:

Ta có : Áp dụng bất đẳng thức :$\left( x+y+z \right)\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right)\ge 9$

Đặt $\left\{ \begin{align}& x=a+b \\& y=b+c \\& z=c+a \\\end{align} \right.=>2\left( a+b+c \right)\left( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right)\ge 9$

$<=>\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}\ge \frac{9}{2}$$<=>$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}$

Bài 13: Cho a,b > 0, CMR: $\frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}+\frac{1}{a+b}\ge \frac{3}{2}$

HD :

$VT=\left( \frac{a}{b+1}+1 \right)+\left( \frac{b}{a+1}+1 \right)+\left( \frac{1}{a+b}+1 \right)-3=\left( a+b+1 \right)\left( \frac{1}{b+1}+\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a+b} \right)-3$

$=\frac{1}{2}\left[ \left( a+1 \right)+\left( b+1 \right)+\left( a+b \right) \right] \left( \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{a+b} \right)-3$$\ge \frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}$

Bài 14: Với a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác CMR: $\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge 3$

HD :

Ta có : $VT\ge 3\sqrt[3] {\frac{abc}{\left( b+c-a \right)\left( c+a-b \right)\left( a+b-c \right)}}$

Lại có : $\left( b+c-a \right)+\left( c+a-b \right)\ge 2\sqrt{\left( b+c-a \right)\left( c+a-b \right)}$

$=>2c\ge 2\sqrt{\left( b+c-a \right)\left( c+a-b \right)}$, Tương tự ta có :

$a\ge \sqrt{\left( c+a-b \right)\left( a+b-c \right)}$ và $b\ge \sqrt{\left( b+c-a \right)\left( a+b-c \right)}$

=>$abc\ge \left( b+c-a \right)\left( c+a-b \right)\left( a+b-c \right)$ =>$\frac{abc}{\left( b+c-a \right)\left( c+a-b \right)\left( a+b-c \right)}\ge 1=>VT\ge 3\sqrt[3] {1}=3$

Bài 15: Cho a,b,c > 0, CMR: $\frac{1}{{{a}^{2}}+bc}+\frac{1}{{{b}^{2}}+ac}+\frac{1}{{{c}^{2}}+ab}\le \frac{a+b+c}{2abc}$

HD :

Co si cho hai số : ${{a}^{2}},bc$, Ta được: ${{a}^{2}}+bc\ge 2a\sqrt{bc}=>\frac{1}{{{a}^{2}}+bc}\le \frac{1}{2a\sqrt{bc}}=>\frac{2}{{{a}^{2}}+bc}\le \frac{1}{2}\left( \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc} \right)$

Tương tự ta có :

$\frac{2}{{{b}^{2}}+ac}\le \frac{1}{2}\left( \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc} \right)$ và $\frac{2}{{{c}^{2}}+ab}\le \frac{1}{2}\left( \frac{1}{ca}+\frac{1}{cb} \right)$

Cộng theo vế ta được : $2VT\le \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{a+b+c}{abc}=>VT\le \frac{a+b+c}{2abc}$