Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử – Ôn thi HSG Toán 8
Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử – Ôn thi HSG Toán 8
Dạng 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC BẬC BA VÀ BẬC 4
LÝ THUYẾT
Phương pháp:
Dùng máy tính nhẩm nghiệm
hoặc tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức có 1 nghiệm x=1
Tổng hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ thì đa thức có 1 nghiệm là x=-1
1 số HĐT đáng nhớ:
1, ${{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2ab={{\left( a-b \right)}^{2}}+4ab$
2, ${{\left( a-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab={{\left( a+b \right)}^{2}}-4ab$
3, ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( a+b \right)}^{2}}-2ab={{\left( a-b \right)}^{2}}+2ab$
4, ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}=\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)={{\left( a+b \right)}^{3}}-3ab\left( a+b \right)$
5, ${{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)={{\left( a-b \right)}^{3}}+3ab\left( a-b \right)$
6, $2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)={{\left( a+b \right)}^{2}}+{{\left( a-b \right)}^{2}}$
7, ${{\left( a+b \right)}^{2}}-{{\left( a-b \right)}^{2}}=4ab$
8, ${{a}^{4}}+{{b}^{4}}=\left( a+b \right)\left( a-b \right)\left[ {{\left( a+b \right)}^{2}}-2ab \right] $
9, ${{a}^{4}}+{{b}^{4}}={{\left[ {{\left( a+b \right)}^{2}}-2ab \right] }^{2}}-2{{\left( ab \right)}^{2}}$.
10, ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3abc=\left( a+b+c \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca \right)$.
11, ${{a}^{4}}+{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{4}}=\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)$.
12, ${{a}^{4}}+{{a}^{2}}+1=\left( {{a}^{2}}+a+1 \right)\left( {{a}^{2}}-a+1 \right)$.
BÀI TẬP
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: ${{a}^{3}}+4{{a}^{2}}-29a+24$
HD:
Bấm máy nhận thấy đa thức có ba nghiệm là 1,3 và -8, nên sẽ có chứa các nhân tử (a – 1), (a – 3) và (a + 8),
Ta có:${{a}^{3}}+4{{a}^{2}}-29a+24=\left( {{a}^{3}}-{{a}^{2}} \right)+\left( 5{{a}^{2}}-5a \right)+\left( -24a+24 \right)$
${{a}^{2}}\left( a-1 \right)+5a\left( a-1 \right)-24\left( a-1 \right)=\left( a-1 \right)\left( {{a}^{2}}+5a-24 \right)$=$\left( a-1 \right)\left( a-3 \right)\left( a+8 \right)$
Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: ${{x}^{4}}+6{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}-6x+1$
HD:
Nhận thấy đa thức bậc 4 này không dùng được máy tính
Và đa thức không có hai nghiệm là 1 và -1
Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau:
Nên ta làm như sau:
${{x}^{4}}+6{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}-6x+1={{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}+6x+7+\frac{-6}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)={{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+6\left( x-\frac{1}{x} \right)+7 \right)$
Đặt $x-\frac{1}{x}=t=>{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}={{t}^{2}}+2$
Đa thức trở thành : ${{x}^{2}}\left( {{t}^{2}}+2+6t+7 \right)={{x}^{2}}\left( {{t}^{2}}+6t+9 \right)={{x}^{2}}{{\left( t+3 \right)}^{2}}$
Thay t trở lại ta được :${{x}^{2}}{{\left( x-\frac{1}{x}+3 \right)}^{2}}={{x}^{2}}{{\left( \frac{{{x}^{2}}-1+3x}{x} \right)}^{2}}={{({{x}^{2}}+3x-1)}^{2}}$
Vậy ${{x}^{4}}+6{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}-6x+1={{\left( {{x}^{2}}+3x-1 \right)}^{2}}$
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: ${{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+11x+6$
