Chuyên đề Chia hết – 2324
Chuyên đề Chia hết – 2324
Bài tập chia hết phần 1
1. Chứng minh
a) $\mathrm{A}=m^{3} \mathrm{n}-\mathrm{m} n^{3}$ chia hết cho 6 với mọi số nguyên $\mathrm{m}, \mathrm{n}$
b) $n(n+1)(2 n+1)$ chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên $n$
c) $n^{3}+3 n^{2}+2 n$ chi hết cho 6 với $n \in Z$
d) với mọi số tự nhiên a,b ta có: $a b(a+b) \vdots 2$
e) $\mathrm{n}^{5}-\mathrm{n}$ chia hết cho 30 với $\mathrm{n} \in \mathrm{Z}$
f) $14 n^{3}+9 n^{2}+n$ chia hết cho 6 với $n$ là số nguyên bất kì.
g) $2019^{2021}+2021^{2019}$ chia hết cho 2020 .
h) $A=n^{3}+6 n^{2}-19 n-24$ chia hết cho 6 với $n \in \mathbb{N}$
i) $B=5^{n+2}+26.5^{n}+8^{2 n+1}$ chia hết cho 59 với mọi số tự nhiên $\mathrm{n}$
k) $7 n^{3}+2009 n \vdots 21$ với mọi số nguyên $n$.
1) Với mọi $n$ là số nguyên lẻ. Chứng minh rằng số $B=n^{3}+3 n+2412$ chia hết cho 8
m) $A=n^{3}+11 n+2016$ chia hết cho 6 với mọi số nguyên $\mathrm{n}$
n) với mọi $n$ nguyên dương ta đều có $A=3^{2 n}+2^{3 n}-2^{n}+6$ chia hết cho 7
p) $\mathrm{n}^{3}+5 \mathrm{n}$ chia hết cho 6 với mọi $\mathrm{n}$ là số nguyên
q) $n\left(31 n^{2}-1\right)$ chia hết cho 6 với mọi số nguyên $\mathrm{n}$
w) Chứng minh $\left(n^{3}-4 n\right)$ chia hết cho 48 với mọi $n$ là số tự nhiên chẵn
2. Chứng minh
a) $(n+2)(n+3)(2 n+5)$ chia hết cho 6 với mọi $\mathrm{n}$ là số nguyên
b) $n^{4}+6 n^{3}+11 n^{2}+6 n$ chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên $n$
c) $(n+2)(n+3)(2 n+5)$ chia hết cho 6 với mọi $\mathrm{n}$ là số nguyên
d) $\mathrm{D}=\mathrm{n}^{8}+4 \mathrm{n}^{7}+6 \mathrm{n}^{6}+4 \mathrm{n}^{5}+\mathrm{n}^{4}$ chia hết cho 16 với $\mathrm{n} \in \mathbf{N}$
e) $n(n+2)\left(49 n^{2}-1\right)$ chia hết cho 24 với mọi $n \in N$
f) Chứng tỏ $2^{2014}+3^{2014}$ chia hết cho 13
g) Chứng minh rằng với mọi số nguyên lẻ $n$ thì $A=n^{4}-10 n^{2}+9$ chia hết cho 384 .
h) Cho $n$ là số nguyên lẻ. Chứng minh: $n^{3}-3 n^{2}-n+3$ chia hết cho 6
i) Cho $\mathrm{n}$ là số tự nhiên lẻ. Chứng minh rằng $\left(n^{2}+4 n+3\right) \vdots 8$
k) Chứng minh rằng $n(n+2)\left(25 n^{2}-1\right)$ chia hết cho 24 .
l) $2 n^{3}+3 n^{2}+n$ chia hết cho 6 với mọi số nguyên $n$
$\mathrm{m})$ Chứng minh rằng với mọi $\mathrm{x} \in \mathrm{Z}$ thì $x^{4}+6 x^{3}+11 x^{2}+6 x$ chia hết cho 24
n) $n^{3}-6 n^{2}-13 n+18$ chia hết cho 6
3. Cho số $B=5 \cdot 24^{n}+18$. Chứng minh rằng số $B$ chia hết cho 23 với mọi số tự nhiên $n$.
4. Với mọi $\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$. Chứng minh rằng: $\mathrm{B}=\left(\mathrm{n} \cdot 2^{\mathrm{n}}\right)^{3}-\mathrm{n} \cdot 8^{\mathrm{n}}$ chia hết cho 24 .
5. $A=n^{3}-6 n^{2}+11 n-6$; chia hết cho 6 với mọi $n \in Z$. 6. Chứng minh rằng với mọi số nguyên $\mathrm{n}, \mathrm{n}$ là một số chẵn thì số $\mathrm{n}^{3}+20 \mathrm{n}$ luôn luôn chia hết cho 48.
7. Chứng minh rằng với mọi $n$ là số tự nhiên lẻ, thì $A=3 \cdot 17^{n}+2^{2 n} \cdot 3^{n+1}: 29$
8. Chứng minh với mọi số nguyên dương $\mathrm{n}$ thì : $\left(6^{2 \mathrm{n}}+19^{\mathrm{n}}-2^{\mathrm{n}+1}\right)$ chia hết cho 17 .
