Chuyên đề: Chia hết của đa thức – Ôn thi HSG Toán 8

Chuyên đề: Chia hết của đa thức – Ôn thi HSG Toán 8

Lý thuyết chia hết cơ bản

Định nghĩa:

– Cho A và B là hai đa thức $(B\ne 0)$, Khi đó tồn tại duy nhất một cặp hai đa thức P và R sao cho:

$A=B.Q+R$  , Trong đó: $R=0$  hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B. Q là đa thức thương, R là dư.

– Nếu R = 0 thì phép chia A cho B là phép chia hết.

Mở rộng:

– Có thể dử dụng thêm các phương pháp:

+ Sử dụng hằng đẳng thức: $\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}} \right):\left( a+b \right)={{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}$  hoặc $\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right):\left( a+b \right)=a-b$

+ Sử dụng thêm phương pháp phân tích thành nhân tử, nhẩm nghiệm.

+ Sử dụng các định lý: Bơzu. Lược đồ Horner.

 Bài tập chia hết 

Dạng 1: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ BOWZU TÌM SỐ DƯ

Định nghĩa:

– Định lý Bơ-zu:”Dư của phép chia f(x) cho nhị thức bậc nhất x-a là 1 hằng số có giá trị là f(a)”.

Hệ quả:

– Nếu a là nghiệm của đa thức $f\left( x \right)$  thì $f\left( x \right)\vdots \left( x-a \right)$.

Bài 1: Không thực hiện phép chia, hãy xét xem, $f\left( x \right)=3{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-9x+2$ có chia hết cho x-2 không, có chia hết cho x+2 không?

HD:

Theo định lý Bơ- zu thì dư của $f\left( x \right)=3{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-9x+2$ khi chia cho nhị thức bậc nhất x-2

có giá trị là:$f\left( 2 \right)={{2.2}^{3}}-{{2.2}^{2}}-9.2+2=0$. Vậy $f\left( x \right)\vdots \left( x-2 \right)$

Tương tự:

Số dư của $f\left( x \right)=3{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-9x+2$ khi chia cho x+2 có giá trị là:

$f\left( -2 \right)=2.{{\left( -2 \right)}^{3}}-2.{{\left( -2 \right)}^{2}}-9.\left( -2 \right)+2=-4$

Vậy $f\left( x \right)\not{\vdots }\left( x+2 \right)$

Bài 2: Tìm số a để $2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x+a\vdots x+2$

HD:

Theo định lý Bơ- zu thì dư của $f\left( x \right)=2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x+a$ khi chia cho nhị thức bậc nhất x+2,

có giá trị là:$f\left( -2 \right)=2.\left( -8 \right)-3.4-2+a=a-22$

Để f(x) chia hết cho x+2 thì a-22=0 hay a=22

Bài 3: Tìm hế số a để: $4{{x}^{2}}-6x+a\vdots x-3$

HD:

Theo định lý Bơzu thì dư của $f\left( x \right)=4{{x}^{2}}-6x+a$ khi chia cho nhị thức bậc nhất x – 3,

có giá trị là:$f\left( 3 \right)=4.9-6.3+a=a+18$

Để f(x) chia hết cho x – 3 thì a+ 18 = 0 hay a = -18

Bài 4: Tìm hế số a để: $2{{x}^{2}}+x+a\vdots x+3$

HD:

Theo định lý Bơzu thì dư của $f\left( x \right)=2{{x}^{2}}+x+a$ khi chia cho nhị thức bậc nhất x + 3, có giá trị là:$f\left( -3 \right)=2.9-3+a=a+15$

Để f(x) chia hết cho x + 3 thì a+ 15 = 0 hay a = -15

Bài 5: Tìm hế số a để: $10{{x}^{2}}-7x+a\vdots 2x-3$

HD:

Hạ phép chia ta có:$10{{x}^{2}}-7x+a=\left( 2x-3 \right)\left( 5x+4 \right)+\left( a+12 \right)$

Để $10{{x}^{2}}-7x+a\vdots 2x-3=>a+12=0=>a=-12$

Bài 6: Tìm hế số a để: $2{{x}^{2}}+ax+1:x-3$ dư 4

HD :

Theo định lý Bơzu ta có :

Dư của $f\left( x \right)=2{{x}^{2}}+ax+1$, khi chia cho x-3 là $f\left( 3 \right)=2.9+3a+1=3a+19$