HD :
Bấm máy ta thấy đa thức có ba nghiệm nguyên là -1, -2, -3, nên ta phân tích :
${{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+11x+6=\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)$
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( x+1 \right)\left( x+3 \right)\left( x+5 \right)\left( x+7 \right)+15$
HD :
Với dạng này, ta chỉ việc lấy số nhỏ nhất nhân với số lớn nhất, để tạo ra những số hạng giống nhau :
$\left( x+1 \right)\left( x+7 \right)\left( x+3 \right)\left( x+5 \right)+15=\left( {{x}^{2}}+8x+7 \right)\left( {{x}^{2}}+8x+15 \right)+15$
Đặt ${{x}^{2}}+8x=t=>\left( t+7 \right)\left( t+15 \right)+15={{t}^{2}}+22t+105+15={{t}^{2}}+22t+120$
$=\left( t+10 \right)\left( t+12 \right)=\left( {{x}^{2}}+8x+10 \right)\left( {{x}^{2}}+8x+12 \right)$=$\left( {{x}^{2}}+8x+10 \right)\left( x+6 \right)\left( x+2 \right)$
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: ${{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+1$
HD :
Nhận thấy ngay đa thức trên là hằng đẳng thức nên ta có :
${{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+1={{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}$
Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử: $3{{x}^{3}}-7{{x}^{2}}+17x-5$
HD :
Bấm máy tính cho ta có nghiệm là $x=\frac{1}{3}$, nên có nhân tử là : (3x – 1)
nên ta có :$3{{x}^{3}}-7{{x}^{2}}+17x-5=3{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-6{{x}^{2}}+2x+15x-5$
$={{x}^{2}}\left( 3x-1 \right)-2x\left( 3x-1 \right)+5\left( 3x-1 \right)=\left( 3x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+5 \right)$
Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: $2{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+8x-3$
HD :
Bấm máy tính cho ta có nghiệm là $x=\frac{1}{2}$, nên có nhân tử là : (2x – 1)
Nên ta có : $2{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+8x-3=2{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-4{{x}^{2}}+2x+6x-3$
$={{x}^{2}}\left( 2x-1 \right)-2x\left( 2x-1 \right)+3\left( 2x-1 \right)=\left( 2x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)$
Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử: $3{{x}^{3}}-14{{x}^{2}}+4x+3$
HD :
Bấm máy tính cho ta nghiệm là : $x=\frac{-1}{3}$ nên có 1 nhân tử là : (3x + 1)
Ta có : $3{{x}^{3}}-14{{x}^{2}}+4x+3=3{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-15{{x}^{2}}-5x+9x+3$
${{x}^{2}}\left( 3x+1 \right)-5x\left( 3x+1 \right)+3\left( 3x+1 \right)=\left( 3x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-5x+3 \right)$
Bài 9: Phân tích đa thức thành nhân tử: ${{x}^{3}}+5{{x}^{2}}+8x+4$
HD :
bấm máy tính cho ta nghiệm là : x= -1 và x= -2
Như vậy ta có : ${{x}^{3}}+5{{x}^{2}}+8x+4=\left( x+1 \right){{\left( x+2 \right)}^{2}}$
Bài 10: Phân tích đa thức thành nhân tử: ${{x}^{4}}+1997{{x}^{2}}+1996x+1997$
HD:
Ta có:
$\left( {{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1 \right)+\left( 1996{{x}^{2}}+1996x+1996 \right)=\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)+1996\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)$
$=\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1997 \right)$
Bài 11: Phân tích thành nhân tử: ${{x}^{4}}+2004{{x}^{2}}+2003x+2004$
HD:
$={{x}^{4}}+2004{{x}^{2}}+2004x-x+2004$$=\left( {{x}^{4}}-x \right)+2004\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)$
$=x\left( {{x}^{3}}-1 \right)+2004\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)=x\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)+2004\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)$
