Chuyên đề Rút gọn biểu thức – Ôn thi HSG Toán 8
Chuyên đề Rút gọn biểu thức – Ôn thi HSG Toán 8
Phương pháp rút gọn biểu thức
+ So sánh P với m: Xét hiệu P – m, rồi so sánh với số 0
Chú ý:
${A \over B} \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
A \ge 0 \hfill \cr
B > 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
A \le 0 \hfill \cr
B < 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.$
hoặc
${A \over B} \le 0 \Rightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
A \le 0 \hfill \cr
B > 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
A \le 0 \hfill \cr
B > 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.$
+ Tìm x nguyên để P nguyên: $P=\frac{A}{B}\in Z<=>B\in U\left( A \right)$
+ Tìm x để P nguyên: Chặn miền giá trị của P hoặc đặt bằng k $(k\in Z)$
+ Tìm Min Max của $P=\frac{A}{B}$ : Nếu bậc của tử $\ge $bậc của mẫu: chia xuống chú ý dấu bằng xảy ra.
Chú ý SD BĐT: $a+b\ge 2\sqrt{ab}$
Bài 1: Cho biểu thức: $A=\left[ \frac{{{(x-1)}^{2}}}{3x+{{(x-1)}^{2}}}-\frac{1-2{{x}^{2}}+4x}{{{x}^{3}}-1}+\frac{1}{x-1} \right] :\frac{{{x}^{2}}+x}{{{x}^{3}}+x}$
- Rút gọn biểu thức A.
- Tìm giá trị của x để A > -1
HD:
a, Rút gọn được: $A=\frac{{{x}^{2}}+1}{x+1}$
b, Để $A>-1$ thì $\frac{{{x}^{2}}+1}{x+1}>-1\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}+x+2}{x+1}>0$
Do đó ${{x}^{2}}+x+2$ và $x+1$ phải cùng dấu
mà ${{x}^{2}}+x+2={{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{7}{4}>0$
nên $x+1>0\Leftrightarrow x>-1$
Kết hợp với điều kiện xác định ta có: $x>-1,\,x\ne 0,\ x\ne 1$ thì A > -1
Bài 2: Cho biểu thức: $A=\left( \frac{1}{3}+\frac{3}{{{x}^{2}}-3x} \right):\left( \frac{{{x}^{2}}}{27-3{{x}^{2}}}+\frac{1}{x+3} \right)$
a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tìm giá trị của x để A < -1.
HD:
ĐKXĐ: $x\ne 0,\,x\ne 3,\,x\ne -3$
a, Rút gọn được: $A=-\frac{x+3}{x}$
b, Để $A<-1$ thì $-\frac{x+3}{x}<-1\Leftrightarrow \frac{x+3}{x}>1$$\Leftrightarrow \frac{x+3}{x}-1>0\Leftrightarrow \frac{3}{x}>0$$\Rightarrow x>0$
(vì 3 > 0 )
Kết hợp với điều kiện xác định ta có: $x>0,\ x\ne 3$ thì A <-1
Bài 3: Cho biểu thức: $A=\left( \frac{1}{1-x}+\frac{2}{x+1}-\frac{5-x}{1-{{x}^{2}}} \right):\frac{1-2x}{{{x}^{2}}-1}$
- Rút gọn biểu thức A
- Tìm x để A>0
HD:
a, ĐKXĐ: $x\ne \pm 1$ .