Để có số dư là 4 thì $3a+19=4=>3a=-15=>a=-5$

Bài 7: Tìm hế số a để: $a{{x}^{5}}+5{{x}^{4}}-9\vdots x-1$

HD :

Theo định lý Bơ- Zu ta có :

Dư của $f\left( x \right)=a{{x}^{5}}+5{{x}^{4}}-9$, khi chia cho x – 1 là $f\left( 1 \right)=a+5-9=a-4$

Để có phép chia hết thì $a-4=0=>a=4$

Bài 8: Tìm hế số a để: $8{{x}^{2}}-26x+a\vdots 2x-3$

HD :

Hạ phép chia ta có:$8{{x}^{2}}-26x+a=\left( 2x-3 \right)\left( 4x-7 \right)+a-21$

Để $8{{x}^{2}}-26x+a\vdots 2x-3=>a-21=0=>a=21$

Bài 9: Tìm hế số a để: ${{x}^{4}}-{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-x+a\vdots {{x}^{2}}-x+5$

HD :

Hạ phép chia hoặc đồng nhất, ta có:

${{x}^{4}}-{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-x+a=\left( {{x}^{2}}-x+5 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)+a-5$

Để phép chia là phép chia hết thì a – 5 = 0 hay a = 5

Bài 10: Tìm hế số a, b để: ${{x}^{3}}+ax+b\vdots {{x}^{2}}+x-2$

HD :

Hạ phép chia ta có:

${{x}^{3}}+ax+b=\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)\left( x-1 \right)+\left( a+3 \right)x+b-2$

Để là phép chia hết thì a + 3=0 và b-2 =0 hay a=-3 và b=2

Bài 11: Tìm hế số a để: ${{x}^{3}}+a{{x}^{2}}-4\vdots {{x}^{2}}+4x+4$

HD :

Hạ phép chia ta có :

${{x}^{3}}+a{{x}^{2}}-4=\left( {{x}^{2}}+4x+4 \right)\left( x+a-4 \right)+\left( 12-4a \right)x+12-4a$

Để được phép chia hết thì 12-4a=0 hay a=3

Bài 12: Tìm hế số a để: ${{x}^{4}}+ax+b\vdots {{x}^{2}}-4$

HD :

Để ${{x}^{4}}+ax+b\vdots {{x}^{2}}-4$ thì $\left\{ \begin{align}

& {{x}^{4}}+ax+b\vdots x-2 \\

& {{x}^{4}}+ax+b\vdots x+2 \\

\end{align} \right.$

Áp dụng định Bơzu ta có:

$f\left( x \right)={{x}^{4}}+ax+b=>f\left( 2 \right)=16+2a+b=0$

Và: $f\left( -2 \right)=16-2a+b=0$

Giải hệ ta được a=0 và b=-16

Bài 13: Tìm hế số a để: ${{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+bx-1\vdots {{x}^{2}}-1$

HD :

Để ${{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+bx-1\vdots {{x}^{2}}-1$ thì $\left\{ \begin{align}& {{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+bx-1\vdots x-1 \\& {{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+bx-1\vdots x+1 \\\end{align} \right.$

Áp dụng định Bơzu ta có:$f\left( x \right)={{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+bx-1=>f\left( 1 \right)=1+a+b-1=0$

Và: $f\left( -1 \right)=1-a+b-1=0$, Giải hệ ta được a tùy ý và b= – a

Bài 14: Tìm hế số a để: ${{x}^{3}}+ax+b\vdots {{x}^{2}}+2x-2$

HD :

Hạ phép chia ta có :${{x}^{3}}+ax+b=\left( {{x}^{2}}+2x-2 \right)\left( x-2 \right)+\left( a+b \right)x+b-4$

Để phép chia là phép chia hết thì : a+b=0 và b-4=0=> b=4 và a=-4

Bài 15: Tìm hế số a để: ${{x}^{4}}+a{{x}^{2}}+b\vdots {{x}^{2}}-x+1$

HD :

Hạ phép chia ta có :${{x}^{4}}+a{{x}^{2}}+b=\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+x+a \right)+\left( a-1 \right)x+a-b$

Để là phép chia hết thì  a-1=0 và a-b=0=> a=b=1

Bài 16: Tìm hế số a để: $a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+5x+50\vdots {{x}^{2}}+3x-10$

HD :

Hạ phép chia ta có :