$=\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+2004 \right)$
Bài 12: Phân tích đa thức thành nhân tử: ${{x}^{2}}-x-2001.2002$
HD :
Ta có:${{x}^{2}}-x-2001\left( 2001+1 \right)={{x}^{2}}-x+{{2001}^{2}}-2001=\left( {{x}^{2}}-{{2001}^{2}} \right)-\left( x+2001 \right)$
$\left( x-2011 \right)\left( x+2011 \right)-\left( x+2011 \right)=\left( x+2011 \right)\left( x-2012 \right)$
Bài 13: Phân tích đa thức thành nhân tử: $x\left( x+4 \right)\left( x+6 \right)\left( x+10 \right)+128$
HD :
$x\left( x+10 \right)\left( x+4 \right)\left( x+6 \right)+128=\left( {{x}^{2}}+10x \right)\left( {{x}^{2}}+10x+24 \right)+128$
Đặt : ${{x}^{2}}+10x=t$, Khi đó đa thức trở thành : $t\left( t+24 \right)+128={{t}^{2}}+24t+128=\left( t+8 \right)\left( t+16 \right)$
Thay t trở lại đa thức ta đươc : $\left( {{x}^{2}}+10x+8 \right)\left( {{x}^{2}}+10x+16 \right)=\left( {{x}^{2}}+10x+8 \right)\left( x+2 \right)\left( x+8 \right)$
Bài 14: Phân tích đa thức thành nhân tử: ${{x}^{4}}+6{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}-6x+1$
HD :
Nhận thấy đa thức bậc 4 này không dùng được máy tính
và đa thức không có hai nghiệm là 1 và -1
Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau:
nên ta làm như sau:
${{x}^{4}}+6{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}-6x+1={{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}+6x+7+\frac{-6}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)={{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+6\left( x-\frac{1}{x} \right)+7 \right)$
Đặt $x-\frac{1}{x}=t=>{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}={{t}^{2}}+2$Đa thức trở thành :${{x}^{2}}\left( {{t}^{2}}+2+6t+7 \right)={{x}^{2}}\left( {{t}^{2}}+6t+9 \right)={{x}^{2}}{{\left( t+3 \right)}^{2}}$
Thay t trở lại ta được :
${{x}^{2}}{{\left( x-\frac{1}{x}+3 \right)}^{2}}={{x}^{2}}{{\left( \frac{{{x}^{2}}-1+3x}{x} \right)}^{2}}={{({{x}^{2}}+3x-1)}^{2}}$
Vậy ${{x}^{4}}+6{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}-6x+1={{\left( {{x}^{2}}+3x-1 \right)}^{2}}$
Bài 15: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+x+2 \right)-12$
HD :
Đặt ${{x}^{2}}+x=t$ khi đó đa thức trở thành : $\left( t+1 \right)\left( t+2 \right)-12={{t}^{2}}+3t-10=\left( t-2 \right)\left( t+5 \right)$
Thay t trở lại đa thức ta được : $\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+x+5 \right)=\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+x+5 \right)$
Bài 16: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( {{x}^{2}}-4 \right)\left( {{x}^{2}}-10 \right)-72$
HD :
Đặt ${{x}^{2}}-4=t$ khi đó đa thức trở thành :
$t\left( t-6 \right)-72={{t}^{2}}-6t-72=\left( t-12 \right)\left( t+6 \right)=\left( {{x}^{2}}-16 \right)\left( {{x}^{2}}+2 \right)=\left( x-4 \right)\left( x+4 \right)\left( {{x}^{2}}+2 \right)$
Bài 17: Phân tích đa thức thành nhân tử: ${{x}^{4}}+6{{x}^{3}}-11{{x}^{2}}+6x+1$
HD :
Nhận thấy đa thức bậc 4 này không dùng được máy tính
và đa thức không có hai nghiệm là 1 và -1
Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau:
nên ta làm như sau:
${{x}^{4}}+6{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}+6x+1={{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}+6x+7+\frac{6}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)={{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+6\left( x+\frac{1}{x} \right)+7 \right)$
