Chuyên đề Bất Đẳng Thức – Ôn thi HSG Toán 8

Chuyên đề Bất Đẳng Thức – Ôn thi HSG Toán 8

Lý thuyết Bất Đẳng Thức

Định nghĩa:

– Các mệnh  đề “ A > B ” hoặc “ A < B ” được gọi là bất đẳng thức. (BĐT)

– Các mệnh đề: “ $A\ge B$”  hoặc “ $A\le B$ “  được gọi là các bất đẳng thức suy rộng.

Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương:

– Nếu từ BĐT A > B mà ta biến đổi được thành C > D thì ta nói rằng BĐT C > D là BĐT hệ quả của BĐT A > B. kí hiệu A > B => C > D

– Nếu BĐT A>B là hệ quả của BĐT C>D và C>D cũng là BĐT hệ quả của BĐT A>B thì ta nói hai BĐT trên tương đương với nhau, Kí hiệu A>B <=> C>D

Tính chất:

– $A<B<=>A-C<B-C$  ( Cộng hai vế của BĐT với cùng một số)

– $\left[ \begin{align}& A>B<=>A.C>B.C,\left( C>0 \right) \\& A>B<=>A.C<B.C,\left( C<0 \right) \\\end{align} \right.$  (Nhân hai vế của BĐT với cùng một số)

– $A<B,C<D=>A+C<B+D$  ( Cộng hai BĐT cùng chiều)

– $A<B,C<D=>AC<BD,\left( A,C>0 \right)$  (Nhân hai BĐT cùng chiều)

– $A<B<=>{{A}^{2n+1}}<{{B}^{2n+1}}$  hoặc ${{A}^{2n}}<{{B}^{2n}}$  Với A > 0, (Nâng hai vế của BĐT lên một lũy thừa)

– $A<B<=>\sqrt{A}<\sqrt{B},\left( A>0 \right)$   (Khai căn hai vế của một BĐT)

– $\left| a \right|-\left| b \right|\le \left| a+b \right|\le \left| a \right|+\left| b \right|$  (Tính chất giá trị tuyệt đối).

 Bài tập về Bất Đẳng Thức

 Dạng 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA:

A>B TA XÉT HIỆU A – B >0, CHÚ Ý BĐT ${{A}^{2}}\ge 0$

 Bài 1: CMR : với mọi x,y,z thì ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\ge xy+yz+zx$

HD:

Xét hiệu ta có:$2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-xy-yz-zx \right)\ge 0<=>{{\left( x-y \right)}^{2}}+{{\left( y-z \right)}^{2}}+{{\left( z-x \right)}^{2}}\ge 0$

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z

Bài 2: CMR : với mọi x,y,z thì ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\ge 2xy+2yz-2zx$

HD:

Xét hiệu ta có:${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2xy-2yz+2zx\ge 0<=>{{\left( x-y+z \right)}^{2}}\ge 0$

Dấu bằng xảy ra khi x+z=y

Bài 3: CMR : với mọi x,y,z thì ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+3\ge 2\left( x+y+z \right)$

HD:

Xét hiệu ta có:${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}\ge 0$, Dấu bằng khi x=y=z=1

Bài 4: CMR : với mọi a,b ta có : $\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}\ge {{\left( \frac{a+b}{2} \right)}^{2}}$

HD :

Xét hiệu ta có :$\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}-\frac{{{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}}{4}\ge 0$<=>$2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}-\left( {{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}} \right)\ge 0$

$<=>{{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\ge 0<=>{{\left( a+b \right)}^{2}}\ge 0$, Dấu bằng khi a=- b

Bài 5: CMR : với mọi a,b,c ta có : $\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{3}\ge {{\left( \frac{a+b+c}{3} \right)}^{2}}$

HD:

Ta có:$\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{3}\ge \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2ab+2bc+2ac}{9}$

$<=>3{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}+3{{c}^{2}}-\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2ab+2bc+2ac \right)\ge 0$

$<=>2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+2{{c}^{2}}-2ab-2bc-2ac\ge 0$

$<=>{{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}\ge 0$, Dấu bằng khi a=b=c

Bài 6: CMR : ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge \frac{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}{3}$

HD:

Ta có:$3{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}+3{{c}^{2}}\ge {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2ab+2bc+2ca$

$<=>2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+2{{c}^{2}}-2ab-2bc-2ac\ge 0$

$<=>{{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}\ge 0$, Dấu bằng khi a=b=c

Bài 7: CMR : ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge \frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{2}\ge 2ab$

