Chuyên đề Số nguyên tố, chính phương – Ôn thi HSG Toán 8

Chuyên đề Số nguyên tố, chính phương – Ôn thi HSG Toán 8

Kiến thức cần nhớ về số nguyên tố, số chính phương

Định nghĩa:

– Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên

Tính chất:

– Số chính phương chỉ có chữ số tận cùng là: 0; 1; 4; 5; 6; 9

– Khi phân tích ra thừa số nguyên tố , số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với lũy thừa chẵn

– Số chính phương thì chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 dư 1

– Số chính phương thì chia hết cho 3 hoặc chia cho 3 dư 1

– Số chính phương chia hết cho 2 thì sẽ chia hết cho 4

– Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9

– Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25

– Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16

– Số chính phương tận cùng là 1 hoặc 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là số chẵn

– Số chính phương tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2

– Số chính phương tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là số lẻ.

Bài tập về số nguyên tố, số chính phương

Dạng 1: CHỨNG MINH LÀ MỘT SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Bài 1: Cho số $A=11…11122…2225$ ( 2005 chữ số 1 và 2006 chữ số 2).

Chứng minh rằng A là số chính phương

HD:

Ta có: $9A=1\underbrace{00…00}_{2004}1\underbrace{00…00}_{2005}25=1\underbrace{00…00}_{4012}+1\underbrace{00…00}_{2007}+25$

$9A=1\underbrace{{{00…00}^{2}}}_{2006}+2.5.1\underbrace{00…00}_{2006}+{{5}^{2}}={{\left( {{10}^{2006}}+5 \right)}^{2}}$ , là số chính phương

Bài 2: Chứng minh rằng số  $C=44…4488…89$  có n số 4 và n-1 số 8, viết được dưới dạng bình phương

của 1 số tự nhiên

HD:

Đặt $\underbrace{111…11}_{n}=a=>{{10}^{n}}=9a+1$

Ta có: $\underbrace{444…44}_{n}\underbrace{88…8}_{n-1}9=\underbrace{444…44}_{n}\underbrace{888…8}_{n}+1$$=4a{{.10}^{n}}+8a+1$

$=4a\left( 9a+1 \right)+8a+1=36{{a}^{2}}+12a+1={{\left( 6a+1 \right)}^{2}}$$={{\left( \underbrace{666…6}_{n-1}7 \right)}^{2}}$

Bài 3 : Chứng minh rằng số $A=\underbrace{11…1}_{2n}+\underbrace{44…4}_{n}+1$  là số chính phương

HD :

Biến đổi $A={{\left( \frac{{{10}^{n}}+2}{3} \right)}^{2}}$ khi đó A là số chính phương

Bài 4 : Chứng minh số $B=\underbrace{11…1}_{2n}+\underbrace{11…1}_{n+1}+\underbrace{66…6}_{n}+8$  là số chính phương.

HD :

Biến đổi tổng $B={{\left( \frac{{{10}^{n}}+8}{3} \right)}^{2}}$  khi đó B là số chính phương

 

Bài 5 : Chứng minh rằng số $C=\underbrace{44…4}_{2n}+\underbrace{22…2}_{n+1}+\underbrace{88…8}_{n}+7$  là số chính phương.

HD :

Biến đổi $C={{\left( \frac{{{2.10}^{n}}+7}{3} \right)}^{2}}$  khi đó C là số chính phương

Bài 6 : Chứng minh rằng $A=224\underbrace{99…9}_{n-2}1\underbrace{00…0}_{n}9$  cũng là số chính phương

HD :

$A={{224.10}^{2n}}+{{99…9.10}^{n+2}}+{{10}^{n+1}}+9={{224.10}^{2n}}+\left( {{10}^{n-2}}-1 \right){{.10}^{n+2}}+{{10}^{n+1}}+9$

$A={{224.10}^{2n}}+{{10}^{2n}}-{{10}^{n+2}}+{{10}^{n+1}}+9={{225.10}^{2n}}-{{90.10}^{n}}+9={{\left( {{15.10}^{n}}-3 \right)}^{2}}$

Vậy A là số chính phương.

Bài 7 : Chứng minh rằng  $B=\underbrace{11…1}_{{}}\underbrace{55…5}_{{}}6$  cũng là số chính phương.

HD :

$B=\underbrace{11…1}_{n}\underbrace{55…5}_{n}+1=\underbrace{11…1}_{n}{{.10}^{n}}+5.\underbrace{11…1}_{n}+1$$B=\frac{{{10}^{n}}-1}{9}{{.10}^{n}}+5.\frac{{{10}^{n}}-1}{9}+1$

$B=\frac{{{10}^{2n}}-{{10}^{n}}+{{5.10}^{n}}-5+9}{9}={{\left( \frac{{{10}^{n}}+2}{3} \right)}^{2}}$ , Vậy B là số chính phương

Bài 8 : Cho $a=11…1$  (2008 chữ số 1) và $b=100…05$  ( 2007 chữ số 0).

Chứng minh rằng: $\sqrt{ab+1}$  là số tự nhiên.

HD:

Ta có: $a=\underbrace{11…1}_{2008}=\frac{{{10}^{2008}}-1}{9},b={{10}^{2008}}+5$

$=>ab+1=\frac{\left( {{10}^{2008}}-1 \right)\left( {{10}^{2008}}+5 \right)}{9}+1=\frac{{{\left( {{10}^{1008}} \right)}^{2}}+{{4.10}^{2008}}-5+9}{9}={{\left( \frac{{{10}^{2008}}+2}{3} \right)}^{2}}$

Vậy $\sqrt{ab+1}$  là 1 số tự nhiên

Bài 1 : Cho $m=\underbrace{111…1}_{2k},n=\underbrace{444…4}_{k}$ , Chứng minh rằng  $m+n+1$  là số chính phương.

