Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên – Ôn thi HSG Toán 8
Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên – Ôn thi HSG Toán 8
Dạng 1: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT$a\left( a+1 \right)={{k}^{2}}$
Phương pháp:
“ Biến đổi PT có 1 vế là tích của hai số nguyên liên tiếp, vế còn lại là một số chính phương ”.
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: $2{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}+4x=19$
HD:
$x\left( x+1 \right)={{y}^{2}}$=>$\left[ \begin{align}& x=0 \\& x+1=0 \\\end{align} \right.$
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: ${{x}^{2}}+2{{y}^{2}}=5$
HD:
${{\left( x+y \right)}^{2}}={{x}^{2}}{{y}^{2}}-xy=xy\left( xy-1 \right)$
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: $9x+5=y\left( y+1 \right)$
HD:
${{x}^{2}}-x={{y}^{2}}-2y+1=>{{\left( y-1 \right)}^{2}}=x\left( x-1 \right)$
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: $2{{x}^{2}}+4x=19-3{{y}^{2}}$
HD:
${{\left( x+y \right)}^{2}}={{x}^{2}}{{y}^{2}}+xy=xy\left( xy+1 \right)$$=>\left\{ \begin{align}& xy=0 \\& xy+1=0 \\\end{align} \right.$
Dạng 2: SỬ DỤNG LÝ THUYẾT PHẦN NGUYÊN
Bài 1: Tìm x, y z tự nhiên sao cho: $x+\frac{1}{y+\frac{1}{z}}=\frac{10}{7}$ (*)
HD:
Từ(*) ta thấy : $x=\left[ \frac{10}{7} \right] $ thay vào (*) ta được : $y+\frac{1}{z}=\frac{7}{3}=>y=\left[ \frac{7}{3} \right] =2=>z=3$
Bài 2: Tìm $x,y,z,t\in {{N}^{*}}$ thỏa mãn: $31\left( xyzt+xy+xt+zt+1 \right)=40\left( yzt+y+t \right)$ (*)
HD:
Từ (*) $=>\frac{xyzt+xy+xt+zt+1}{yzt+y+t}=\frac{40}{31}=>x+\frac{zt+1}{yzt+y+t}=\frac{40}{31}$ (1)
Từ (1)$=>x=\left[ \frac{40}{31} \right] =1$ , Thay $x=1$ vào (1) ta suy ra :$\frac{yzt+y+t}{zt+1}=\frac{31}{9}=>y+\frac{t}{zt+1}=\frac{31}{9}$ (2)
Từ (2) $=>y=\left[ \frac{31}{9} \right] =3$ thay $y=3$ vào (2) ta được : $\frac{zt+1}{t}=\frac{9}{4}=>z+\frac{1}{t}=\frac{9}{4}$ (3)
Từ (3) $=>z=2,t=4$
Dạng 3: ĐƯA VỀ TỔNG CÁC SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Phương pháp:
Biến đổi PT thành tổng các số chính phương, vế còn lại là 1 hằng số k
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: $4{{x}^{2}}+8{{y}^{2}}+8xy+4y-8=0$
HD:
${{\left( 2x+2y \right)}^{2}}+{{\left( 2y+1 \right)}^{2}}=9={{0}^{2}}+{{3}^{2}}$
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x-y=8$
HD:
Nhân với 4 ta được:$\left( 4{{x}^{2}}-4x+1 \right)+\left( 4{{y}^{2}}-4y+1 \right)=34$
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên: ${{x}^{2}}-4xy+5{{y}^{2}}=169$
HD:
${{\left( x-2y \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=169$
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên: ${{x}^{2}}+5{{y}^{2}}+2y-4xy-3=0$
HD:
${{\left( x-2y \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=4$
Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên dương: ${{x}^{2}}+13{{y}^{2}}-6xy=100$
HD:
${{\left( x-3y \right)}^{2}}+4{{y}^{2}}=100$
Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên: $2{{x}^{6}}+{{y}^{2}}-2{{x}^{3}}y=64$
HD:
${{t}^{2}}+{{\left( t-y \right)}^{2}}=64$ nếu đặt ${{x}^{3}}=t$
