Chuyên đề: GTNN – GTLN (Max – Min) Ôn thi HSG Toán 8

Chuyên đề: GTNN – GTLN (Max – Min) Ôn thi HSG Toán 8

Lý thuyết  về GTNN – GTLN (Max – Min)

Định nghĩa:

– Cho biểu thức $A\left( x;y;z \right)$ Khi đó hảng số M là giá trị lớn nhất (GTLN) của $A\left( x;y;z \right)$  nếu thỏa

mãn hai điều kiện sau:

+ Với mọi $x;y;z$  mà $A\left( x;y;z \right)$  xác định mà $A\left( x;y;z \right)\le M$

+ Tồn tại một bộ số $\left( x;y;z \right)$  sao cho $A\left( x;y;z \right)=M$

– Cho biểu thức $A\left( x;y;z \right)$ Khi đó hảng số N là giá trị lớn nhất (GTNN) của $A\left( x;y;z \right)$  nếu thỏa

mãn hai điều kiện sau:

+ Với mọi $x;y;z$  mà $A\left( x;y;z \right)$  xác định mà $A\left( x;y;z \right)\ge N$

+ Tồn tại một bộ số $\left( x;y;z \right)$  sao cho $A\left( x;y;z \right)=N$

Bài tập về GTNN – GTLN (Max – Min)

 Dạng 1: ĐA THỨC BẬC 4 ĐƠN GIẢN

Phương pháp:

• Phân tích thành các biểu thức tương đồng để đặt ẩn phụ.
• Sử dụng phương pháp nhóm hợp lý làm xuất hiện nhân tử để đặt ẩn phụ.
• Sử dụng các hằng đẳng thức ${{\left( a\pm b \right)}^{2}},{{\left( a+b+c \right)}^{2}}$.

 

Bài 1: Tìm GTNN của:$D={{\left( x+8 \right)}^{4}}+{{\left( x+6 \right)}^{4}}$

HD:

$A=x\left( x-7 \right)\left( x-3 \right)\left( x-4 \right)=\left( {{x}^{2}}-7x \right)\left( {{x}^{2}}-7x+12 \right)$ , Đặt ${{x}^{2}}-7x+6=t$ , khi đó:

$A=\left( t-6 \right)\left( t+6 \right)={{t}^{2}}-36\ge -36$ ,  Dấu “ = ” khi ${{t}^{2}}=0<=>{{x}^{2}}-7x+6=0<=>\left[ \begin{align}& x=1 \\& x=6 \\\end{align} \right.$

Vậy Min A= – 36 khi x=1 hoặc x=6

Bài 2: Tìm GTNN của: $B=\left( x-1 \right)\left( x-3 \right)\left( {{x}^{2}}-4x+5 \right)$

HD:

$B=\left( {{x}^{2}}-4x+5 \right)\left( {{x}^{2}}-4x+5 \right)$ , Đặt ${{x}^{2}}-4x+4=0$ . Khi đó:

$B=\left( t-1 \right)\left( t+1 \right)={{t}^{2}}-1\ge -1$ , Dấu “ = “ khi ${{t}^{2}}=0<=>{{x}^{2}}-4x+4=0<=>t=2$

Bài 3: Tìm min của: $A=x\left( x+2 \right)\left( x+4 \right)\left( x+6 \right)+8$

HD:

$A=x\left( x+6 \right)\left( x+2 \right)\left( x+4 \right)+8=\left( {{x}^{2}}+6x \right)\left( {{x}^{2}}+6x+8 \right)+8$ , Đặt ${{x}^{2}}+6x+4=t$ . Khi đó:

$A=\left( t-4 \right)\left( t+4 \right)+8={{t}^{2}}-16+8={{t}^{2}}-8\ge -8$ , Dấu “ = “ Khi đó:

${{t}^{2}}=0<=>{{x}^{2}}+6x+4=0<=>\left[ \begin{align}& x=-3+\sqrt{5} \\& x=-3-\sqrt{5} \\\end{align} \right.$

Bài 4: Tìm GTNN của: $B=\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)\left( x+4 \right)$

HD:

$B=\left( x+1 \right)\left( x+4 \right)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)=\left( {{x}^{2}}+5x+4 \right)\left( {{x}^{2}}+5x+6 \right)$ , Đặt ${{x}^{2}}+5x+5=t$, Khi đó:

$B=\left( t-1 \right)\left( t+1 \right)={{t}^{2}}-1\ge -1$ , Dấu “ = “ khi ${{t}^{2}}=0<=>{{x}^{2}}+5x+5=0<=>x=\frac{-5\pm \sqrt{5}}{2}$

Bài 5: Tìm GTNN của: $A=\left( {{x}^{2}}+x-6 \right)\left( {{x}^{2}}+x+2 \right)$

HD:

Đặt ${{x}^{2}}+x-2=t$. Khi đó: $A=\left( t-4 \right)\left( t+4 \right)={{t}^{2}}-16\ge -16$

Dấu “ = “ xảy ra khi: $t=0<=>{{x}^{2}}+x-2=0<=>\left[ \begin{align}& x=1 \\& x=-2 \\\end{align} \right.$