HD:

Ta có: $m=\frac{{{10}^{2k}}-1}{9},n=\frac{{{10}^{k}}-1}{9}=>m+n+1=\frac{{{10}^{2k}}-1}{9}+4.\frac{{{10}^{k}}-1}{9}+1=\frac{{{10}^{2k}}-1+{{4.10}^{k}}-4+9}{9}$

$={{\left( \frac{{{10}^{k}}+2}{3} \right)}^{2}}$ , Vậy $m+n+1$  là số chính phương.

Bài 1: Cho số nguyên dương n và các số $A=\underbrace{444…4}_{2n}$  và $B=\underbrace{888…8}_{n}$ .

Chứng minh rằng: $A+2B+4$  là số chính phương.

HD:

Ta có: $A=\underbrace{444…..4}_{2n}=\underbrace{444……4}_{n}\underbrace{000…0}_{n}+\underbrace{444…..4}_{n}=\underbrace{444….4}_{n}.\left( {{10}^{n}}-1 \right)+\underbrace{888….8}_{n}$

$=>4.\underbrace{111….1}_{n}.\underbrace{999….9}_{n}+B=4.\underbrace{111….1}_{n}.9.\underbrace{111….1}_{n}+B={{\left( 6.\underbrace{111….1}_{n} \right)}^{2}}+B$

$=>{{\left( \frac{3}{4}.\underbrace{888….8}_{n} \right)}^{2}}+B={{\left( \frac{3}{4}B \right)}^{2}}+B$

$=>A+2B+4={{\left( \frac{3}{4}B \right)}^{2}}+B+2B+4={{\left( \frac{3}{4}B \right)}^{2}}+2.\frac{3}{4}B.2+4={{\left( \frac{3}{4}B+2 \right)}^{2}}$

 

$=>{{\left( \frac{3}{4}.\underbrace{888….8}_{n}+2 \right)}^{2}}={{\left( 3.\underbrace{222….2}_{n}+2 \right)}^{2}}={{\left( \underbrace{666….6}_{n-1}8 \right)}^{2}}$ Vậy $A+2B+4$ là số chính phương.

Bài 1: Cho: $A=111…1$ ( 2m chữ số 1);   $B=111…1$  (m + 1 chữ số 1); $C=666…6$(m chữ số 6) .

Chứng minh $A+B+C+8$  là số chính phương

HD:

Ta có: $A=111…1=\frac{{{10}^{2m}}-1}{9}$  và $B=111…1=\frac{{{10}^{m+1}}-1}{9}$  và $C=666…6=\frac{6\left( {{10}^{m}}-1 \right)}{9}$

Khi đó : $A+B+C+8=\frac{{{10}^{2m}}-1}{9}+\frac{{{10}^{m+1}}-1}{9}+\frac{6\left( {{10}^{m}}-1 \right)}{9}+8=\frac{{{10}^{2m}}+{{16.10}^{m}}+64}{9}={{\left( \frac{{{10}^{m}}+8}{3} \right)}^{2}}$

Mà ${{10}^{m}}+8\vdots 3=>{{10}^{m}}+8\in Z$.  Vậy$A+B+C+8$ là số chính phương.

 

Bài 9 : Cho dãy số : 49 ; 4489 ; 444889 ; 44448889 ; …. Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số số đứng trước nó, Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương.

HD :

Xét số tổng quát :

$\underbrace{44…4}_{n}\underbrace{88…8}_{n-1}9=\underbrace{44…4}_{n}\underbrace{88…8}_{n}+1=\underbrace{44…4}_{n}{{.10}^{n}}+\underbrace{88…8}_{n}+1$

$=4.\underbrace{11…1}_{n}{{.10}^{n}}+8.\underbrace{11…1}_{n}+1=4.\frac{{{10}^{n}}-1}{9}{{.10}^{n}}+8.\frac{{{10}^{n}}-1}{9}+1$

$=\frac{{{4.10}^{2n}}-{{4.10}^{n}}+{{8.10}^{n}}-8+9}{9}=\frac{{{4.10}^{2n}}+{{4.10}^{n}}+1}{9}$$={{\left( \frac{{{2.10}^{n}}+1}{3} \right)}^{2}}$

Mà ${{2.10}^{n}}+1$  có tổng các chữ số là 3 nên chia hết cho 3, vậy các số có dạng trên đều là số chính phương

Bài 1:  Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn: $2{{a}^{2}}+a=3{{b}^{2}}+b$

Chứng minh rằng $2a+2b+1$  là số chính phương.

HD:

Ta có: $2{{a}^{2}}+a=3{{b}^{2}}+b<=>\left( a-b \right)\left( 2a+2b+1 \right)={{b}^{2}}$        (*)

Gọi d là $UC\left( a-b;2a+2b+1 \right)$  với $d\in {{N}^{*}}$ , Thì:

$\left\{ \begin{align}& a-b\vdots d \\& 2a+2b+1\vdots d \\\end{align} \right.=>\left( a-b \right)\left( 2a+2b+1\right)\vdots {{d}^{2}}=>{{b}^{2}}\vdots {{d}^{2}}=>b\vdots d$ ,

Mà : $\left( a-b \right)\vdots d=>a\vdots d=>\left( 2a+2b \right)\vdots d$ , mà $\left( 2a+2b+1 \right)\vdots d=>1\vdots d=>d=1$

Do đó : $\left( a-b,2a+2b+1 \right)=1$ , Từ  (*)  ta được : $a-b,2a+2b+1$ là số chính phương

Vậy $2a+2b+1$  là số chính phương.