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên: $x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}=4$
HD:
${{\left( \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{y}-\frac{1}{\sqrt{y}} \right)}^{2}}=4$
Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên: $\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)=4{{x}^{2}}y$
HD:
${{x}^{4}}+{{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4{{x}^{2}}y=>{{\left( {{x}^{2}}-y \right)}^{2}}+{{x}^{2}}{{\left( y-1 \right)}^{2}}=0$
Bài 9 : Giải phương trình nghiệm nguyên:: $2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2xy+2y-6x+5=0$
HD :
$\left( {{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}} \right)-6x+2y+{{x}^{2}}+5=0$=>${{\left( x-y \right)}^{2}}-2\left( x-y \right)-4x+{{x}^{2}}+5=0$
=>${{\left( x-y-1 \right)}^{2}}+{{\left( x-2 \right)}^{2}}=0$
Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên: ${{x}^{2}}+4{{y}^{2}}-2x-4y+2=0$
HD:
$\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)+\left( 4{{y}^{2}}-4y+1 \right)=0$
Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên: $4{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2{{z}^{2}}-4xy-4xz+2yz-6y-10z+34=0$
HD:
${{\left( 2x \right)}^{2}}-4x\left( y+z \right)+\left( {{y}^{2}}+2yz+{{z}^{2}} \right)+\left( {{y}^{2}}-6y \right)+\left( {{z}^{2}}-10z \right)+34=0$
=>${{\left( 2x-x-y \right)}^{2}}+\left( {{y}^{2}}-6y+9 \right)+\left( {{z}^{2}}-10z+25 \right)=0$
Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x-y=8$
HD:
$\left( {{x}^{2}}-x+\frac{1}{4} \right)+\left( {{y}^{2}}-y+\frac{1}{4} \right)=\frac{17}{2}=>{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2y-1 \right)}^{2}}=34$
Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên: ${{m}^{2}}+{{n}^{2}}=9m+13n-20$
HD:
Nhân 4 $\left( 4{{m}^{2}}-36m+81 \right)+\left( 4{{n}^{2}}-52n+169 \right)=170$
Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên: ${{x}^{2}}-6xy+13{{y}^{2}}=100$
HD:
${{(x-3y)}^{2}}=4(25-{{y}^{2}})$, mà ${{y}^{2}}\le 25,{{y}^{2}}$ là số chính phương nên =>y
Bài 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: ${{x}^{2}}-4xy+5{{y}^{2}}-16=0$
HD :
Ta có phương trình trở thành : ${{x}^{2}}-4xy+5{{y}^{2}}-16=0$
=>${{x}^{2}}-4xy+4{{y}^{2}}+{{y}^{2}}=16=>{{\left( x-2y \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=16$, Vì x,y là số nguyên nên $\left( x-2y \right)\in Z$
=>${{\left( x-2y \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=16=0+16=16+0$
Bài 16: Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le xy+3y+2z-4$
HD:
Vì x, y,z là các số nguyên nên: ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le xy+3y+2z-4<=>{{\left( x-\frac{y}{2} \right)}^{2}}+3{{\left( \frac{y}{2}-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}\le 0$
Bài 17: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn bất phương trình: $10{{x}^{2}}+20{{y}^{2}}+24xy+8x-24y+51<0$
HD:
Biến đổi: ${{\left( 3x+4y \right)}^{2}}+{{\left( x+4 \right)}^{2}}+{{\left( 2y-6 \right)}^{2}}-1<0$ khi $3x+4y=0,x+4=0,2y-6=0$
Bài 18: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-8x+3y=-18$
HD :
