Chuyên đề giải phương trình – Ôn thi HSG Toán 8

Chuyên đề giải phương trình – Ôn thi HSG Toán 8

Dạng 1: PHƯƠNG TRÌNH CÓ HỆ SỐ ĐỐI XỨNG

Phương pháp giải:

Do x=0 không phải là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho ${{x}^{2}}$, rồi đặt ẩn phụ

Bài 1: Giải phương trình:${{x}^{4}}+3{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+3x+1=0$

HD:

Thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình: Chia hai vế cho ${{x}^{2}}$  ta được:

${{x}^{2}}+3x+4+\frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}=0<=>\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)+3\left( x+\frac{1}{3} \right)+4=0$

Đặt $x+\frac{1}{x}=y=>{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}={{y}^{2}}-2$ , Thay vào phương trình ta có:

${{y}^{2}}-2+3y+4=0$

Bài 2: Giải phương trình: $6{{x}^{4}}+25{{x}^{3}}+12{{x}^{2}}-25x+6=0$

HD:

Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế của PT${{x}^{2}}\ne 0$  ta được:

$6{{x}^{2}}+25x+12-\frac{25}{x}+\frac{6}{{{x}^{2}}}=0<=>6\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)+25\left( x-\frac{1}{x} \right)+12=0$

Đặt: $x-\frac{1}{x}=t=>{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}={{t}^{2}}+2$  , Thay vào phương trình ta được:

$6\left( {{t}^{2}}+2 \right)+25t+12=0<=>6{{t}^{2}}+25t+24=0$

Bài 3: Giải phương trình: ${{x}^{4}}+5{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+5x+1=0$

HD:

Nhận thấy x=0 không phải nghiệm của PT, chia cả hai vế của PT cho ${{x}^{2}}\ne 0$ , ta được:

${{x}^{2}}+5x-12+\frac{5}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}=0<=>\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)+5\left( x+\frac{1}{x} \right)-12=0$

Đặt: $x+\frac{1}{x}=t=>{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}={{t}^{2}}-2$ , Thay vào phương trình ta được:

${{t}^{2}}+5t-14=0<=>\left( t+7 \right)\left( t-2 \right)$

Bài 4: Giải phương trình:${{x}^{4}}+2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+2x+1=0$

Bài 5: Giải phương trình:  ${{x}^{4}}-3{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+3x+1=0$

HD:

Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của PT, chia cả hai vế của PT cho ${{x}^{2}}\ne 0$ , ta được:

${{x}^{2}}-3x-6+\frac{3}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}=0<=>\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)-3\left( x-\frac{1}{x} \right)-6=0$

Đặt $x-\frac{1}{x}=t$ , Phương trình tương đương với: ${{t}^{2}}-3t-4=0$

Bài 6: Giải phương trình:  $2{{x}^{4}}-9{{x}^{3}}+14{{x}^{2}}-9x+2=0$

HD:

Nhận thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình , chia cả hai vế của PT cho ${{x}^{2}}\ne 0$  ta được:

$2{{x}^{2}}-9x+14-\frac{9}{x}+\frac{2}{{{x}^{2}}}=0<=>2\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)-9\left( x+\frac{1}{x} \right)+14=0$

Đặt: $x+\frac{1}{x}=t$ , phương trình trở thành: $2{{t}^{2}}-9t+10=0$

Bài 7: Giải phương trình:  ${{x}^{4}}-3{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-3x+1=0$

Bài 8: Giải phương trình: $3{{x}^{4}}-13{{x}^{3}}+16{{x}^{2}}-13x+3=0$

Bài 9: Giải phương trình: $6{{x}^{4}}+5{{x}^{3}}-38{{x}^{2}}+5x+6=0$

Bài 10: Giải phương trình:  $6{{x}^{4}}+7{{x}^{3}}-36{{x}^{2}}-7x+6=0$

Bài 11: Giải phương trình:  $2{{x}^{4}}+{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+x+2=0$

Bài 12: Giải phương trình:  $2{{x}^{4}}-5{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-5x+2=0$

Bài 13: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: ${{x}^{4}}-{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-x+1=0$

Bài 14: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: ${{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1=0$

HD:

Nhân hai vế của phương trình với x-1 ta được: $\left( x-1 \right)\left( {{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1 \right)<=>{{x}^{5}}-1=0<=>{{x}^{5}}=1=>x=1$

Cách 2: Đặt $y=x+\frac{1}{x}$

Bài 15: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: ${{x}^{4}}-2{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-3x+2=0$

HD:

Biến đổi phương trình thành: $\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+2 \right)=0$

Dạng 2: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG $\left( x+a \right)\left( x+b \right)\left( x+c \right)\left( x+d \right)=k$

Phương pháp:

Nhận xét về tích  $a+d=b+c$, rồi nhóm hợp lý tạo ra biểu thức chung để đạt ẩn phụ

Đôi khi ta phải nhân thêm với các hệ số để có được biểu thức chung

Bài 1: Giải phương trình: $\left( x-7 \right)\left( x-5 \right)\left( x-4 \right)\left( x-2 \right)=72$

HD:

Phương trình tương đương với $\left( x-7 \right)\left( x-2 \right)\left( x-5 \right)\left( x-4 \right)=72<=>\left( {{x}^{2}}-9x+14 \right)\left( {{x}^{2}}-9x+20 \right)-72=0$

Đặt ${{x}^{2}}-9x+14=t$, khi đó phương trình trở thành:

$t\left( t+6 \right)-72=0=>\left( t+12 \right)\left( t-6 \right)=0$

Với $t=-12=>{{x}^{2}}-9x+14=-12=>{{\left( x-\frac{9}{2} \right)}^{2}}+\frac{23}{4}=0$

Với $t=6=>{{x}^{2}}-9x+14=6=>\left( x-1 \right)\left( x-8 \right)=0$

Bài 2: Giải phương trình: $\left( x-1 \right)\left( x-3 \right)\left( x+5 \right)\left( x+7 \right)=297$

HD:

Phương trình tương đương với:$\left( x-1 \right)\left( x+5 \right)\left( x-3 \right)\left( x+7 \right)-297=0<=>\left( {{x}^{2}}+4x-21 \right)\left( {{x}^{2}}+4x-5 \right)-297=0$

Đặt ${{x}^{2}}+4x-5=t$ khi đó phương trình trở thành:

$\left( t-16 \right)t-297=0=>{{\left( t-8 \right)}^{2}}-{{19}^{2}}=0=>\left( t-27 \right)\left( t+11 \right)=0$

Với $t=27=>{{x}^{2}}+4x-5=27=>\left( x+8 \right)\left( x-4 \right)=0$

Với $t=-11=>{{x}^{2}}+4x-5=-11=>{{\left( x+2 \right)}^{2}}+2=0$

Bài 3: Giải phương trình sau: $\left( x-7 \right)\left( x-5 \right)\left( x-4 \right)\left( x-2 \right)=72$

HD:

Biến đổi phương trình thành: $\left( {{x}^{2}}+x \right)\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)=24$

Đặt ${{x}^{2}}+x-1=y$, Khi đó phương trình trở thành:

$\left( y+1 \right)\left( y-1 \right)=24<=>{{y}^{2}}-1=24<=>{{y}^{2}}=25$

Bài 4: Giải phương trình: $\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)\left( x+4 \right)\left( x+5 \right)=40$

Bài 5: Giải phương trình: $x\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)=24$

Bài 6: Giải phương trình: $\left( x-4 \right)\left( x-5 \right)\left( x-6 \right)\left( x-7 \right)=1680$

Bài 7: Giải phương trình:  $x\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)=24$

Bài 8: Giải phương trình:   $\left( x-1 \right)\left( x-3 \right)\left( x+5 \right)\left( x+7 \right)=297$

Bài 9: Giải phương trình:   $x\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)=24$

Bài 10: Giải phương trình:   $\left( x+2 \right)\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}-10 \right)=72$

HD:

Đặt ${{x}^{2}}-4=y$. Phương trình trở thành: $y\left( y-6 \right)=72<=>{{y}^{2}}-6y+9=81<=>{{\left( y-3 \right)}^{2}}-{{9}^{2}}=0$

Bài 11: Giải phương trình:  $2x{{\left( 8x-1 \right)}^{2}}\left( 4x-1 \right)=9$

HD:

Nhân 8 vào hai vế ta được: $8x{{\left( 8x-1 \right)}^{2}}\left( 8x-2 \right)=72$

Đặt $8x-1=y$ , ta được : $\left( y+1 \right){{y}^{2}}\left( y-1 \right)=72<=>\left( {{y}^{2}}-9 \right)\left( {{y}^{2}}+8 \right)=0$

Bài 12: Giải phương trình:  ${{\left( 12x+7 \right)}^{2}}\left( 3x+2 \right)\left( 2x+1 \right)=3$

HD:

Nhân hai vế với 24 ta được: ${{\left( 12x+7 \right)}^{2}}\left( 12x+8 \right)\left( 12x+6 \right)=72$

Đặt $12+7=y$

Bài 13: Giải phương trình:  $\left( 2x+1 \right){{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( 2x+3 \right)=18$

HD:

Nhân hai vế với 4 ta được: $\left( 2x+1 \right){{\left( 2x+2 \right)}^{2}}\left( 2x+3 \right)=0$ , Dặt $2x+2=y$

Bài 14: Giải phương trình: ${{\left( 6x+7 \right)}^{2}}\left( 3x+4 \right)\left( x+1 \right)=6$

HD:

Nhân hai vế với 12 ta được: ${{\left( 6x+7 \right)}^{2}}\left( 6x+8 \right)\left( 6x+6 \right)=72$

Đặt $y=6x+7$

Bài 15: Giải phương trình: $\left( 4x+1 \right)\left( 12x-1 \right)\left( 3x+2 \right)\left( x+1 \right)-4=0$

HD :

Phương trình $<=>\left( 4x+1 \right)\left( 3x+2 \right)\left( 12x-1 \right)\left( x+1 \right)-4=0<=>\left( 12{{x}^{2}}+11x+2 \right)\left( 12{{x}^{2}}+11x-1 \right)-4=0$

Đặt $12{{x}^{2}}+11x-1=t$ khi đó phương trình trở thành:

$\left( t+3 \right)t-4=0=>\left( t+4 \right)\left( t-1 \right)=0$