Bài 1:  Cho x, y là các số nguyên thỏa mãn : $2{{x}^{2}}+x=3{{y}^{2}}+y$

Chứng minh : $x-y;2x+2y+1;3x+3y+1$ đều là các số chính phương.

Bài 1: Cho n là số nguyên dương và m là ước nguyên dương của $2{{n}^{2}}$ .

CMR :${{n}^{2}}+m$ không là số chính phương.

HD:

Giả sử: ${{n}^{2}}+m$  là số chính phương. Đặt: ${{n}^{2}}+m={{k}^{2}}\left( k\in N \right)$    (1)

Theo bài ra ta có: $2{{n}^{2}}=mp\left( p\in N \right)=>m=\frac{2{{n}^{2}}}{p}$   Thay vào (1) ta được :

${{n}^{2}}+\frac{2{{n}^{2}}}{p}={{k}^{2}}=>{{n}^{2}}{{p}^{2}}+2p{{n}^{2}}={{p}^{2}}{{k}^{2}}=>{{n}^{2}}\left( {{p}^{2}}+2p \right)={{\left( pk \right)}^{2}}$

Do ${{n}^{2}},{{\left( pk \right)}^{2}}$  là các số chính phương, nên ${{p}^{2}}+2p$  là số chính phương.

Mặt khác: ${{p}^{2}}<{{p}^{2}}+2p<{{\left( p+1 \right)}^{2}}=>{{p}^{2}}+2p$  không là số chính phương (Mâu thuẫn với giả sử)

Vậy ${{n}^{2}}+m$  không là số chính phương.

Bài 1: Chứng minh: $A={{1}^{3}}+{{2}^{3}}+…+{{100}^{3}}$là số chính phương

Bài 10 : Chứng minh rằng : $S=1.2.3+2.3.4+3.4.5+…+k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)$  thì $4S+1$  là số chính phương.

HD :

Ta có : $4S=1.2.3\left( 4-0 \right)+2.3.4\left( 5-1 \right)+…+k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left[ \left( k+3 \right)-\left( k-1 \right) \right] $

$4S=\left( 1.2.3.4-0.1.2.3 \right)+\left( 2.3.4.5-1.2.3.4 \right)+…+\left[ k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( k+3 \right)-\left( k-1 \right)k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right) \right] $

$4S=k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( k+3 \right)$

$=>4S+1=k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)\left( k+3 \right)+1$  là tích 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 nên $4S+1$  là số chính phương.

Bài 11 : Chứng minh rằng tích của 4 số nguyên dương liên tiếp không thể là một số chính phương.

HD:

Giả sử có 4 số nguyên dương liên tiếp là: $n,n+1,n+2,n+3$

Xét tích: $P=n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)\left( n+4 \right)=\left( {{n}^{2}}+3n \right)\left( {{n}^{2}}+3n+2 \right)={{\left( {{n}^{2}}+3n \right)}^{2}}+2\left( {{n}^{2}}+3n \right)$

Dễ dàng nhận thấy: ${{\left( {{n}^{2}}+3n \right)}^{2}}<P<{{\left( {{n}^{2}}+3n+1 \right)}^{2}}$   Vậy P không thể là số chính phương.

Read:   Chuyên đề Tứ giác - Ôn thi HSG Toán 8

Bài 12 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì :

$A=\left( x+y \right)\left( x+2y \right)\left( x+3y \right)\left( x+4y \right)+{{y}^{4}}$  là số chính phương.

HD :

Ta có : $A=\left( x+y \right)\left( x+2y \right)\left( x+3y \right)\left( x+4y \right)+{{y}^{4}}=\left( {{x}^{2}}+5xy+4{{y}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+5xy+6{{y}^{2}} \right)+{{y}^{4}}$

Đặt ${{x}^{2}}+5xy+5{{y}^{2}}=t\left( t\in Z \right)$  Khi đó :

$A=\left( t-{{y}^{2}} \right)\left( t+{{y}^{2}} \right)+{{y}^{4}}={{t}^{2}}-{{y}^{4}}+{{y}^{4}}={{t}^{2}}={{\left( {{x}^{2}}+5xy+{{y}^{2}} \right)}^{2}}$ . Vậy A là số chính phương.

Bài 13 : Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 luôn là số chính phương.

HD :

Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là : $n,n+1,n+2,n+3\left( n\in N \right)$ . Ta có :

$A=n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)\left( n+3 \right)+1=n\left( n+3 \right)\left( n+2 \right)\left( n+1 \right)+1$

$A=\left( {{n}^{2}}+3n \right)\left( {{n}^{2}}+3n+2 \right)+1$ , Đặt ${{n}^{2}}+3n=t\left( t\in N \right)=A=t\left( t+2 \right)+1={{\left( t+1 \right)}^{2}}$

Vậy tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là số chính phương.

Bài 14 : Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là 1 số chính

phương.

HD :

Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là $n-2;n-1;n;n+1;n+2\left( n\in N,n\ge 2 \right)$

Xét $A={{\left( n-2 \right)}^{2}}+{{\left( n-1 \right)}^{2}}+{{n}^{2}}+{{\left( n+1 \right)}^{2}}+{{\left( n+2 \right)}^{2}}=5\left( {{n}^{2}}+2 \right)$

Nhận thấy $A\vdots 5$  nhưng không chia hết cho 25 vì ${{n}^{2}}$  không có tận cùng là 3 hoặc 8

Bài 1: Chứng minh rằng:$\forall n\in N,n>1$  thì $A={{n}^{6}}-{{n}^{4}}+2{{n}^{3}}+2{{n}^{2}}$  không thể là số chính phương.