$a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+5x+50=\left( {{x}^{2}}+3x-10 \right)\left( ax+3a-b \right)+\left( a+3b+5 \right)x+\left( 30a-10b+50 \right)$

Để là phép chia hết thì  a+3b+5=0 và 30a-10b+50=0

Bài 17: Tìm hế số a để: $a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+1\vdots {{\left( x-1 \right)}^{2}}$

HD :

Hạ phép chia ta có :

$a{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+1=\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)\left[ a.{{x}^{2}}+\left( 2a+b \right)x+\left( 3a+2b \right) \right] +\left( 8a+5b \right)x-\left( 3a+2b-1 \right)$

Để là phép chia hết thì :8a+5b=0 và 3a+2b-1=0

Bài 18: Tìm hế số a để: ${{x}^{4}}+4\vdots \left( {{x}^{2}}+ax+b \right)$

HD :

Tách: ${{x}^{4}}+4=\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+2 \right)$

Vậy b=2 và a=2 hoặc a=-2

Bài 19: Tìm hế số m để: ${{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-7x+m\vdots {{x}^{2}}-2x+1$

HD :

Ta có:${{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-7x+m=\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+3 \right)+m-3$

Để là phép chia hết thì m – 3=0=> m=3

Bài 20: Tìm hế số a để: $10{{x}^{2}}-7x+a\vdots 2x-3$

HD :

Hạ phép chia ta có:$10{{x}^{2}}-7x+a=\left( 2x-3 \right)\left( 5x+4 \right)+a+12$

Để là phép chia hết thì a+12=0 hay a=-12

Bài 21: Tìm hế số a để: $2{{x}^{2}}+ax-4\vdots x+4$

HD :

Theo định lý Bơ- Zu ta có, Dư của $f\left( x \right)=2{{x}^{2}}+a.x-4$ khi chia cho x+4 là:

$f\left( -4 \right)=2.16-4a-4=28-4a$

Để là phép chia hết thì 28-4a=0=>a=7

Bài 22: Tìm hế số a để: ${{x}^{3}}-a{{x}^{2}}+5x+3\vdots {{x}^{2}}+2x+3$

HD :

Hạ phép chia ta có:${{x}^{3}}-a.{{x}^{2}}+5x+3=\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)\left[ x-\left( a+2 \right) \right] +\left( 2a+6 \right)x-3a-3$

Để là phép chia hết thì -3a-3 =0=>a=-1

Bài 23: Tìm hế số a để: ${{x}^{2}}-ax-5{{a}^{2}}-\frac{1}{4}\vdots x+2a$

HD :

Theo định lý Bơ- Zu ta có, Dư của $f\left( x \right)={{x}^{2}}-a.x-5{{a}^{2}}-\frac{1}{4}$ khi chia cho x+2a là:

$f\left( -2a \right)=4{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}-5{{a}^{2}}-\frac{1}{4}={{a}^{2}}-\frac{1}{4}$,  Để là phép chia hết thì ${{a}^{2}}-\frac{1}{4}=0=>a=\pm \frac{1}{2}$

Bài 24: Tìm số dư của $x+{{x}^{3}}+{{x}^{9}}+{{x}^{27}}+{{x}^{81}}$ khi chia cho x-1

HD :

Ta có :$P\left( x \right)=\left( x-1 \right)+\left( {{x}^{3}}-1 \right)+\left( {{x}^{9}}-1 \right)+\left( {{x}^{27}}-1 \right)+\left( {{x}^{81}}-1 \right)+5$ nên số dư là 5

Bài 25: Tìm số dư của : $x+{{x}^{3}}+{{x}^{9}}+{{x}^{27}}+{{x}^{81}}$ khi chia cho ${{x}^{2}}-1$

HD :

Ta có :$P\left( x \right)=\left( {{x}^{3}}-x \right)+\left( {{x}^{9}}-x \right)+\left( {{x}^{27}}-x \right)+\left( {{x}^{81}}-1 \right)+5x$=> Dư 5x

Bài 26: Xác định dư của: $P\left( x \right)=1+x+{{x}^{9}}+{{x}^{25}}+{{x}^{49}}+{{x}^{81}}$ khi chia cho ${{x}^{3}}-x$

HD :

$P\left( x \right)=\left( {{x}^{9}}-x \right)+\left( {{x}^{25}}-x \right)+\left( {{x}^{49}}-x \right)+\left( {{x}^{81}}-x \right)+5x+1$