Bài 6: Tìm GTNN của : $C=\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)\left( x+6 \right)$

HD:

$C=\left( x-1 \right)\left( x+6 \right)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)=\left( {{x}^{2}}+5x-6 \right)\left( {{x}^{2}}+5x+6 \right)$ , Đặt ${{x}^{2}}+5x=t$ . Khi đó:

$C=\left( t-6 \right)\left( t+6 \right)={{t}^{2}}-36\ge -36$ , Dấu “ = “ khi $t=0<=>{{x}^{2}}+5x=0<=>\left[ \begin{align}& x=0 \\& x=-5 \\\end{align} \right.$

Bài 7: Tìm GTNN của: $D=\left( 2x-1 \right)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)\left( 2x+1 \right)$

HD:

$D=\left( 2x-1 \right)\left( x+3 \right)\left( x+2 \right)\left( 2x+1 \right)=\left( 2{{x}^{2}}+5x-3 \right)\left( 2{{x}^{2}}+5x+2 \right)$ , Đặt $2{{x}^{2}}+5x=t$ , Khi đó:

$D=\left( t-3 \right)\left( t+2 \right)={{t}^{2}}-t-6={{\left( t-\frac{1}{2} \right)}^{2}}-\frac{25}{4}\ge \frac{-25}{4}$ , Dấu “ = “ khi:

$t=\frac{1}{2}<=>2{{x}^{2}}+5x=\frac{1}{2}<=>x=\frac{-5\pm \sqrt{29}}{4}$

Bài 8: Tìm min của: $C=\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)\left( x+4 \right)+2011$

HD:

$C=\left( x+1 \right)\left( x+4 \right)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)+2011$$=\left( {{x}^{2}}+5x+4 \right)\left( {{x}^{2}}+5x+6 \right)+2011$ , Đặt ${{x}^{2}}+5x+5=t$

Khi đó: $C=\left( t-1 \right)\left( t+1 \right)+2011<=>{{x}^{2}}+5x+5=0<=>x=\frac{-5\pm \sqrt{5}}{2}$

Bài 9: Tìm max của: $E=5+\left( 1-x \right)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)\left( x+6 \right)$

HD:

$E=5-\left( x-1 \right)\left( x+6 \right)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)=-\left( {{x}^{2}}+5x-6 \right)\left( {{x}^{2}}+5x+6 \right)+5$ , đặt ${{x}^{2}}+5x=t$ .

Khi đó:$E=-\left( t-6 \right)\left( t+6 \right)+5=-\left( {{t}^{2}}-36 \right)+5=-{{t}^{2}}+41\le 41$

Dấu “ = “ Khi ${{t}^{2}}=0<=>{{x}^{2}}+5x=0<=>\left[ \begin{align}& x=0 \\& x=-5 \\\end{align} \right.$

Bài 10: Tìm GTNN của: $M=\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)\left( x+6 \right)$

HD:

$M=\left( x-1 \right)\left( x+6 \right)\left( x+2 \right)\left( x=3 \right)=\left( {{x}^{2}}+5x-6 \right)\left( {{x}^{2}}+5x+6 \right)$ , Đặt ${{x}^{2}}+5x=t$ .

Khi đó:$M=\left( t-6 \right)\left( t+6 \right)={{t}^{2}}-36\ge -36$ , Dấu “ = ” khi $t=0<=>{{x}^{2}}+5x=0<=>\left[ \begin{align}& x=0 \\& x=-5 \\\end{align} \right.$

 

Bài 11: Tìm min của:$D=\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( x+5 \right)+2014$

HD:

$D=\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)\left( x-2 \right)\left( x+5 \right)+2014=\left( {{x}^{2}}+3x-10 \right)\left( {{x}^{2}}+3x+2 \right)+2014$ , Đặt ${{x}^{2}}+3x-4=t$

Khi đó: $D=\left( t-6 \right)\left( t+6 \right)+2014={{t}^{2}}+1978$ , Dấu “= “ xảy ra khi:

${{t}^{2}}=0<=>{{x}^{2}}+3x-4=0<=>\left[ \begin{align}& x=1 \\& x=-4 \\\end{align} \right.$

Bài 12: Tìm GTNN của: $C={{x}^{4}}-6{{x}^{3}}+10{{x}^{2}}-6x+9$

HD:

$C=\left( {{x}^{4}}-2.3{{x}^{2}}.x+9{{x}^{2}} \right)+\left( {{x}^{2}}-6x+9 \right)={{\left( {{x}^{2}}-3x \right)}^{2}}+{{\left( x-3 \right)}^{2}}\ge 0$

Bài 13: Tìm GTNN của: $C={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-20x+22$

HD:

$C=\left( {{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+4{{x}^{2}} \right)+5\left( {{x}^{2}}-4x+4 \right)+2$

Bài 14: Tìm GTNN của: $B={{x}^{4}}-{{x}^{2}}+2x+7$

HD:

$B=\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1 \right)+\left( {{x}^{2}}+2x+1 \right)+5$