HD:

Giả sử: ${{n}^{6}}-{{n}^{4}}+2{{n}^{3}}+2{{n}^{2}}={{k}^{2}},\left( k\in Z \right)$

$<=>{{n}^{4}}\left( {{n}^{2}}-1 \right)+2{{n}^{2}}\left( n+1 \right)={{k}^{2}}<=>\left( n+1 \right){{n}^{2}}\left( {{n}^{3}}-{{n}^{2}}+2 \right)={{k}^{2}}<=>{{\left( n+1 \right)}^{2}}{{n}^{2}}\left[ {{\left( n-1 \right)}^{2}}+1 \right] ={{k}^{2}}$        $=>{{\left( n-1 \right)}^{2}}+1$  phải là số chính phương.

Ta lại có: ${{\left( n-1 \right)}^{2}}<{{\left( n-1 \right)}^{2}}+1={{n}^{2}}+2\left( 1-n \right)<{{n}^{2}}$ , Do $n>1=>{{\left( n-1 \right)}^{2}}+1$  không phải là số chính phương.

Vậy $A={{n}^{6}}-{{n}^{4}}+2{{n}^{3}}+2{{n}^{2}}$  không thể là số chính phương.

Bài 16 : Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là một số chính phương

HD :

Gọi $a=2k+1,b=2m+1\left( k,m\in N \right)$

Xét ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{\left( 2k+1 \right)}^{2}}+{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}=4{{k}^{2}}+4k+1+4{{m}^{2}}+4m+1$

$=4\left( {{k}^{2}}+k+{{m}^{2}}+m \right)+2=4t+2\left( t\in N \right)$

Như vậy ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$  chia cho 4 dư 2, mà ta biết số chính phương chia 4 không có số dư là 2,

Vậy ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$  không là 1 số chính phương

Bài 17 : Chứng minh rằng: $A={{n}^{4}}+2{{n}^{3}}+2{{n}^{2}}+2n+1$ , không phải là số chính phương

HD:

Ta có: $A={{n}^{2}}\left( {{n}^{2}}+2n+1 \right)+\left( {{n}^{2}}+2n+1 \right)=\left( {{n}^{2}}+1 \right){{\left( n+1 \right)}^{2}}$

Vì ${{n}^{2}}+1$  không phải là số chính phương nên A không thể là số chính phương

 

Bài 18 : Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không thể là các số

chính phương

HD :

Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên $p\vdots 2$  và p không chia hết cho 4 (1)

Giả sử $p+1$  là số chính phương. Đặt $p+1={{m}^{2}}\left( m\in N \right)$

Vì p chẵn nên p+1 lẻ=>${{m}^{2}}$ lẻ => m lẻ

Đặt $m=2k+1\left( k\in N \right)=>{{m}^{2}}=4{{k}^{2}}+4k+1=>p+1=4{{k}^{2}}+4k+1$

$=>p=4{{k}^{2}}+4k=4k\left( k+1 \right)\vdots 4$  mâu thuẫn với ( 1)

Vậy p+1 không thể là số chính phương

Lại có : $p=2.3.5.7….$  là 1 số chia hết cho 3 =>$p-1=3k+2\left( k\in N \right)$ ( Vô lý)

Vì không có số chính phương nào chia 3 dư 2 => p-1 không là số chính phương

Vậy nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không thể là số chính phương

Bài 19 : Cho $N=1.3.5.7….2019$ . Chứng minh rằng trong ba số nguyên liên tiếp $2N-1;2N;2N+1$

không có số nào là số chính phương.

HD :

Ta có : $2N-1=2.1.3.5.7…2019-1$

Thấy $2N\vdots 3=>2n-1=3k+2\left( k\in N \right)$ =>$2N-1$  không là số chính phương

Và $2N=2.1.3.5.7…2019$ là số chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên 2N không là số chính phương

Và $2N+1=2.1.3.5….2019+1$  lẻ nên không chia hết cho 4

$2N\not{\vdots }4=>2N+1$ không chia cho 4 dư 1=> 2N+1 không là số chính phương.

Bài 20 : Chứng minh rằng trong ba số nguyên liên tiếp $2N-1,2N,2N+1$  không có số nào là số chính

phương, trong đó : $N=1.3.5…1999$

HD :

Ta thấy : $2N\vdots 2,2N\not{\vdots }4=>2N$  không là số chính phương

$N\vdots 3=>2N-1\equiv 2\left( \bmod 3 \right)=>2N-1$  không là số chính phương

Giả sử : $2N+1={{k}^{2}}=>k$  lẻ $=>2N={{k}^{2}}-1=\left( k-1 \right)\left( k+1 \right)\vdots 4=>N\vdots 2$  Vô lý

Vậy ta có đpcm

Bài 21 : Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị là 6,

Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là 1 số chính phương.

HD :

Theo tính chất : ‘ Một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là 1 số lẻ, vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là : 1 ;3 ;5 ;7 ;9 khi đó tổng của chúng là :

1+3+5+7+9=25 là 1 số chính phương

Bài 22 : Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn : $ab+bc+ca=1$

Chứng minh rằng: $A=\left( 1+{{a}^{2}} \right)\left( 1+{{b}^{2}} \right)\left( 1+{{c}^{2}} \right)$  là số chính phương

HD:

Ta có: $ab+bc+ca=1$

$=>1+{{a}^{2}}=ab+bc+ca+{{a}^{2}}=a\left( a+b \right)+c\left( a+b \right)=\left( a+b \right)\left( a+c \right)$

Tương tự : $1+{{b}^{2}}=\left( a+b \right)\left( b+c \right)$  và $1+{{c}^{2}}=\left( a+c \right)\left( b+c \right)$

Khi đó : $\left( 1+{{a}^{2}} \right)\left( 1+{{b}^{2}} \right)\left( 1+{{c}^{2}} \right)={{\left[ \left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right) \right] }^{2}}$ ,