Ta có: $A=\frac{1+x+2-2x-5+x}{1-{{x}^{2}}}:\frac{1-2x}{{{x}^{2}}-1}=\frac{2}{{{x}^{2}}-1}.\frac{{{x}^{2}}-1}{1-2x}=\frac{2}{1-2x}$
b, Để $A>0<=>1-2x>0<=>x<\frac{1}{2}$ , Đối chiếu với điều kiện ta được: $-1\ne x<\frac{1}{2}$
Bài 4: Cho $P=\frac{{{a}^{3}}-4{{a}^{2}}-a+4}{{{a}^{3}}-7{{a}^{2}}+14a-8}$
- Rút gọn P
- Tìm giá trị nguyên của a để P nhận gí trị nguyên
HD:
a, Ta có: ${{a}^{3}}-4{{a}^{2}}-a+4=a\left( {{a}^{2}}-1 \right)-4\left( {{a}^{2}}-1 \right)=\left( a-1 \right)\left( a+1 \right)\left( a-4 \right)$
Và ${{a}^{3}}-7{{a}^{2}}+14a-8=\left( {{a}^{3}}-8 \right)-7a\left( a-2 \right)=\left( a-2 \right)\left( {{a}^{2}}-5a+4 \right)=\left( a-2 \right)\left( a-1 \right)\left( a-4 \right)$
ĐKXĐ: $a\ne 1,a\ne 2,a\ne 4$ . Rút gọn ta được: $P=\frac{a+1}{a-2}$
b, $P=\frac{a-2+3}{a-2}=1+\frac{3}{a-2}$
Để P nguyên khi a-2 là ước của 3 =>$a\in \left\{ -1;3;5 \right\}$
Bài 5: Cho biểu thức: $M=\left( \frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{3}}-4x}+\frac{6}{6-3x}+\frac{1}{x+2} \right):\left( x-2+\frac{10-{{x}^{2}}}{x+2} \right)$
- Rút gọn M
- Tính giá trị cảu M khi $\left| x \right|=\frac{1}{2}$
HD:
ĐKXĐ: $x\ne 0,x\ne \pm 2$
a, $M=\left[ \frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{3}}-4x}+\frac{6}{6-3x}+\frac{1}{x+2} \right] :\left( x-2+\frac{10-{{x}^{2}}}{x+2} \right)$
$=\left[ \frac{{{x}^{2}}}{x\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}-\frac{6}{3\left( x-2 \right)}+\frac{1}{x+2} \right] :\frac{6}{x+2}$
$M=\frac{-6}{\left( x-2 \right)\left( x+2 \right)}.\frac{x+2}{6}=\frac{1}{2-x}$
b, Khi $\left| x \right|=\frac{1}{2}=>x=\frac{1}{2}$ hoặc $x=\frac{-1}{2}$
Bài 6: Cho biểu thức: $D=\frac{{{y}^{2}}-y-2}{y-2}:\frac{{{x}^{3}}-10{{x}^{2}}+25x}{{{x}^{2}}-25}$
- Rút gọn D
- Tính giá trị của D với các giá trị của x và y thỏa mãn đẳng thức: ${{x}^{2}}+\left| x-2 \right|+4{{y}^{2}}-4xy=0$
HD:
a, ĐKXĐ: $y\ne 2,x\ne 0,x\ne \pm 5$
Khi đó: $D=\frac{{{y}^{2}}+y-2y-2}{y-2}:\frac{x\left( {{x}^{2}}-10x+25 \right)}{\left( x-5 \right)\left( x+5 \right)}=\frac{y\left( y+1 \right)-2\left( y+1 \right)}{y-2}:\frac{x{{\left( x-5 \right)}^{2}}}{\left( x-5 \right)\left( x+5 \right)}$
$=\frac{\left( y+1 \right)\left( y-2 \right)}{y-2}.\frac{\left( x+5 \right)\left( x-5 \right)}{x{{\left( x-5 \right)}^{2}}}=\frac{\left( y+1 \right)\left( x+5 \right)}{x\left( x-5 \right)}$
b, Vì ${{x}^{2}}+\left| x-2 \right|+4{{y}^{2}}-4xy=0$
$<=>{{x}^{2}}-4xy+4{{y}^{2}}+\left| x-2 \right|=0<=>{{\left( x-2y \right)}^{2}}+\left| x-2 \right|=0$
$<=>{{\left( x-2y \right)}^{2}}=0$ và $\left| x-2 \right|=0$$=>x=2,y=1=>D=\frac{-7}{3}$
Bài 7: Cho $A=\left( \frac{x-y}{2y-x}+\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+y-2}{2{{y}^{2}}+xy-{{x}^{2}}} \right):\frac{4{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4}{{{x}^{2}}+y+xy+x}$ , Với $\left( x>0,y>0,x\ne 2y,y\ne 2-2{{x}^{2}} \right)$
- Rút gọn biểu thức A