HD:

Ta chứng minh:${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge \frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{2}$$<=>2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}\ge {{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}$

$<=>{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab\ge 0<=>{{\left( a-b \right)}^{2}}\ge 0$, Dấu bằng khi a=b

Ta chứng minh $\frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{2}\ge 2ab$$<=>{{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\ge 4ab<=>{{\left( a-b \right)}^{2}}\ge 0$ , Dấu bằng khi a=b

Bài 8: Cho a,b,c là các số thực. CMR: ${{a}^{2}}+\frac{{{b}^{2}}}{4}\ge ab$

HD:

Ta có:$4{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-4ab<=>{{\left( 2a-b \right)}^{2}}\ge 0$

Dấu bằng khi b=2a

Bài 9: Cho a,b,c là các số thực. CMR : ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1\ge ab+a+b$

HD:

Ta có:${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1-ab-a-b\ge 0$$<=>2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+2-2ab-2a-2b\ge 0$

$<=>\left( {{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}} \right)+\left( {{a}^{2}}-2a+1 \right)+\left( {{b}^{2}}-2b+1 \right)\ge 0$$<=>{{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}\ge 0$ .

Dấu bằng khi a=b=1

Bài 10: Cho a,b,c,d là các số thực . CMR : ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+{{e}^{2}}\ge a\left( b+c+d+e \right)$

HD:

Ta có:${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+{{e}^{2}}-ab-ac-ad-ae\ge 0$

$<=>4{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}+4{{c}^{2}}+4{{d}^{2}}+4{{e}^{2}}-4ab-4ac-4ad-4ae\ge 0$

$<=>$$\left( {{a}^{2}}-4ab+4{{b}^{2}} \right)+\left( {{a}^{2}}-4ac+4{{c}^{2}} \right)+\left( {{a}^{2}}-4ad+4{{d}^{2}} \right)+\left( {{a}^{2}}-4ae+4{{e}^{2}} \right)\ge 0$

$<=>$${{\left( a-2b \right)}^{2}}+{{\left( a-2c \right)}^{2}}+{{\left( a-2d \right)}^{2}}+{{\left( a-2e \right)}^{2}}\ge 0$

Dấu bằng xảy ra khi a=2b=2c=2d=2e

 

 

Bài 11: Cho a,b thỏa mãn: a+b = 1,  a>0, b>0.CMR: $\left( 1+\frac{1}{a} \right)\left( 1+\frac{1}{b} \right)\ge 9$

HD:

Ta có: VT $=\left( 1+\frac{a+b}{a} \right)\left( 1+\frac{a+b}{b} \right)=\left( 2+\frac{b}{a} \right)\left( 2+\frac{a}{b} \right)=4+2\left( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right)+1$

$=5+2\left( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right)\ge 5+2.2=9$. Dấu bằng khi $\frac{a}{b}=\frac{b}{a}=>{{a}^{2}}+{{b}^{2}}<=>a=b=\frac{1}{2}$

Bài 12: Cho $x,y\ge 0,CMR:{{\left( \frac{x+y}{2} \right)}^{2}}\ge xy$

HD:

Ta có:${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy\ge 4xy<=>{{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}}\ge 0<=>{{\left( x-y \right)}^{2}}\ge 0$, Dấu bằng khi x=y

Bài 13: Cho a > 0, b > 0. CMR: ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}\ge {{a}^{2}}b+a{{b}^{2}}$

HD:

Ta có:$\left( {{a}^{3}}-{{a}^{2}}b \right)+\left( {{b}^{3}}-a{{b}^{2}} \right)\ge 0<=>{{a}^{2}}\left( a-b \right)-{{b}^{2}}\left( a-b \right)\ge 0$

$<=>$$\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)\ge 0<=>{{\left( a-b \right)}^{2}}\left( a+b \right)\ge 0$

Dấu bằng khi a=b

Bài 14: Cho $a\ge b\ge 1,$ CMR: $\frac{1}{1+{{a}^{2}}}+\frac{1}{1+{{b}^{2}}}\ge \frac{2}{1+ab}$

HD:

Xét hiệu:$\left( \frac{1}{1+{{a}^{2}}}-\frac{1}{1+ab} \right)+\left( \frac{1}{1+{{b}^{2}}}-\frac{1}{1+ab} \right)\ge 0$$<=>\frac{a\left( b-a \right)}{\left( 1+{{a}^{2}} \right)\left( 1+ab \right)}+\frac{b\left( a-b \right)}{\left( 1+{{b}^{2}} \right)\left( 1+ab \right)}\ge 0$