Vì a, b, c là các số nguyên nên là số chính phương

Bài 23 : Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn: $a+b+c=0$, Chứng minh rằng $M=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}$  là bình phương của 1 số hữu tỉ

HD:

Ta có:

$\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}={{\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)}^{2}}-2\left( \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac} \right)={{\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)}^{2}}-2.\frac{\left( a+b+c \right)}{abc}={{\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)}^{2}}$

Bài 1: Cho a,b,c là ba số hữu tỉ thỏa mãn: abc = 1 và $\frac{a}{{{b}^{2}}}+\frac{b}{{{c}^{2}}}+\frac{c}{{{a}^{2}}}=\frac{{{b}^{2}}}{a}+\frac{{{c}^{2}}}{b}+\frac{{{a}^{2}}}{c}$.

Chứng minh rằng một trong ba số a,b,c là bình phương của một số hữu tỉ.

Bài 1: Cho đa thức bậc ba $f\left( x \right)$  với hệ số ${{x}^{3}}$  là 1 số nguyên dương và $f\left( 5 \right)-f\left( 3 \right)=2010$

Chứng minh rằng: $f\left( 7 \right)-f\left( 1 \right)$  là hợp số

HD:

Ta có: $f\left( x \right)=a.{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\left( a\in {{Z}_{+}} \right)$ ,

Theo đề bài ta có:

$2010=f\left( 5 \right)-f\left( 3 \right)=\left( {{5}^{3}}-{{3}^{3}} \right)a+\left( {{5}^{2}}-{{3}^{2}} \right)b+\left( 5-3 \right)c=98a+16b+2c=>16b+2c=2010-98a$       Và : $f\left( 7 \right)-f\left( 1 \right)=\left( {{7}^{3}}-1 \right)a+\left( {{7}^{2}}-1 \right)b+\left( 7-1 \right)c=342a+3\left( 16b+2c \right)=342a+3\left( 2010-98a \right)$

$=48a+6030=3\left( 16a+2010 \right)\vdots 3$  . Vì a nguyên dương nên: $16a+2010>1$ ,

Vậy $f\left( 7 \right)-f\left( 1 \right)$   là hợp số.

 

Bài 1 : Chứng minh rằng : Các số a và b đều là tổng của hai số chính phương thì tích a.b cũng là tổng của hai số chính phương.

HD :

Giả sử: $a={{m}^{2}}+{{n}^{2}}$  và $b={{p}^{2}}+{{q}^{2}},\left( m,n,p,q\in Z \right)$

Read:   Chuyên đề: GTNN - GTLN (Max - Min) Ôn thi HSG Toán 8

Ta có:

$a.b=\left( {{m}^{2}}+{{n}^{2}} \right)\left( {{p}^{2}}+{{q}^{2}} \right)={{m}^{2}}{{p}^{2}}+{{m}^{2}}{{q}^{2}}+{{n}^{2}}{{p}^{2}}+{{n}^{2}}{{q}^{2}}={{m}^{2}}{{p}^{2}}+{{n}^{2}}{{q}^{2}}+2mnpq+{{m}^{2}}{{q}^{2}}+{{n}^{2}}{{p}^{2}}-2mnpq$      $={{\left( mp+nq \right)}^{2}}+{{\left( mq-np \right)}^{2}}$ , ĐPCM.

Bài 1: Cho $A=\left( {{10}^{n}}+{{10}^{n-1}}+\,{{10}^{n-2}}+…..+10+1 \right)\left( {{10}^{n+1}}+5 \right)+1$.

Chứng minh rằng A là số chính phương nhưng không là lập phương của một số tự nhiên.

 

Bài 5:Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng tồn tại một số có dạng 111…11 mà chia hết cho p.

Bài 1: Với $n\le 2008$là số nguyên dương , đặt: ${{S}_{n}}={{a}^{n}}+{{b}^{n}}$ , Với $a=\frac{3+\sqrt{5}}{2};b=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$

Chứng minh: ${{S}_{n}}-2={{\left[ {{\left( \frac{\sqrt{5}+1}{2} \right)}^{n}}-{{\left( \frac{\sqrt{5}-1}{2} \right)}^{n}} \right] }^{2}}$. Tìm số n để ${{S}_{n}}-2$  là số chính phương.

Bài 1: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng 2n + 1 và 3n + 1 là các số chính phương thì 5n + 3 không phải là số nguyên tố.

Bài 1: Cho a, b, c  nguyên tố khác 0, a $\ne $c thỏa mãn: $\frac{a}{c}=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{{{c}^{2}}+{{b}^{2}}}$

Chứng minh rằng : ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$  không thể là một số nguyên tố

Bài 1: Cho b là số nguyên tố khác 3. Số $A=3n+1+2015{{b}^{2}}$(n là số tự nhiên) là số nguyên tố hay  hợp số.

 

Bài 1: Xét những số được tạo thành bằng cách viết 2n chữ số 0 xen kẽ với 2n + 1 chữ số 1

có dạng như sau:10101; 101010101; …..; 1010……101; ….. (n nguyên dương)

Chứng minh các số trên đều là hợp số.

 

Bài 1:  Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng ${{n}^{4}}+{{4}^{n}}$ là hợp số.

Bài 1: Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng n2 + 2018 là hợp số.

 

 

Bài 1: Giả sử phương trình bậc hai ${{x}^{2}}+\text{ax}+b+1=0$ có hai nghiệm nguyên dương.

Chứng minh rằng ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ là hợp số

 

Bài 1: Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thoả mãn ab = cd. Chứng minh rằng số: $A={{a}^{k}}+{{b}^{k}}+{{c}^{k}}+{{d}^{k}}$  là hợp số với mọi số nguyên dương  k.