Bài 19: CMR: phương trình sau không có nghiệm nguyên: ${{x}^{5}}+29x-30y=10$
HD :
Bài 20: Tìm các số x,y nguyên dương thỏa mãn: ${{y}^{2}}\left( x+1 \right)=1567+{{x}^{2}}$
HD:
Bài 21: Tìm các số nguyên x, y biết: ${{x}^{2}}+xy-3x-3y+7=0$
HD:
Bài 22: Tìm x, y thỏa mãn : ${{x}^{2}}+6{{y}^{2}}+2xy+2x+32y+46=0$
HD:
Dạng 4: SỬ DỤNG DENTA CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Bài 1: Giải phương trình nghiệm nguyên : ${{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2xy+y-2=0$
HD :
Ta có : $<=>{{x}^{2}}+2yx+2{{y}^{2}}+y-2=0$
Có $\Delta ‘={{y}^{2}}-\left( 2{{y}^{2}}+y-2 \right)=-{{y}^{2}}-y+2$, Để phương trình có nghiệm thì :$\Delta ‘\ge 0<=>{{\left( y+\frac{1}{2} \right)}^{2}}\le \frac{9}{4}<=>-\frac{3}{2}\le y+\frac{1}{2}\le \frac{3}{2}<=>-2\le y\le 1$
Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên : ${{x}^{2}}+\left( 3-2y \right)x+2{{y}^{2}}-3y+2=0$
HD :
Có $\Delta ‘=1-4{{y}^{2}}$, để phương trình có nghiệm thì $\Delta ‘\ge 0<=>{{y}^{2}}\le \frac{1}{4}<=>y=0=>x=-1,x=-2$
Bài 3: Giải phương trình nghiệm nguyên : $3{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4xy+4x+2y+5=0$
HD :
Xét : ${{\Delta }_{y}}={{x}^{2}}-4=>{{\Delta }_{y}}\ge 0<=>\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)\ge 0=>x=\pm $
Bài 4: Giải phương trình nghiệm nguyên : $3{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+6x+3y-4=0$
HD :
$<=>\left( 3{{x}^{2}}+6x \right)+\left( 4{{y}^{2}}+3y \right)=4$
Bài 5: Giải phương trình nghiệm nguyên : ${{x}^{2}}-\left( y+5 \right)x+5y+2=0$
HD :
Theo vi- ét ta có :
$\left\{ \begin{align}& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=y+5 \\& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=5y+2 \\\end{align} \right.=>\left( {{x}_{1}}-5 \right)\left( {{x}_{2}}-5 \right)=2=1.2=\left( -1 \right).\left( -2 \right)$
Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên : ${{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+3xy-x-y+3=0$
HD :
Chuyển phương trình thành bậc hai với x
$<=>{{x}^{2}}+\left( 3y-1 \right)x+\left( {{y}^{2}}-y+3 \right)=0$, có :
$\Delta ={{y}^{2}}-2y-11$, Điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm nguyên là $\Delta $ là số chính phương
=>${{y}^{2}}-2y-11={{k}^{2}}\left( k\in Z \right)=>y=5,y=-3$
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên : $x+y+xy={{x}^{2}}+{{y}^{2}}$
HD :
Đưa phương trình về dạng :
${{x}^{2}}-\left( y+1 \right)x+\left( {{y}^{2}}-y \right)=0$, Điều kiện để phương trình có nghiệm là :
$\Delta \ge 0<=>3{{y}^{2}}-6y-1<0<=>3{{\left( y-1 \right)}^{2}}\le 4=>{{\left( y-1 \right)}^{2}}\le 1$
Từ đó ta có : $y=0,1,2$
Bài 8: Giải phương trình nghiệm nguyên : ${{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+3xy-x-y+3=0$
HD :
Đưa phương trình về dạng : ${{x}^{2}}+\left( 3y-1 \right)x+\left( 2{{y}^{2}}-y+3 \right)=0$
Điều kiện để phương trình có nghiệm là $\Delta \ge 0$
Làm giống bài trên
Bài 9: Giải phương trình nghiệm nguyên : $\left( {{x}^{2}}+y \right)\left( x+{{y}^{2}} \right)={{\left( x-y \right)}^{3}}$
HD :