Đặt $x+\frac{1}{x}=t=>{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}={{t}^{2}}-2$. Đa thức trở thành :
${{x}^{2}}\left( {{t}^{2}}-2+6t+7 \right)={{x}^{2}}\left( {{t}^{2}}+6t+5 \right)={{x}^{2}}\left( t+1 \right)\left( t+5 \right)$
Thay t trở lại ta được :
${{x}^{2}}\left( x+\frac{1}{x}+1 \right)\left( x+\frac{1}{x}+5 \right)={{x}^{2}}\left( \frac{{{x}^{2}}+1+x}{x} \right)\left( \frac{{{x}^{2}}+1+5x}{x} \right)=\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+5x+1 \right)$
Vậy ${{x}^{4}}+6{{x}^{3}}+7{{x}^{2}}-6x+1=\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+5x+1 \right)$
Bài 18: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( a+1 \right)\left( a+2 \right)\left( a+3 \right)\left( a+4 \right)+1$
HD :
Ta có : $\left( a+1 \right)\left( a+4 \right)\left( a+2 \right)\left( a+3 \right)+1=\left( {{a}^{2}}+5a+4 \right)\left( {{a}^{2}}+5a+6 \right)+1$
Đặt ${{a}^{2}}+5a+5=t$, Khi đó đa thức trở thành : $\left( t-1 \right)\left( t+1 \right)+1={{t}^{2}}={{\left( {{a}^{2}}+5a+5 \right)}^{2}}$
Bài 19: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)\left( x+4 \right)\left( x+5 \right)-24$
HD :
Ta có : $\left( x+2 \right)\left( x+5 \right)\left( x+3 \right)\left( x+4 \right)-24=\left( {{x}^{2}}+7x+10 \right)\left( {{x}^{2}}+7x+12 \right)-24$
Đặt : ${{x}^{2}}+7x+11=t$, Khi đó đa thức trở thành
$\left( t-1 \right)\left( t+1 \right)-24={{t}^{2}}-25=\left( t-5 \right)\left( t+5 \right)=\left( {{x}^{2}}+7x+6 \right)\left( {{x}^{2}}+7x+16 \right)=\left( x+1 \right)\left( x+6 \right)\left( {{x}^{2}}+7x+16 \right)$Bài 20: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( 4x+1 \right)\left( 12x-1 \right)\left( 3x+2 \right)\left( x+1 \right)-4$
HD :
$\left( 4x+1 \right)\left( 3x+2 \right)\left( 12x-1 \right)\left( x+1 \right)-4=\left( 12{{x}^{2}}+11x+2 \right)\left( 12{{x}^{2}}+11x-1 \right)-4$
Đặt $12{{x}^{2}}+11x=t$, Khi đó đa thức trở thành : $\left( t+2 \right)\left( t-1 \right)-4={{t}^{2}}+t-6=\left( t-2 \right)\left( t+3 \right)$
$\left( 12{{x}^{2}}+11x-2 \right)\left( 12{{x}^{2}}+11x+3 \right)$
Bài 21: Phân tích đa thức thành nhân tử: $4\left( x+5 \right)\left( x+6 \right)\left( x+10 \right)\left( x+12 \right)-3{{x}^{2}}$
HD :
Ta có :$4\left( x+5 \right)\left( x+12 \right)\left( x+6 \right)\left( x+10 \right)-3{{x}^{2}}=4\left( {{x}^{2}}+17x+60 \right)\left( {{x}^{2}}+16x+60 \right)-3{{x}^{2}}$
${{x}^{2}}\left[ 4\left( x+17+\frac{60}{x} \right)\left( x+16+\frac{60}{x} \right)-3 \right] $, Đặt : $x+\frac{60}{x}=t$, Khi đó đa thức trở thành :
${{x}^{2}}\left[ 4\left( t+17 \right)\left( t+16 \right)-3 \right] ={{x}^{2}}\left( 4{{t}^{2}}+132t+1085 \right)={{x}^{2}}\left( 2t+31 \right)\left( 2t+35 \right)$
$={{x}^{2}}\left( 2x+\frac{120}{x}+31 \right)\left( 2x+\frac{120}{x}+35 \right)=\left( 2{{x}^{2}}+31x+120 \right)\left( 2{{x}^{2}}+35x+120 \right)$
Bài 22: Phân tích đa thức thành nhân tử: $\left( {{x}^{2}}+3x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+3x-3 \right)-5$
HD :
Đặt : ${{x}^{2}}+3x=t$ , Khi đó đa thức trở thành :
$\left( t+1 \right)\left( t-3 \right)-5={{t}^{2}}-2t-8=\left( t+2 \right)\left( t-4 \right)=\left( {{x}^{2}}+3x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+3x-4 \right)$
$\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)\left( x-1 \right)\left( x+4 \right)$
Bài 23: Phân tích đa thức thành nhân tử: ${{x}^{4}}+{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}+x+1$
HD :
$({{x}^{4}}+{{x}^{3}}+{{x}^{2}})+({{x}^{2}}+x+1)={{x}^{2}}({{x}^{2}}+x+1)+({{x}^{2}}+x+1)=({{x}^{2}}+x+1)({{x}^{2}}+1)$