Bài 15: Tìm GTNN của: $D={{\left( x+8 \right)}^{4}}+{{\left( x+6 \right)}^{4}}$

HD:

Đặt: $x+7=y=>D={{\left( y+1 \right)}^{4}}+{{\left( y-1 \right)}^{4}}=2{{y}^{4}}+12{{y}^{2}}+2\ge 2$

Bài 16: Tìm GTNN của :$A=9{{x}^{2}}-6x-4\left| 3x-1 \right|+6$

HD:

Đặt: $\left| 3x-1 \right|=t=>{{t}^{2}}=9{{x}^{2}}-6x+1=>E={{t}^{2}}-4t+5$

 

Bài 17: Tìm GTLN của: $A={{\left( 2x+1 \right)}^{2}}-{{\left( 3x-2 \right)}^{2}}+x-11$

HD:

$A=4{{x}^{2}}+4x+1-9{{x}^{2}}+12x-4+x-11=-5{{x}^{2}}+17x-14=-5{{\left( x+\frac{17}{10} \right)}^{2}}+\frac{569}{20}\le \frac{569}{20}$

Bài 18: Tìm min của: $A={{\left( x+2 \right)}^{4}}+{{\left( x-2 \right)}^{4}}$

HD:

$A={{\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)}^{2}}+{{\left( {{x}^{2}}-2x+4 \right)}^{2}}={{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+16+2\left( 2{{x}^{3}}+8x+4{{x}^{2}} \right)+{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+16$

$+2\left( 4{{x}^{2}}-2{{x}^{3}}-8x \right)=2{{x}^{4}}+24{{x}^{2}}+32=2{{\left( {{x}^{2}}+6 \right)}^{2}}-40\ge -40$

Bài 19: Tìm min của: $A={{x}^{2}}+4{{y}^{2}}-4x+32y+2018$

HD:

$A=\left( {{x}^{2}}-4x+4 \right)+\left( 4{{y}^{2}}+32y+64 \right)+1950={{\left( x-2 \right)}^{2}}+4{{\left( y+4 \right)}^{2}}+1950\ge 1950$

Bài 20: Tìm min của: $A=3{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x-y$

HD:

$A=\left( 3{{x}^{2}}+4x \right)+\left( {{y}^{2}}-y \right)=3\left( {{x}^{2}}+2.x.\frac{2}{3} \right)+\left( {{y}^{2}}-2.y.\frac{1}{2} \right)=3{{\left( x+\frac{2}{3} \right)}^{2}}+{{\left( y-\frac{1}{2} \right)}^{2}}-\frac{19}{12}\ge \frac{-19}{12}$

Bài 21: Tìm min của: $B=5{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy-12x-18$

HD:

$B=\left( 4{{x}^{2}}-12x \right)+\left( {{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}} \right)-18={{\left( 2x-3 \right)}^{2}}+{{\left( x+y \right)}^{2}}-27\ge -27$

Bài 22: Tìm max của: $B=-3{{x}^{2}}-16{{y}^{2}}-8xy+5x+2$

HD:

$-B=\left[ {{x}^{2}}+8xy+16{{y}^{2}} \right] +\left[ 2{{x}^{2}}-5x-2 \right] ={{\left( x+4y \right)}^{2}}+2{{\left( x-\frac{5}{4} \right)}^{2}}-\frac{41}{8}$

$=>B=-{{\left( x+4y \right)}^{2}}-2{{\left( x-\frac{5}{4} \right)}^{2}}+\frac{41}{8}\le \frac{41}{8}$

Bài 23: Tìm min của: $A=3{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+4xy+2x-4y+26$

HD:

$A=4{{y}^{2}}+\left( 4xy-4y \right)+3{{x}^{2}}+2x+26=\left[ 4{{y}^{2}}+2.2y.\left( x-1 \right)+{{\left( x-1 \right)}^{2}} \right] +3{{x}^{2}}+2x+26-{{\left( x-1 \right)}^{2}}$

$A={{\left( 2y+x-1 \right)}^{2}}+2{{x}^{2}}+4x+25={{\left( x+2y-1 \right)}^{2}}+2\left( {{x}^{2}}+2x+1 \right)+23\ge 23$

Bài 24: Tìm max của: $A=-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+xy+2x+2y$

HD:

$-A={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy-2x-2y={{x}^{2}}-\left( xy+2x \right)+{{y}^{2}}-2y={{x}^{2}}-x\left( y+2 \right)+\left( {{y}^{2}}-2y \right)$

$A=\left[ {{x}^{2}}-2x.\frac{y+2}{2}+\frac{{{y}^{2}}+4y+4}{4} \right] +{{y}^{2}}-2y-\left( \frac{{{y}^{2}}+4y+4}{4} \right)={{\left( x-\frac{y+2}{2} \right)}^{2}}+\left( \frac{3{{y}^{2}}}{4}-3y-1 \right)$

$A={{\left( \frac{2x-y-1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}\left( {{y}^{2}}-4y+4-\frac{4}{3}-4 \right)$