- Cho$y=1$ .Hãy tìm x để $A=\frac{2}{5}$
HD:
a, $A=\left( \frac{x-y}{2y-x}+\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+y-2}{2{{y}^{2}}+xy-{{x}^{2}}} \right):\left( \frac{4{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+{{y}^{2}}-4}{{{x}^{2}}+y+xy+x} \right)$
$A=\left( \frac{x-y}{2y-x}+\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+y-2}{\left( x+y \right)\left( 2y-x \right)} \right).\frac{\left( x+y \right)\left( x+1 \right)}{\left( 2{{x}^{2}}+y-2 \right)\left( 2{{x}^{2}}+y+2 \right)}$
$A=\frac{2{{x}^{2}}+y-2}{\left( x+y \right)\left( 2y-x \right)}.\frac{\left( x+y \right)\left( x+1 \right)}{\left( 2{{x}^{2}}+y-2 \right)\left( 2{{x}^{2}}+y+2 \right)}=\frac{x+1}{\left( 2y-x \right)\left( 2{{x}^{2}}+y+2 \right)}$
b, Với $y=1=>A=\frac{x+1}{\left( 2-x \right)\left( 2{{x}^{2}}+3 \right)}=\frac{2}{5}<=>4{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+11x-7=0$
$=>\left( x-1 \right)\left( 4{{x}^{2}}-4x+7 \right)=0$$=>x=1$
Bài 8: Cho biểu thức: $Q=1+\left( \frac{x+1}{{{x}^{3}}+1}-\frac{1}{x-{{x}^{2}}-1}-\frac{2}{x+1} \right):\frac{{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}}{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x}$
- Rút gọn Q
- Tính giá trị cảu Q biết : $\left| x-\frac{3}{4} \right|=\frac{5}{4}$
- Tìm giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên
HD:
a, $Q=1+\left( \frac{x+1}{{{x}^{3}}+1}-\frac{1}{x-{{x}^{2}}-1}-\frac{2}{x+1} \right):\frac{{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}}{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+x}$
$=1+\frac{x+1+x+1-2\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}{\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}.\frac{{{x}^{2}}-x+1}{x\left( x-2 \right)}$$=1+\frac{-2{{x}^{2}}+4x}{\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}.\frac{{{x}^{2}}-x+1}{x\left( x-2 \right)}$
$=1+\frac{-2x\left( x-2 \right)}{\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}.\frac{{{x}^{2}}-x+1}{x\left( x-2 \right)}$ , ĐK: $x\ne 0;-1;2$
$Q=1+\frac{-2}{x+1}=\frac{x-1}{x+1}$
b, Với $\left| x-\frac{3}{4} \right|=\frac{5}{4}<=>x=\frac{-1}{2}$ hoặc $x=2$ (Loại)
Với $x=\frac{-1}{2}=>Q=-3$
c, Để $Q\in Z=>x\in \left\{ -3;-2;1 \right\}$
Bài 9: Cho biểu thức: $A=\left( \frac{2+x}{2-x}-\frac{4{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-4}-\frac{2-x}{2+x} \right):\left( \frac{{{x}^{2}}-3x}{2{{x}^{2}}-{{x}^{3}}} \right)$
- Tìm điều kiện xác định rồi rút gọn biểu thức A
- Tìm giá trị của x để A>0
- Tính giá trị của A trong TH $\left| x-7 \right|=4$
HD:
ĐKXĐ: $x\ne 0,\pm 2,3$
Ta có: $A=\left( \frac{2+x}{2-x}-\frac{4{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-4}-\frac{2-x}{2+x} \right):\left( \frac{{{x}^{2}}-3x}{2{{x}^{2}}-{{x}^{3}}} \right)$$=\frac{\left( 2+{{x}^{2}} \right)+4{{x}^{2}}-{{\left( 2-x \right)}^{2}}}{\left( 2-x \right)\left( 2+x \right)}.\frac{{{x}^{2}}\left( 2-x \right)}{x\left( x-3 \right)}$