 

Bài 1: Chứng minh rằng: Nếu n là một số nguyên dương bất kỳ thì khi viết ${{12}^{4n}}$  dưới dạng thập phân thì ta luôn có chữ số hàng chục là một số lẻ.

 

Bài 1: Chứng minh rằng nếu số nguyên k lớn hơn 1 thoả mãn${{k}^{2}}+4$và${{k}^{2}}+16$là các số nguyên tố thì k chia hết cho 5.

 

Bài 1:Chứng minh rằng: ${{2}^{2p}}+{{2}^{2q}}$không thể là số chính phương, với mọi p, q là các số nguyên không âm

 

Bài 1:Giả sử các số hữu tỉ x, y thỏa mãn phương trình: ${{x}^{5}}+{{y}^{5}}=2{{x}^{2}}{{y}^{2}}$ .

Chứng minh $1-xy$ là bình phương của một số hữu tỉ.

Bài 1: Cho x, y, z là các số nguyên thỏa mãn: $\left( x-y \right)\left( y-z \right)\left( z-x \right)=x+y+z$

Chứng minh $x+y+z\vdots 27$

Bài 1:Chứng minh rằng nếu ba số  a, a + k và a + 2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3, thì k chia hết cho 6

Bài 1: Chứng minh số ${{\left( 2+\sqrt{3} \right)}^{2016}}\,+\,{{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{2016}}\,$là số chẵn.

 

Bài 1:  Cho ${{2}^{m}}-1$  là số nguyên tố . Chứng minh rằng m cũng là số nguyên tố .

 

Bài 1:Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thoả mãn :   a2 + c2 = b2 + d2.

Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số .

 

Bài 1:Cho a + 12a + 1 (a Î N) đồng thời là hai số chính phương.

Chứng minh rằng a chia hết cho 24.

 

Bài 1:Cho hai số A = (20182017 + 20172017)2018 ;    B =  (20182018 + 20172018)2017

Chứng minh rằng: A > B.

Dạng 2 : TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

 

Bài 1 : Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng $2n+1$  và $3n+1$  đều là các số chính phương.

HD :

Ta có : $10\le n\le 99=>21\le 2n+1\le 199$ , tìm các số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được :

25 ;49 ;81 ;121 ;169 ứng với n bằng 12 ;24 ;40 ;60 ;84

Thay n vào $3n+1$  ta được các giá trị lần lượt là : 37 ; 73 ; 121 ; 181 ; 153

Và thấy chỉ có 121 là số chính phương, vậy n=40

Bài 2 : Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n+26 và n-11 đều là lập phương của 1 số nguyên dương.

HD:

Giả sử: $\left\{ \begin{align}& n+26={{a}^{3}}(1) \\& n-11={{b}^{3}}(2) \\\end{align} \right.$  với  $a,b\in {{N}^{*}}$

Lấy (1) –(2) theo vế ta được: $37={{a}^{3}}-{{b}^{3}}=\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)=37=1.37$

Mà $a>b$  và $a-b<{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}$  nên ta có:

$\left\{ \matrix{
a – b = 1 \hfill \cr
{a^2} + ab + {b^2} = 37 \hfill \cr} \right. < = > \left\{ \matrix{
a = b + 1 \hfill \cr
{\left( {b + 1} \right)^2} + b\left( {b + 1} \right) + {b^2} = 37 \hfill \cr} \right. = > b = 3 = > n = 38$

Bài 1:  Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho $n+2015$ và $n+2199$ đều là các số chính phương.

HD:

Giả sử a và b là các số tự nhiên sao cho: $n+2015={{a}^{2}},n+2199={{b}^{2}}$

$=>\left( b-a \right)\left( b+a \right)=184={{2}^{3}}.23$  Vì $b-a,b+a$là hai số có cùng tính chẵn lẻ và $b-a<b+a$ Nên:

TH1:$\left\{ \matrix{
b – a = 2 \hfill \cr
b + a = 92 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = 45 \hfill \cr
b = 47 \hfill \cr} \right. = > n = 10$
hoặc:

$\left\{ \matrix{
b – a = 4 \hfill \cr
b + a = 46 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = 21 \hfill \cr
b = 25 \hfill \cr} \right. = > n = – 1574 < 0$ (loại)

Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho n + 12 và n – 11 đều là số chính phương.

HD:

Giả sử $n+12={{a}^{2}}$  và $n-11={{b}^{2}},\left( a,b\in N,a>b \right)$

Suy ra: ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=n+12-n+11=23=>\left( a+b \right)\left( a-b \right)=23.1$, Vì $a+b>a-b>0$

Khi đó:
$\left\{ \matrix{
a + b = 23 \hfill \cr
a – b = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = 12 \hfill \cr
b = 11 \hfill \cr} \right. = > n = 132$

Bài 4 : Tìm số tự nhiên n để : $n+18$  và $n-41$  là hai số chính phương.

Bài 1 : Tìm số tự nhiên n sao cho: n + 24 và n – 65 là hai số chính phương

Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên n dương sao cho: ${{2}^{n}}-15$ là bình phương của số tự nhiên.

Bài 1: Có hay không có số tự nhiên n để ${{n}^{2}}+2018$  là số chính phương

Bài 1: Có hay không có số tự nhiên n để n2 + 2010 là số chính phương.

Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên n dương sao cho 2n – 15 là bình phương của số tự nhiên.

Bài 1: Tìm số tự nhiên n sao cho $A={{n}^{2}}+n+6$ là số chính phương.