$<=>$$\frac{{{\left( b-a \right)}^{2}}\left( ab-1 \right)}{\left( 1+ab \right)\left( {{a}^{2}}+1 \right)\left( {{b}^{2}}+a \right)}\ge 0$, Dấu bằng khi a=b hoặc a.b=1

Bài 15: CMR : với mọi số thực x,y,z,t ta luôn có : ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+{{t}^{2}}\ge x\left( y+z+t \right)$

HD:

Ta có:${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+{{t}^{2}}-xy-xz-xt\ge 0$$<=>$$4{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+4{{z}^{2}}+4{{t}^{2}}-4xy-4xz-4xt\ge 0$

$<=>$$\left( {{x}^{2}}-4xy+4{{y}^{2}} \right)+\left( {{x}^{2}}-4xz+4{{z}^{2}} \right)+\left( {{x}^{2}}-4xt+4{{t}^{2}} \right)+{{x}^{2}}\ge 0$

Dấu bằng khi x= 2y=2z=2t=0

Bài 17: CMR : $\frac{{{a}^{2}}}{4}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge ab-ac+2bc$

HD:

Ta có:${{a}^{2}}+4{{b}^{2}}+4{{c}^{2}}-4ab+4ac-8bc\ge 0$$<=>{{a}^{2}}-4a\left( b-c \right)+4\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc \right)\ge 0$

$<=>$${{a}^{2}}-4a\left( b-c \right)+4{{\left( b-c \right)}^{2}}\ge 0$$<=>$${{\left( a-2a+2c \right)}^{2}}\ge 0$

Bài 19: CMR : ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\ge 2xy-2zx+2yz$

HD:

Ta có:${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2xy-2yz+2zx\ge 0$$<=>{{x}^{2}}-2x\left( y-z \right)+{{y}^{2}}-2yz+{{z}^{2}}\ge 0$

${{x}^{2}}-2x\left( y-z \right)+{{\left( y-z \right)}^{2}}\ge 0<=>{{\left( x-y+z \right)}^{2}}\ge 0$

Bài 20: CMR : ${{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^{4}}+1\ge 2x\left( x{{y}^{2}}-x-z+1 \right)$

HD:

Ta có:${{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^{4}}+1-2{{x}^{2}}{{y}^{2}}+2{{x}^{2}}-2xz-2x\ge 0$            $\left( {{x}^{4}}+{{y}^{4}}-2{{x}^{2}}{{y}^{2}} \right)+\left( {{x}^{2}}-2xz+{{z}^{2}} \right)+\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)\ge 0$

${{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)}^{2}}+{{\left( x-z \right)}^{2}}+{{\left( x-1 \right)}^{2}}\ge 0$, Dấu bằng khi x=z=1, y=$\pm 1$

Bài 21: CMR : ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge ab+bc+ca$

HD:

Ta có :${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca\ge 0$$<=>2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+2{{c}^{2}}-2ab-2bc-2ca\ge 0$

$<=>{{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}\ge 0$

Bài 22: CMR : ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge ab$

HD:

Ta có:${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-ab\ge 0$$<=>{{a}^{2}}-2a.\frac{b}{2}+\frac{{{b}^{2}}}{4}+\frac{3{{b}^{2}}}{4}\ge 0<=>{{\left( a-\frac{b}{2} \right)}^{2}}+\frac{3{{b}^{2}}}{4}\ge 0$

Bài 23: CMR : ${{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}\ge 0$

HD:

Ta có:${{x}^{2}}+2x.\frac{y}{2}+\frac{{{y}^{2}}}{4}+\frac{3{{y}^{2}}}{4}\ge 0<=>{{\left( x+\frac{y}{2} \right)}^{2}}+\frac{3{{y}^{2}}}{4}\ge 0$

Bài 24: CMR : $a\left( a+b \right)\left( a+c \right)\left( a+b+c \right)+{{b}^{2}}{{c}^{2}}\ge 0$

HD:

$<=>a\left( a+b+c \right)\left( a+b \right)\left( a+c \right)+{{b}^{2}}{{c}^{2}}\ge 0$

$<=>$$\left( {{a}^{2}}+ab+ac \right)\left( {{a}^{2}}+ab+ac+bc \right)+{{b}^{2}}{{c}^{2}}\ge 0$

Đặt $\left\{ \begin{align}& {{a}^{2}}+ab+ac=x \\& bc=y \\\end{align} \right.$, Khi đó ta có: $x\left( x+y \right)+{{y}^{2}}\ge 0<=>{{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}\ge 0$

