Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên ôn thi HSG Toán THCS

          Cuốn sách “Phương trình nghiệm nguyên” này giúp cho GV & HS học sinh THCS có thêm các kinh nghiệm và kĩ năng giải dạng toán này trong các kì thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10 chuyên.

Xung quanh vấn đề phương trình nghiệm nguyên có rất nhiều phương pháp kĩ thuật cũng như các dạng toán liên quan nhưng trong phạm vi cuốn sách và giới hạn hiểu biết  mình chỉ trình bày những kiến thức tương đối phổ thông và các bài tập nâng cao từ các đề thi trong các kì thi toán THCS và vào lớp 10. Cuốn sách gồm 5 chương:

– Chương 1: Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên thường gặp

– Chương 2: Các dạng toán phương trình nghiệm nguyên thường gặp

– Chương 3: Các bài toán liên quan đến giải phương trình nghiệm nguyên

– Chương 4: Các bài toán phương trình nghiệm nguyên trong các kì thi

– Chương 5: Một số bài toán luyện tập

– Bài đọc thêm cuối sách: Phương trình Phéc – ma.

– Một số phương trình nghiệm nguyên chưa được giải.

Các bài toán trong cuốn sách thường là những bài toán rất thường gặp trong các kì thi, ngoài ra còn có nhiều toán mới lạ nhưng cách giải rất hợp lý với mạch tư duy sách sủa. Ở chương 1, chương 2 nói về các phương pháp chứng minh và các dạng toán thường gặp mình còn để rất nhiều nhận xét và chú ý để các bạn học sinh có thể nắm bắt được chắc chắn hơn những kinh nghiệm để có thể nhận biết được nên áp dụng phương pháp nào vào trường hợp nào, lý do áp dụng phương pháp này mà không phải là phương pháp khác.

Phương trình nghiệm nguyên là chủ đề tương đối ít tài liệu mạng cũng như sách viết chi tiết, có một số cuốn như “Phương trình nghiệm nguyên” của thầy Vũ Hữu Bình thì cũng tương đối khó tìm trong các hiệu sách, đa số chỉ là một chuyên đề nhỏ trong các cuốn sách luyện thi nên mong rằng cuốn sách này cũng là tài liệu tương đối bổ ích để thầy cô có thêm tài liệu luyện thi cho các em học sinh.

Cuốn cùng về nội dung sách không thể trách khỏi sai sót do thời gian biên soạn ngắn, gom góp từ nhiều tài liệu, người làm không thực sự tỉ mỹ, mong bạn đọc lượng thứ và có những góp ý để đây trở thành một tài liệu mạng hữu ích cho các em học sinh và quý học sinh trong các kì thi và những người thực sự yêu thích phần này.

CHƯƠNG I. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGUYỆN NGUYÊN

CHỦ ĐỀ 1. CÁC PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT

Phương pháp 1. Đưa về dạng tổng bình phương

Ta tìm cách đưa về dạng tổng S$m{{A}^{2}}+n{{B}^{2}}=c$ với m, n, c là số nguyên; A, B là các biểu thức nguyên.

Ví dụ 1. Giải phương trình nghiệm nguyên ${{x}^{2}}-4xy+5{{y}^{2}}=2\left( x-y \right)$.

Lời giải

Ta có   ${{x}^{2}}-4xy+5{{y}^{2}}=2\left( x-y \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4xy+5{{y}^{2}}-2x+2y=0$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2x\left( 2y+1 \right)+{{(2y+1)}^{2}}-{{(2y+1)}^{2}}+5{{y}^{2}}+2y=0$$\Leftrightarrow {{(x-2y-1)}^{2}}+{{y}^{2}}-2y-1=0\Leftrightarrow {{(x-2y-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=2\left( * \right)$

Xét phương trình (*) ta có: ${{\left( x-2y-1 \right)}^{2}}\ge 0\forall x,y\Rightarrow {{\left( y-1 \right)}^{2}}\le 2$

Mà x nguyên nên ${{\left( y-1 \right)}^{2}}\in \left\{ 0,1 \right\}$

* Với ${{\left( y-1 \right)}^{2}}=0$ thì ${{\left( x-2y-1 \right)}^{2}}=2$ (loại)