9. Một số chia cho 4 dư 3, chia cho 17 dư 8, chia cho 19 dư 10. Hỏi số đó chia cho 1292 dư bao nhiêu?
10. Chứng minh rằng nếu $\mathrm{p}, \mathrm{q}$ là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì $\mathrm{p}^{2}-\mathrm{q}^{2}$ chia hết cho 24 .
11. Nếu $\mathrm{a}, \mathrm{a}+\mathrm{k}, \mathrm{a}+2 \mathrm{k}\left(\mathrm{a}, \mathrm{k}\right.$ thuộc $\left.\mathrm{N}^{*}\right)$ là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì $\mathrm{k}$ chia hết cho 6 .
12. Cho $\mathrm{a}, \mathrm{b} \in \mathrm{Z}$. Chứng minh rằng nếu $16 \mathrm{a}+17 \mathrm{~b}$ chia hết cho 11 thì $17 \mathrm{a}+16 \mathrm{~b}$ cũng chia hết cho 11 và ngược lại.
13. Chứng minh $\mathrm{n}^{2}+\mathrm{n}+1$ không chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên $\mathrm{n}$.
14. Cho $\mathrm{P}, \mathrm{P}+2$ là 2 số nguyên tố lớn hơn 3 . Cm tổng của chúng chia hết cho 12 .
15. a) Cho $S=1+5+5^{2}+5^{3}+5^{4}+\ldots+5^{100}+5^{101}+5^{102}+5^{103}$. Chứng minh rằng $\mathrm{S}$ chia hết cho 13 .
b) Chứng minh tổng $\mathrm{C}=1+2+2^{2}+\ldots+2^{2011}$ chia hết cho 15
16. $A=1+3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+\ldots \ldots \ldots . .+3^{2010}+3^{2011}$. Chứng minh rằng số $A$ chia hết cho 40 .
17. Chứng minh rằng nếu số nguyên a không chia hết cho 5 thì $\mathrm{M}=\left(\mathrm{a}^{4}-5 \mathrm{a}^{2}+4\right) \vdots 5$
18. Chứng minh rằng : Nếu $x$, y là số tự nhiên thì $2 x+3 y$ chia hết cho 17 khi và chỉ khi $9 x+5 y$ chia hết cho 17.
19. Chứng minh rằng $A=1^{3}+2^{3}+\ldots+100^{3}$ chia hết cho $B=1+2+\ldots+100$
20. Chứng minh rằng nếu $\mathrm{p}$ là số nguyên tố lớn hơn 3 thì $(\mathrm{p}+1)(\mathrm{p}-1)$ chia hết cho 24
21. Cho $S=3^{0}+3^{2}+3^{4}+\ldots+3^{2020}$. Chứng minh $S \vdots 13$
22. Cho số tự nhiên $\overline{a_{1} a_{2} \ldots a_{n-1} a_{n}}=2019^{2020}$. Chứng minh rằng $a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+\ldots+a^{3}{ }_{n-1}+a^{3}{ }_{n} \vdots 3$
23. Cho $\mathrm{D}=11^{\mathrm{n}+2}+12^{2 \mathrm{n}+1}$. Chứng minh rằng $\mathrm{D} \vdots 133$
24. Cho $x, y \in \mathbb{Z}, x+y \vdots 7$. Chứng minh $x^{3}+y^{3} \vdots 7$
25. Chứng tỏ rằng: $3^{\mathrm{x}+1}+3^{\mathrm{x}+2}+3^{\mathrm{x}+3}+3^{\mathrm{x}+4}+\ldots+3^{\mathrm{x}+30} \vdots 39$ với mọi $\mathrm{x} \in \mathbb{N}$
26. Cho $a, b$ là các số nguyên. Chứng minh rằng : nếu $a^{3}+b^{3}$ chia hết cho 6 thì $a+b$ chia hết cho 6
27. Chứng minh rằng với mọi $n$ nguyên dương thì $3^{n+2}-2^{n+2}+3^{n}-2^{n}$ chia hết cho 10 .
28. Cho $a ; b$ là hai số chính phương lẻ liên tiếp, chứng minh rằng $(a-1)(b-1): 192$.
29. Chứng minh: Với mọi số $\mathrm{n}$ nguyên dương thì: $\mathrm{A}=5^{n}\left(5^{n}+1\right)-6^{n}\left(3^{n}+2^{n}\right)$ chia hết cho 91 .
30. Cho $a, b, c$ là ba số nguyên. Chứng minh nếu: $\mathrm{a}^{2012}+\mathrm{b}^{2013}+\mathrm{c}^{2014}$ chia hết cho 6 thì $\mathrm{a}^{2014}+\mathrm{b}^{2015}+\mathrm{c}^{2016}$ cũng chia hết cho 6 .
31. Cho $x, y \in \mathbb{Z}, x+y \vdots 7$. Chứng minh $x^{3}+y^{3} \vdots 7$
32. Chứng minh $n\left(31 n^{2}-1\right)$ chia hết cho 6 với mọi số nguyên $\mathrm{n}$.
33. Chứng minh tổng các lập phương ba số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9.
Hướng dẫn bài tập chia hết phần 1
Em nào thắc mắc bài nào nhắn tin thầy sẽ hướng dẫn lên đây