HD:

Ta có: $A={{n}^{2}}+n+6$là số chính phương nên A có dạng : $A={{n}^{2}}+n+6={{k}^{2}},\left( k\in {{N}^{*}} \right)$

$<=>4{{n}^{2}}+4n+24=4{{k}^{2}}<=>{{\left( 2k \right)}^{2}}-{{\left( 2n+1 \right)}^{2}}=23<=>\left( 2k+2n+1 \right)\left( 2k-2n-1 \right)=23$

$<=>\left\{ \begin{align}& 2k+2n+1=23 \\& 2k-2n-1=1 \\\end{align} \right.$ , Vì $2k+2n+1>2k-2n-1$$<=>\left\{ \begin{align}& k=6 \\& n=5 \\\end{align} \right.$  .

Read:   Chuyên đề Tính giá trị của biểu thức - Ôn thi HSG Toán 8

Vậy với $n=5$  thì A là số chính phương.

Bài 1:  Tìm các số nguyên n sao cho B = n2 – n + 13 là số chính phương.

Bài 1: Tìm số tự nhiên a sao cho : $A={{a}^{2}}+10a+136$có giá trị là số chính phương

Bài 1:  Tìm số tự nhiên n sao cho ${{n}^{2}}-18n-10$ là một số chính phương.

Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên x sao cho giá trị của biểu thức ${{x}^{2}}+x+6$  là một số chính phương

Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên n sau cho: ${{n}^{2}}-14n-256$ là số chính phương.

Bài 1:Tìm tất cả các số nguyên dương n để A = 29 + 213 + 2n là số chính phương

Bài 1:  Tìm số tự nhiên n sao cho: ${{2}^{8}}+{{2}^{11}}+{{2}^{n}}$ là số chính phương?

Bài 1:  Tìm số nguyên dương n lớn nhất để $A={{4}^{27}}+{{4}^{2016}}+{{4}^{n}}$ là số chính phương

Bài 1:  Tìm tất cả các số nguyên dương n để : $A={{2}^{9}}+{{2}^{13}}+{{2}^{n}}$ là số chính phương

Bài 3 : Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m ; n) sao cho $2m+1\vdots n$  và $2n+1\vdots m$

HD :

Ta có : $\left\{ \begin{align}& 2m+1\vdots n \\& 2n+1\vdots m \\\end{align} \right.=>m,n$  lẻ. Giả sử : $n\le m=>2n+1\le 3m$

TH1 : $2n+1=m$  do $2m+1=2\left( 2n+1 \right)+1\vdots n=>3\vdots n=>\left[ \begin{align}& n=1,m=3 \\& n=3,m=7 \\\end{align} \right.$

TH2 : $2n+1=3m$  do $3m=2n+1\le 2m+1=>m=1=>n=1$

Vậy có 5 cặp số nguyên dương tìm được : $\left( 1;1 \right),\left( 1;3 \right),\left( 3;7 \right),\left( 3;1 \right),\left( 7;3 \right)$

Bài 4 : Tìm số tự nhiên n sao cho ${{n}^{2}}+2n+12$  là số chính phương

HD:

Đặt ${{n}^{2}}+2n+12={{k}^{2}}\left( k\in N \right)=>\left( {{n}^{2}}+2n+1 \right)+11={{k}^{2}}=>{{k}^{2}}-{{\left( n+1 \right)}^{2}}=11$

$<=>\left( k+n+1 \right)\left( k-n-1 \right)=11$

Nhận xét: $k+n+1>k-n-1$  nên ta có các TH sau:

TH1:

$\left\{ \matrix{
k + n + 1 = 11 \hfill \cr
k – n – 1 = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
k = 6 \hfill \cr
n = 4 \hfill \cr} \right.$   Vậy số tự nhiên cần tìm là 4

Bài 5: Tìm số tự nhiên n sao cho: $n\left( n+3 \right)$  là số chính phương.

HD:

Đặt $n\left( n+3 \right)={{a}^{2}}\left( a\in N \right)=>{{n}^{2}}+3n={{a}^{2}}<=>4{{n}^{2}}+12n=4{{a}^{2}}$$<=>\left( 4{{n}^{2}}+12n+9 \right)-9=4{{a}^{2}}$

$<=>{{\left( 2n+3 \right)}^{2}}-4{{a}^{2}}=9<=>\left( 2n+3+2a \right)\left( 2n+3-2a \right)=9$

Nhận xét: $2n+3+2a>2n+3-2a$  và chúng là các số dương nên ta có:

$\left\{ \matrix{
2n + 3 + 2a = 9 \hfill \cr
2n + 3 – 2a = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
n = 1 \hfill \cr
a = 2 \hfill \cr} \right.$

Bài 6 : Tìm số tự nhiên n sao cho 13n +3 là số chính phương.

HD:

Đặt $13n+3={{y}^{2}}\left( y\in N \right)=>13\left( n-1 \right)={{y}^{2}}-16<=>13\left( n-1 \right)=\left( y+4 \right)\left( y-4 \right)$

$=>\left( y-4 \right)\left( y+4 \right)\vdots 13$  mà 13 là số nguyên tố nên $y+4\vdots 13$  hoặc $y-4\vdots 13$ =>$y=13k\pm 4\left( k\in N \right)$

Khi đó: $13\left( n-1 \right)={{\left( 13k\pm 4 \right)}^{2}}-16=13k\left( 13k\pm 8 \right)=>n=13{{k}^{2}}\pm 8k+1$

Vậy với $n=13{{k}^{2}}\pm 8k+1\left( k\in N \right)$  thì 13n+3 là số chính phương

Bài 7 : Tìm số tự nhiên n sao cho ${{n}^{2}}+n+1589$  là số chính phương.