= $x\left( {{x}^{8}}-1 \right)+x\left( {{x}^{24}}-1 \right)+x\left( {{x}^{48}}-1 \right)+x\left( {{x}^{80}}-1 \right)+5x-1$,  Vậy số dư là : 5x – 1

Bài 27: Tìm n nguyên để: $3{{n}^{3}}+10{{n}^{2}}-5\vdots 3n+1$

HD :

Hạ phép chia ta có :$3{{n}^{3}}+10{{n}^{2}}-5=\left( 3n+1 \right)\left( {{n}^{2}}+3n-1 \right)-4$

Để $3{{n}^{3}}+10{{n}^{2}}-5\vdots 3n+1=>4\vdots 3n-1=>3n-1\in U\left( 4 \right)=\left\{ \pm 1;\pm 2;\pm 4 \right\}$

Bài 28: Tìm n nguyên để $2{{n}^{2}}-n+2\vdots 2n+1$

HD :

Hạ phép chia ta có :$2{{n}^{2}}-n+2=\left( 2n+1 \right)\left( n-1 \right)+3$

Để : $2{{n}^{2}}-n+2\vdots 2n+1=>3\vdots 2n+1=>2n+1\in U\left( 3 \right)=\left\{ \pm 1;\pm 3 \right\}$

Bài 29: Tìm các số x nguyên để $4{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+8x\vdots 2x-1$

HD :

Hạ phép chia ta có :$4{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+8x=\left( 2x-1 \right)\left( 2{{x}^{2}}-2x+3 \right)+3$

Để $4{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+8x\vdots 2x-1=>3\vdots 2x-1=>2x-1\in U\left( 3 \right)=\left\{ \pm 1;\pm 3 \right\}$

Bài 30: Tìm các số x nguyên để: $4{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x-83\vdots x-3$

HD :

Theo định  Bơ zụ thì dư của $f\left( x \right)=4{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x-83$, khi chia cho x-3 là :

$f\left( 3 \right)=4.27-3.9+2.3-83=4$ . Để $4{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x-83\vdots x-3=>x-3\in U\left( 4 \right)=\left\{ \pm 1;\pm 2;\pm 4 \right\}$

Bài 31: Tìm các số x nguyên để: $4{{n}^{3}}-4{{n}^{2}}-n+4\vdots 2n+1$

HD :

Hạ phép chia ta có :$4{{n}^{3}}-4{{n}^{2}}-n+4=\left( 2n+1 \right)\left( 2{{n}^{2}}-3n+1 \right)+3$

Để $4{{n}^{3}}-4{{n}^{2}}-n+4\vdots 2n+1=>3\vdots 2n+1=>2n+1\in U\left( 3 \right)=\left\{ \pm 1;\pm 3 \right\}$

Bài 32: Tìm các số x nguyên để: $8{{n}^{2}}-4n+1\vdots 2n+1$

HD :

Hạ phép chia ta có :$8{{n}^{2}}-4n+1=\left( 2n+1 \right)\left( 4n-4 \right)+5$

Để $8{{n}^{2}}-4n+1\vdots 2n-1=>5\vdots 2n-1=>2n-1\in U\left( 5 \right)=\left\{ \pm 1;\pm 5 \right\}$

Bài 33: Tìm các số x nguyên để: $3{{n}^{3}}+8{{n}^{2}}-15n+6\vdots 3n-1$

HD :

Hạ phép chia ta có :$3{{n}^{3}}+8{{n}^{2}}-15n+6=\left( 3n-1 \right)\left( {{n}^{2}}+3n-4 \right)+2$

Để  $3{{n}^{3}}+8{{n}^{2}}-15n+6\vdots 3n-1=>2\vdots 3n-1=>3n-1\in U\left( 2 \right)=\left\{ \pm 1;\pm 2 \right\}$

Bài 34: Tìm các số x nguyên để: $4{{n}^{3}}-2{{n}^{2}}-6n+5\vdots 2n-1$

HD :

Hạ phép chia ta có :$4{{n}^{3}}-2{{n}^{2}}-6n+5=\left( 2n-1 \right)\left( 2{{n}^{2}}-3 \right)+2$

Để $4{{n}^{3}}-2{{n}^{2}}-6n+5\vdots 2n-1=>2\vdots 2n-1=>2n-1\in U\left( 2 \right)=\left\{ \pm 1;\pm 2 \right\}$