Chuyên đề diện tích ôn thi HSG (Olympic) Toán 8
Chuyên đề diện tích ôn thi HSG (Olympic) Toán 8
| Bổ đề: DABC, M thuộc BC. Khi đó $\frac{{{S}_{ABM}}}{{{S}_{AMC}}}=\frac{BM}{MC}$ (Cùng đường cao kẻ từ A tới BC)
Hệ quả: DABC, M là trung điểm của BC. Khi đó ${{S}_{ABM}}={{S}_{AMC}}$ |
1) DABC; M thuộc AB; N thuộc AC. Chứng minh $\frac{{{S}_{AMN}}}{{{S}_{ABC}}}=\frac{AM}{AB}.\frac{AN}{AC}$
2) DABC; D thuộc BC; M thuộc AD. Chứng minh $\frac{{{S}_{AMB}}}{{{S}_{AMC}}}=\frac{DB}{DC}$
3) DABC có diện tích S, Lấy M,N,P lần lượt trên BC, CA, AB sao cho MC = 2MB; NA = 2NC; PB = 2PA. Tính SMNP theo S.
4) DABC có diện tích S; D thuộc AB; E thuộc AC sao cho AD = 1/4AB; AE = 1/4AC. K là giao diểm của BE và CD. Tính SADKE
5) DABC; Trên tia BC; CA; AB lần lượt lấy các đoạn BA’ = 2CB; CB’ = 2CA; AC’ = 2AB. Tính $\frac{{{S}_{ABC}}}{{{S}_{A’B’C’}}}$ (Bảo Lộc 14-15)
6) DABC vuông tại A, phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I. Hình chiếu của IB, IC trên BC là m, n. Tính SABC.
7) Hình thang ABCD (AB//CD; AB < CD); AC cắt BD tại G. Biết SAGD = 18cm2; SCGD = 25cm2. Tính SABCD.
8) Hình thang cân ABCD có đường cao bằng h, hai đường chéo vuông góc. Tính SABCD theo h.
9) Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. M là trung điểm của AH; BM cắt AC tại I, CM cắt AB tại K. Tính diện tích tứ giác AIMK. Biết diện tích tam giác ABC bằng 288m2. (Bảo Lộc 15-16)
10) Cho tứ giác ABCD. Vẽ hình bình hành BDCE. Chứng minh SABCD = SACE (Bảo Lộc 13-14)
11) Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Tính diện tích tam giác BGC biết rằng diện tích tam giác ABC bằng 720 cm2. (Bảo Lộc 12-13)
12) Cho hình chữ nhật ABCD (AB > BC) gọi E, F là hai điểm lần lượt lấy trên hai cạnh AB và DC sao cho AE = CF. Lấy điểm I trên cạnh AD. Gọi M và N là giao điểm của IB và IC với EF. Chứng minh SIMN = SMEB + SNFC.
13) Cho tứ giác ABCD, gọi M, N là trung điểm của AB, CD. Biết AN cắt DM tại P, CM cắt BN tại Q. Chứng minh SMPNQ = SADP + SBCQ.
14) Cho tam giác ABC có diện tích bằng S. Lấy điểm M trên cạnh AB và điểm N trên cạnh AC sao cho AM = 3BM và AN = 4CN. Gọi O là giao điểm của BN và CM. Tính SAOB và SAOC.
15) Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích 100 cm2. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm F, K, M, P sao cho $\frac{AF}{FB}=\frac{2}{1};\frac{BK}{KC}=\frac{1}{3};\frac{CM}{MD}=\frac{1}{1};\frac{DP}{PA}=\frac{1}{5}$. Tính diện tích đa giác AFKCMP.
16) Cho tam giác ABC cân ở A, AB = AC = 5cm, BC = 6cm. Gọi O là trung điểm của đường cao AH. Các tia BO và CO cắt cạnh AC và AB lần lượt ở D và E. Tính SADOE ?
17) Cho hbh ABCD có diện tích bằng 1. Gọi M là trung điểm của BC, AM cắt BD ở Q. Tính diện tích MQDC ?
ỨNG DỤNG DIỆN TÍCH ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN VỀ QUAN HỆ ĐỘ DÀI GIỮA CÁC ĐOẠN THẲNG
1) Tứ giác ABCD có M là giao điểm của hai đường chéo. Biết SABC = SADC. Chứng minh M là trung điểm của BD.
2) Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC, lấy N trên AC sao cho NC = 2NA. Gọi P là giao điểm của AB và MN. Chứng minh A là trung điểm của PB.
3) Cho hình bình hành ABCD, lấy các điểm M, N theo thứ tự thuộc AB, BC sao cho AN = CM. Gọi K là giao điểm của AN và CM. Chứng minh KD là tia phân giác của góc AKC.
4) Cho O thuộc miền trong tam giác ABC. Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh của tam giác ABC lần lượt tại D, E, F. Chứng minh $\frac{OA}{AD}+\frac{OB}{BE}+\frac{OC}{CF}=2$ (Bài toán của Giec-gôn)
5) Cho tam giác ABC. Các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các đường thẳng BC, CA, AB sao cho AA’, BB’, CC’ đồng quy, chứng minh: $\frac{\text{A }\!\!’\!\!\text{ B}}{A’C}.\frac{B’C}{B’A}.\frac{C’A}{C’B}=1$. (Định lý Ceva)
6) Cho tam giác ABC trọng tâm G, O là trung điểm của AC, I là trung điểm của OA; IG cắt BC tại K. Tính $\frac{BK}{KC}$.