Bài 25: CMR : $\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}} \right)\ge {{\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}} \right)}^{2}}$

HD:

Ta có:${{a}^{6}}+{{a}^{2}}{{b}^{4}}+{{a}^{4}}{{b}^{2}}+{{b}^{6}}\ge {{a}^{6}}+2{{a}^{3}}{{b}^{3}}+{{b}^{6}}$

$<=>$$\left( {{a}^{4}}{{b}^{2}}-{{a}^{3}}{{b}^{3}} \right)+\left( {{a}^{2}}{{b}^{4}}-{{a}^{3}}{{b}^{3}} \right)\ge 0$

$<=>$${{a}^{3}}{{b}^{2}}\left( a-b \right)+{{a}^{2}}{{b}^{3}}\left( b-a \right)\ge 0$

$<=>$$\left( a-b \right)\left( {{a}^{3}}{{b}^{2}}-{{a}^{2}}{{b}^{3}} \right)\ge 0<=>{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{\left( a-b \right)}^{2}}\ge 0$

Bài 26: CMR : $\left( a+b \right)\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}} \right)\le 2\left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}} \right)$

HD:

Ta có:${{a}^{4}}+a{{b}^{3}}+{{a}^{3}}b+{{b}^{4}}\le 2{{a}^{4}}+2{{b}^{4}}$$<=>$${{a}^{4}}-a{{b}^{3}}+{{b}^{4}}-{{a}^{3}}b\ge 0$

$<=>$${{a}^{3}}\left( a-b \right)+{{b}^{3}}\left( b-a \right)\ge 0$$<=>$$\left( {{a}^{3}}-{{b}^{3}} \right)\left( a-b \right)\ge 0<=>{{\left( a-b \right)}^{2}}\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)\ge 0$

Bài 27: Cho a,b > 0, CMR : $2\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}} \right)\ge \left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)$

HD:

Ta có:$2{{a}^{3}}+2{{b}^{3}}\ge {{a}^{3}}+a{{b}^{2}}+{{a}^{2}}b+{{b}^{3}}$

$<=>$${{a}^{3}}-{{a}^{2}}b+{{b}^{3}}-a{{b}^{2}}\ge 0$

$<=>$${{a}^{2}}\left( a-b \right)+{{b}^{2}}\left( b-a \right)\ge 0$

$<=>$${{\left( a-b \right)}^{2}}\left( a+b \right)\ge 0$

Bài 28: Cho a, b > 0, CMR: $4\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}} \right)\ge {{\left( a+b \right)}^{3}}$

HD:

Ta có:$4{{a}^{3}}+4{{b}^{3}}\ge {{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}$

$<=>$$3{{a}^{3}}-3{{a}^{2}}b+3{{b}^{3}}-3a{{b}^{2}}\ge 0$

$<=>$$3{{a}^{2}}\left( a-b \right)+3{{b}^{2}}\left( b-a \right)\ge 0<=>3\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)\ge 0$

$<=>$$3{{\left( a-b \right)}^{2}}\left( a+b \right)\ge 0$

Bài 29: Cho a,b,c > 0, CMR: ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+abc\ge ab\left( a+b+c \right)$

HD:

Ta có:${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+abc\ge {{a}^{2}}b+a{{b}^{2}}+abc$

$<=>$${{a}^{3}}-{{a}^{2}}b+{{b}^{3}}-a{{b}^{2}}\ge 0$$<=>$${{a}^{2}}\left( a-b \right)+{{b}^{2}}\left( b-a \right)\ge 0$$<=>$${{\left( a-b \right)}^{2}}\left( a+b \right)\ge 0$

Bài 30: CMR: ${{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}^{2}}\ge ab{{\left( a+b \right)}^{2}}$

HD:

Ta có:${{a}^{4}}+2{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{4}}\ge ab\left( {{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}} \right)={{a}^{3}}b+2{{a}^{2}}{{b}^{2}}+a{{b}^{3}}$

$<=>$$\left( {{a}^{4}}-{{a}^{3}}b \right)+\left( {{b}^{4}}-a{{b}^{3}} \right)\ge 0$$<=>$${{a}^{3}}\left( a-b \right)+{{b}^{3}}\left( b-a \right)\ge 0$

$<=>$$\left( {{a}^{3}}-{{b}^{3}} \right)\left( a-b \right)\ge 0<=>{{\left( a-b \right)}^{2}}\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)\ge 0$