Đưa phương trình về dạng : $y\left[ 2{{y}^{2}}+\left( {{x}^{2}}-3x \right)y+\left( x+3{{x}^{2}} \right) \right] =0$
TH1 : y=0 => …
TH2 : $y\ne 0=>2{{y}^{2}}+\left( {{x}^{2}}-3x \right)y+\left( x+3{{x}^{2}} \right)=0$
Điều kiện để phương trình có nghiệm là $\Delta \ge 0=>{{\left( x+1 \right)}^{2}}x\left( x-8 \right)$ phải là 1 số chính phương
=>$x\left( x-8 \right)={{a}^{2}}\left( a\in N \right)=>\left( x-4-a \right)\left( x-4+a \right)=16$=> Tìm x
Đáp án : (x ; y)= ( 9 ; -6), (9 ; -21), (8 ; -10), (-1 ; -1), (m ; 0) với m là số nguyên
Bài 10: Giải phương trình nghiệm nguyên : $7\left( x+y \right)=3\left( {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}} \right)$
HD :
Đưa phương trình về dạng : $3{{x}^{2}}-\left( 3y+7 \right)x+3{{y}^{2}}-7y=0$
Để phương trình có nghiệm thì $\Delta $ phải là 1 số chính phương
Bài 11: Giải phương trình nghiệm nguyên : $12{{x}^{2}}+6xy+3{{y}^{2}}=28\left( x+y \right)$
HD :
Cách 1 : Đánh giá miền cực trị của x :
$9{{x}^{2}}=-3{{\left( x+y \right)}^{2}}+28\left( x+y \right)=\frac{{{14}^{2}}}{3}-3{{\left[ \left( x+y \right)-\frac{14}{3} \right] }^{2}}\le \frac{196}{3}$
=>${{x}^{2}}\le 7=>{{x}^{2}}\in \left\{ 0;1;4 \right\}$
Cách 2 : Tính $\Delta $
Bài 12: Giải phương trình nghiệm nguyên : ${{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}=2x+y$
HD :
Đưa phương trình về dạng : ${{x}^{2}}+\left( y-2 \right)x+{{y}^{2}}-y=0$
Điều kiện để phương trình có nghiệm là $\Delta \ge 0$
Bài 13: Giải phương trình nghiệm nguyên : ${{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}=x+y$
HD :
Đưa phương trình về dạng : ${{x}^{2}}+\left( y-1 \right)x+{{y}^{2}}-y=0$
Điều kiện để phương trình có nghiệm là $\Delta \ge 0$
Bài 14: Giải phương trình nghiệm nguyên : ${{x}^{2}}-3xy+3{{y}^{2}}=3y$
HD :
Đưa phương trình về dạng : ${{x}^{2}}-3yx+3{{y}^{2}}-3y=0$
Điều kiện để phương trình có nghiệm là $\Delta \ge 0$
Bài 15: Giải phương trình nghiệm nguyên : ${{x}^{2}}-2xy+5y=y+1$
HD :
Đưa phương trình về dạng : ${{x}^{2}}-2yx+5{{y}^{2}}-y-1=0$
Điều kiện để phương trình có nghiệm là $\Delta \ge 0$
Bài 16: Giải phương trình nghiệm nguyên : $7\left( x+y \right)=3\left( {{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}} \right)$
HD :
Coi PT đã cho là PT bậc hai đối với x: $3{{x}^{2}}-\left( 3y+7 \right)x+3{{y}^{2}}-7y=0$ (1)
Để (1) có nghiệm nguyên thì biệt thức $\Delta $ phải là số chính phương.
Bài 17: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x+y+xy={{x}^{2}}+{{y}^{2}}$
HD:
$x+y+xy={{x}^{2}}+{{y}^{2}}<=>{{x}^{2}}-\left( y+1 \right)x+\left( {{y}^{2}}-y \right)=0$ , Coi PT là ẩn x với tham số y
Ta có : $\Delta ={{\left( y+1 \right)}^{2}}-4\left( {{y}^{2}}-y \right)=-\left( 3{{y}^{2}}-6y+1 \right)$ , để PT có nghiệm thì $\Delta \ge 0=>3{{y}^{2}}-6y+1\le 0$
$<=>3{{\left( y-1 \right)}^{2}}\le 4$ Vì $y\in Z=>y\in \left\{ 0;1;2 \right\}$
Bài 18: Giải phương trình nghiệm nguyên : $y=\frac{{{x}^{2}}-x+1}{{{x}^{2}}+x+1}$
HD :
Đưa phương trình trở thành : $\left( y-1 \right){{x}^{2}}+\left( y+1 \right)x+y-1=0$
TH1 : y=1=> x=0
TH2 :$y\ne 1=>{{\Delta }_{x}}\ge 0<=>\frac{1}{3}\le y\le 3=>y\in \left\{ 0;1;2;3 \right\}$