* Với ${{\left( y-1 \right)}^{2}}=1\Rightarrow \left[ \begin{matrix}y-1=1  \\y-1=-1  \\\end{matrix}\Leftrightarrow  \right.\left[ \begin{matrix}y=2  \\y=0  \\\end{matrix} \right.$

– y = 2 $\Rightarrow {{\left( x-4-1 \right)}^{2}}=1\Rightarrow \left[ \begin{matrix}x-5=1  \\x-5=-1  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow \left[ \begin{matrix}x=6  \\x=4  \\\end{matrix} \right.$

– y = 0$\Rightarrow {{\left( x-0-1 \right)}^{2}}=1\Rightarrow \left[ \begin{matrix}x-1=1  \\x-1=-1  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow \left[ \begin{matrix}x=2  \\x=0  \\\end{matrix} \right.$

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: $\left( x,y \right)=\left( 6,2 \right);\left( 4,2 \right);\left( 2,0 \right);\left( 0,0 \right)$ .

Ví dụ 2. Giải phương trình nghiệm nguyên $5{{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}}=17$.

Lời giải

Ta có $5{{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}}=17\Leftrightarrow {{\left( x-y \right)}^{2}}+4{{x}^{2}}=17\Leftrightarrow {{(x-y)}^{2}}=17-4{{x}^{2}}$ (*)

Xét phương trình (*) ta có ${{\left( x-y \right)}^{2}}\ge 0,\forall x,y\Rightarrow 17-4{{x}^{2}}\ge 0\Rightarrow {{x}^{2}}\le \frac{17}{4}$

Mà x là số nguyên nên ${{x}^{2}}\in \left\{ 0;1;4 \right\}$

– Với ${{x}^{2}}=0\Rightarrow {{(x-y)}^{2}}=17$ (loại).

– Với ${{x}^{2}}=1\Rightarrow {{(x-y)}^{2}}=13$ (loại)

– Với ${{x}^{2}}=4\Leftrightarrow x=\pm 2$,

Với $x=2\Rightarrow {{(2-y)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}2-y=1  \\2-y=-1  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}y=1  \\y=3  \\\end{matrix} \right.$

Với $x=-2\Rightarrow {{(2+y)}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}2+y=1  \\2+y=-1  \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}y=-1  \\y=-3  \\\end{matrix} \right.$

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là: (2; 1), (2; 3), (-2; -1); (-2; -3).

Ví dụ 3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x-y=8$

Lời giải

Ta có:

${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x-y=8\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}-4x-4y=32$$\Leftrightarrow \left( 4{{x}^{2}}-4x-1 \right)+\left( 4{{y}^{2}}-4y+1 \right)=34\Leftrightarrow {{\left( 2x-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2y-1 \right)}^{2}}=34$$\Leftrightarrow {{\left| 2x-1 \right|}^{2}}+{{\left| 2y-1 \right|}^{2}}={{3}^{2}}+{{5}^{2}}$

Ta thấy 34 chỉ có duy nhất một dạng phân tích thành hai số chính phương là ${{3}^{2}}$ và ${{5}^{2}}$ .

Do đó: $\left[ \begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}={{3}^{2}}  \\{{\left( 2y-1 \right)}^{2}}={{5}^{2}}  \\\end{matrix} \right.  \\\left\{ \begin{matrix}{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}={{5}^{2}}  \\{{\left( 2y-1 \right)}^{2}}={{3}^{2}}  \\\end{matrix} \right.  \\\end{matrix} \right.\Rightarrow \left[ \begin{matrix}\left\{ \begin{matrix}\left| 2x-1 \right|=3  \\\left| 2y-1 \right|=5  \\\end{matrix} \right.  \\\left\{ \begin{matrix}\left| 2x-1 \right|=5  \\\left| 2y-1 \right|=3  \\\end{matrix} \right.  \\\end{matrix} \right.$

Giải ra ta được 4 nghiệm (x, y) = (2, 3); (-1, -2); (-2; -1); (3, 2).

Phương pháp 2. Đưa về phương trình ước số

Đang update