Bài 24: Phân tích đa thức thành nhân tử: $6{{a}^{4}}+7{{a}^{3}}-37{{a}^{2}}-8a+12$
HD :
Nhẩm thấy đa thức có nghiệm là x=2, hay có 1 nhân tuer là x – 2
Ta có :
$6{{a}^{4}}+7{{a}^{3}}-37{{a}^{2}}-8a+12=(6{{a}^{4}}-12{{a}^{3}})+(19{{a}^{3}}-38{{a}^{2}})+\left( {{a}^{2}}-2a \right)-\left( 6a-12 \right)$
$6{{a}^{3}}\left( a-2 \right)+19{{a}^{2}}\left( a-2 \right)+a\left( a-2 \right)-6\left( a-2 \right)=\left( a-2 \right)\left( 6{{a}^{3}}+19{{a}^{2}}+a-6 \right)$
= $\left( a-2 \right)\left( a+3 \right)\left( 2a-1 \right)\left( 3a+2 \right)$
Bài 25: Phân tích đa thức thành nhân tử: ${{x}^{4}}+6{{x}^{3}}+13{{x}^{2}}+12x+4$
HD :
Thấy tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ, nên đa thức có 1 nghiệm bằng -1
Ta có : ${{x}^{4}}+6{{x}^{3}}+13{{x}^{2}}+12x+4=\left( {{x}^{4}}+{{x}^{3}} \right)+\left( 5{{x}^{3}}+5{{x}^{2}} \right)+\left( 8{{x}^{2}}+8x \right)+\left( 4x+4 \right)$
= ${{x}^{3}}\left( x+1 \right)+5{{x}^{2}}\left( x+1 \right)+8x\left( x+1 \right)+4\left( x+1 \right)=\left( x+1 \right)\left( {{x}^{3}}+5{{x}^{2}}+8x+4 \right)$
= ${{\left( x+1 \right)}^{2}}{{\left( x+2 \right)}^{2}}$
Bài 26: Phân tích đa thức thành nhân tử: ${{\left( {{x}^{2}}+4x+8 \right)}^{2}}+3{{x}^{3}}+14{{x}^{2}}+24x$
HD :
${{\left( {{x}^{2}}+4x+8 \right)}^{2}}+3x\left( {{x}^{2}}+4x+8 \right)+2{{x}^{2}}$,
Đặt: ${{\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)}^{100}}+{{\left( {{x}^{2}}+1-x \right)}^{2017}}$=>$\left( y+x \right)\left( y+2x \right)$
Bài 27: Phân tích đa thức thành nhân tử:${{x}^{4}}+2010{{x}^{2}}+2009x+2010$
HD :
${{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1+2009{{x}^{2}}+2009x+2009=\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)+2009\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)$
$=\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+2010 \right)$
Bài 28: Phân tích đa thức thành nhân tử:$\left( {{x}^{2}}+3x-4 \right)\left( {{x}^{2}}+x-6 \right)-24$
HD :
Ta có : $\left( {{x}^{2}}+3x-4 \right)\left( {{x}^{2}}+x-6 \right)-24=\left( x-1 \right)\left( x+4 \right)\left( x-2 \right)\left( x+3 \right)-24$
$\left( x-2 \right)\left( x+4 \right)\left( x-1 \right)\left( x+3 \right)-24=\left( {{x}^{2}}+2x-8 \right)\left( {{x}^{2}}+2x-3 \right)-24$
Đặt : ${{x}^{2}}+2x=t$, khi đó đa thức trở thành : $\left( t-8 \right)\left( t-3 \right)-24={{t}^{2}}-11t=t\left( t-11 \right)$
Thay t trở lại ta được : $\left( {{x}^{2}}+2x \right)\left( {{x}^{2}}+2x-11 \right)=x\left( x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+2x-11 \right)$
Bài 29: Phân tích đa thức thành nhân tử:$\left( {{x}^{2}}+2x+7 \right)-\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)$
HD :
Đặt : ${{x}^{2}}+2x=t$, khi đó đa thức trở thành :
$\left( t+7 \right)-\left( t+4 \right)\left( t+3 \right)=t+7-{{t}^{2}}-7t-12=-{{t}^{2}}-6t-5=-\left( t+1 \right)\left( t+5 \right)$, Thay t trở lại ta được :
$-\left( {{x}^{2}}+2x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+2x+5 \right)=-{{\left( x+1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+2x+5 \right)$
Bài 30: Phân tích đa thức thành nhân tử:${{x}^{4}}+10{{x}^{3}}+26{{x}^{2}}+10x+1$
HD :
${{x}^{4}}+10{{x}^{3}}+26{{x}^{2}}+10x+1={{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}+10x+26+\frac{10}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)={{x}^{2}}\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+10\left( x-\frac{1}{x} \right)+26 \right)$
Đặt $x+\frac{1}{x}=t=>{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}={{t}^{2}}-2$Đa thức trở thành :