$=\frac{4{{x}^{2}}+8x}{\left( 2-x \right)\left( 2+x \right)}.\frac{x\left( 2-x \right)}{x-3}=\frac{4x\left( x+2 \right)x\left( 2-x \right)}{\left( 2-x \right)\left( 2+x \right)\left( x+3 \right)}=\frac{4{{x}^{2}}}{x-3}$
b, Để $A>0<=>\frac{4{{x}^{2}}}{x-3}>0<=>x-3>0<=>x>3$
c, Khi $\left| x-7 \right|=4=>x=11$ hoặc $x=3$ (loại), Thay vào A
Bài 10: Cho biểu thức: $A=\left( \frac{4x}{2+x}+\frac{8{{x}^{2}}}{4-{{x}^{2}}} \right):\left( \frac{x-1}{{{x}^{2}}-2x}-\frac{2}{x} \right)$
- Rút gọn A
- Tìm x để A=-1
- Tìm các giá trị của x để A<0
HD:
a, ĐKXĐ: $x\ne 0,x\ne \pm 2$
$A=\left( \frac{4x}{2+x}+\frac{8{{x}^{2}}}{4-{{x}^{2}}} \right):\left( \frac{x-1}{{{x}^{2}}-2x}-\frac{2}{x} \right)=\frac{4x\left( 2-x \right)+8{{x}^{2}}}{\left( 2+x \right)\left( 2-x \right)}:\frac{x-1-2\left( x-2 \right)}{x\left( x-2 \right)}$
$=\frac{8x-4{{x}^{2}}+8{{x}^{2}}}{\left( 2+x \right)\left( 2-x \right)}:\frac{x-1-2x+4}{x\left( x-2 \right)}=\frac{8x+4{{x}^{2}}}{\left( 2+x \right)\left( 2-x \right)}:\frac{3-x}{x\left( x-2 \right)}$$=\frac{4x\left( 2+x \right)}{\left( 2+x \right)\left( 2-x \right)}.\frac{x\left( x-2 \right)}{3-x}=\frac{4{{x}^{2}}}{x-3}$
b, Để $A=-1<=>\frac{4{{x}^{2}}}{x-3}=-1<=>4{{x}^{2}}+x-3=0<=>\left( x+1 \right)\left( 4x-3 \right)=0$
c, Để $<=>\frac{4{{x}^{2}}}{x-3}<0<=>x-3<0$
Bài 11: Rút gọn biểu thức sau và tìm giá trị nguyên của x để biểu thức có giá trị nguyên:
$M=\left( \frac{{{x}^{2}}-2x}{2{{x}^{2}}+8}-\frac{2{{x}^{2}}}{8-4x+2{{x}^{2}}-{{x}^{3}}} \right)\left( 1-\frac{1}{x}-\frac{2}{{{x}^{2}}} \right)$
HD:
ĐKXĐ: $x\ne 0,x\ne 2$
$M=\left( \frac{{{x}^{2}}-2x}{2\left( {{x}^{2}}+4 \right)}+\frac{2{{x}^{2}}}{\left( {{x}^{2}}+4 \right)\left( x-2 \right)} \right).\frac{\left( {{x}^{2}}-2 \right)\left( x+1 \right)}{{{x}^{2}}}$
$M=\frac{{{x}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{2}}+4{{x}^{2}}}{2\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)}.\frac{\left( x-2 \right)\left( x+1 \right)}{{{x}^{2}}}=\frac{x\left( {{x}^{2}}-4x+4+4x \right)}{2\left( {{x}^{2}}+4 \right)\left( x-2 \right)}.\frac{\left( x-2 \right)\left( x+1 \right)}{{{x}^{2}}}$
$M=\frac{x\left( {{x}^{2}}+4 \right)}{2\left( x-2 \right)\left( {{x}^{2}}+4 \right)}.\frac{\left( x-2 \right)\left( x+1 \right)}{{{x}^{2}}}=\frac{x+1}{2x}$
Đẻ M nguyên thì 2M nguyên hay $\frac{x+1}{x}$ nguyên, Mà $\frac{x+1}{x}=1+\frac{1}{x}\in Z=>x\in \left\{ -1;1 \right\}$
Bài 12: Cho biểu thức: $P=\left( \frac{3\left( x+2 \right)}{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1}+\frac{2{{x}^{2}}-x-10}{\left( x+1 \right)\left[ {{\left( x+1 \right)}^{2}}-2x \right] } \right):\left( \frac{5}{{{x}^{2}}+1}+\frac{3}{2\left( x+1 \right)}-\frac{3}{x-1} \right).\frac{2}{x-1}$
- Rút gọn P
- Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để P có giá trị là bội của 4
HD:
a, $P\left( \frac{3\left( x+2 \right)}{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x+1}+\frac{2{{x}^{2}}-x-10}{\left( x+1 \right)\left[ {{\left( x+1 \right)}^{2}}-2x \right] } \right):\left( \frac{5}{{{x}^{2}}+1}+\frac{3}{2\left( x+1 \right)}-\frac{3}{2\left( x-1 \right)} \right).\frac{2}{x-1}$
$P=\left( \frac{3x+6}{\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)}+\frac{2{{x}^{2}}-x-10}{\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)} \right):\frac{10{{x}^{2}}-10-6{{x}^{2}}-6}{2\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+1 \right)}.\frac{2}{x-1}$
$P=\frac{8\left( {{x}^{2}}+x-2 \right)}{4\left( {{x}^{2}}-4 \right)}=\frac{2\left( x-1 \right)}{x-2}$
b, Tìm x nguyên để P có giá trị là bội của 4
ĐK $x\ne \pm 1,x\ne \pm 2$ , Để P nguyên thì $\frac{2\left( x-1 \right)}{x-2}\in Z=>\frac{2}{x-2}\in Z=>x-2\in U\left( 2 \right)=\left\{ \pm 1;\pm 2 \right\}$
Với x=3 thỏa mãn
Bài 13: Cho biểu thức: $A=\left( \frac{6x+1}{{{x}^{2}}-6x}+\frac{6x-1}{{{x}^{2}}+6x} \right).\frac{{{x}^{2}}-36}{12{{x}^{2}}-12}$Rút gọn A
HD:
ĐKXĐ: $x\ne 0,x\ne \pm 6$
Ta có: $A=\left( \frac{6x+1}{{{x}^{2}}-6x}+\frac{6x-1}{{{x}^{2}}+6x} \right).\frac{{{x}^{2}}-36}{12{{x}^{2}}-12}$$=\frac{\left( 6x+1 \right)\left( x+6 \right)+\left( 6x-1 \right)\left( x-6 \right)}{x\left( {{x}^{2}}-36 \right)}.\frac{{{x}^{2}}-36}{12\left( {{x}^{2}}+1 \right)}$
$=\frac{6{{x}^{2}}+37x+6+6{{x}^{2}}-37x+6}{x\left( {{x}^{2}}-36 \right)}.\frac{{{x}^{2}}-36}{12\left( {{x}^{2}}+1 \right)}$$=\frac{12\left( {{x}^{2}}+1 \right)}{x\left( {{x}^{2}}-36 \right)}.\frac{{{x}^{2}}-36}{12\left( {{x}^{2}}+1 \right)}=\frac{1}{x}$
Bài 14: Cho biếu thức: $A=\left( \frac{x}{{{x}^{2}}-4}+\frac{2}{2-x}+\frac{1}{x+2} \right):\left( x-2+\frac{10-{{x}^{2}}}{x+2} \right)$
- Rút gọn A
- Tính giá trị của A biết $\left| x \right|=\frac{1}{2}$
- Tìm giá trị của x để A<0
- Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên
HD:
A, Rút gọn A ta được: $A=\frac{-1}{x-2}$
c, Để $A<0<=>x>2$
d, Để $A\in Z<=>\frac{-1}{x-2}\in Z=>x\in \left\{ 1;3 \right\}$
Bài 15: Rút gọn biểu thức: $A=\left( \frac{1}{{{x}^{2}}-x}+\frac{1}{x-1} \right):\frac{x+1}{{{x}^{2}}-2x+1}$
HD:
$A=\left( \frac{1}{x\left( x-1 \right)}+\frac{1}{x-1} \right):\frac{x+1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\frac{1+x}{x\left( x-1 \right)}.\frac{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}{x+1}=\frac{x-1}{x}$
Bài 16: Tính giá trị của biểu thức: $A=\frac{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}-{{z}^{2}}+2yz}{{{x}^{2}}+xz-{{y}^{2}}-yz}:\frac{x+y-z}{x+y+z}$ , Với $x=1\frac{2}{3},y=\frac{8}{3},z=3\frac{1}{3}$
HD:
$A=\frac{\left( x+y-z \right)\left( x-y+z \right)}{\left( x-y \right)\left( x+y+z \right)}:\frac{x+y-z}{x+y+z}=\frac{x-y+z}{x-y}$ , Vì $x\ne y,x+y+z\ne 0,x+y-z\ne 0$
Thay x, y, z vào ta được: $A=-2\frac{1}{3}$
Bài 17: Tìm số tự nhiên n để $A=\frac{11{{n}^{3}}+12{{n}^{2}}+12n+20}{{{n}^{2}}+1}$ , có giá trị nguyên