HD:

Đặt ${{n}^{2}}+n+1589={{m}^{2}}\left( m\in N \right)=>{{\left( 4{{n}^{2}}+1 \right)}^{2}}+6355=4{{m}^{2}}$

$<=>\left( 2m+2n+1 \right)\left( 2m-2n-1 \right)=6355=6355.1=1271.5=205.31=155.41$

Nhận thấy $2m+2n+1>2m-2n-1>0$  và chúng là những số lẻ nên ta có các TH

Xét các Th ta có các giá trị của n là: 1588; 316; 43; 28

Bài 8 : Tìm a để ${{a}^{2}}+a+43$  là số chính phương

HD:

Làm tương tự như trên ta có: $a=2;a=42;a=13$

Bài 9 : Tìm a để ${{a}^{2}}+81$  là số chính phương

HD:

Làm tương tự  ta có $a=0;a=12;a=40$

Bài 10 : Tìm a để ${{a}^{2}}+31a+1984$  là số chính phương

HD :

Làm tương tự như các bài trên ta có :

$a=12;a=33;a=48;a=97;a=176;a=332;a=565;a=1728$

Bài 11 : Tìm số tự nhiên n để : ${{n}^{2}}+2004$  là số chính phương

HD :

Làm tương tự như trên ta có : $n=500;n=164$

Bài 12 : Tìm số tự nhiên n sao cho : $\left( 23-n \right)\left( n-3 \right)$  là số chính phương.

HD :

Làm tương tự như trên ta có : $n=3;n=5;n=7;n=13;n=19;n=21;n=23$

Bài 13 : Tìm số tự nhiên n sao cho ${{n}^{2}}+4n+97$  là số chính phương

Bài 14 : Tìm số tự nhiên n để ${{2}^{n}}+15$  là số chính phương

Bài 15 : Tìm số tự nhiên n để ${{n}^{2}}+2006$  là số chính phương

HD :

Đặt ${{n}^{2}}+2006={{m}^{2}}\left( m\in N \right)=>{{m}^{2}}-{{n}^{2}}=2006<=>\left( m+n \right)\left( m-n \right)=2006$

Như vậy trong hai số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn       (1)

Mặt khác : $m+n+m-n=2m$ => 2 số m+n và m-n cùng tính chẵn lẻ     (2)

Như vậy m+n và m-n là hai số chẵn=>$\left( m+n \right)\left( m-n \right)\vdots 4$  nhưng 2006 không chia hết cho 4

Dẫn đến mâu thuẫn, vậy không có số tự nhiên n nào thỏa mãn

Bài 16 : Tìm tất cả các số tự nhiên n để : ${{2}^{n}}+15$  là số chính phương

HD :

Đặt ${{2}^{n}}+15={{k}^{2}}$ , Vì ${{2}^{n}}\not{\vdots }3,15\vdots 3=>{{k}^{2}}\not{\vdots }3=>{{k}^{2}}$  chia 3 dư 1

${{2}^{n}}$ chia 3 dư 1=> n chẵn

TH1: Nếu n=0=>${{2}^{n}}={{4}^{2}}$

TH2: Nếu $n\ge 2=>{{2}^{n}}\equiv 0\left( \bmod 4 \right)=>{{2}^{n}}+15\equiv 3\left( \bmod 4 \right)=>{{k}^{2}}\equiv 3\left( mod4 \right)$  vô lý

Vì  số chính phương chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 1

Vậy n=0 là số cần tìm

Bài 17 : Tìm tất các các số nguyên n để : ${{n}^{4}}+2{{n}^{3}}+2{{n}^{2}}+n+7$  là số chính phương

HD :

Đặt ${{y}^{2}}={{n}^{4}}+2{{n}^{3}}+2{{n}^{2}}+n+7={{\left( {{n}^{2}}+n+1 \right)}^{2}}-\left( {{n}^{2}}+n+6 \right)$

$=>{{y}^{2}}={{\left( {{n}^{2}}+n \right)}^{2}}+{{\left( n+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+6.\frac{3}{4}$  hoặc : ${{y}^{2}}={{\left( {{n}^{2}}+n+2 \right)}^{2}}-3\left( {{n}^{2}}+n-1 \right)$

Khi $n=0$  hoặc $n=-1=>{{y}^{2}}=7$  không phải là số chính phương

Với $n\ne 0,-1=>{{n}^{2}}+n-1=\left( n-1 \right)\left( n+1 \right)+n$  và $-3\left( {{n}^{2}}+n-1 \right)<0$

Ta có : ${{\left( {{n}^{2}}+n \right)}^{2}}<{{y}^{2}}<{{\left( {{n}^{2}}+n+2 \right)}^{2}}=>{{y}^{2}}={{\left( {{n}^{2}}+n+1 \right)}^{2}}$ , lúc đó : ${{n}^{2}}+n-6=0=>\left[ \begin{align}& n=2 \\& n=-3 \\\end{align} \right.$

Bài 18 : Tìm các số nguyên dương n sao cho số ${{S}_{n}}=1.2.3…7+n\left( n+1 \right)…\left( n+7 \right)$  có thể viết dưới dạng tổng các bình phương của hai số nguyên dương.

HD :

Giả sử : ${{S}_{n}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}$  với  $a,b\in {{N}^{*}}$

Dễ thấy: $n\left( n+1 \right)…\left( n+7 \right)\vdots 64=>{{S}_{n}}\vdots 4=>a,b$  chẵn$=>a=2{{a}_{1}},b=2{{b}_{1}}$

Đặt $n\left( n+1 \right)…\left( n+7 \right)=64k$ . có:

$a_{1}^{2}+b_{1}^{2}=2.3.5.6.7+16k\vdots 4=>{{a}_{1}}=2{{a}_{2}},{{b}_{1}}=2{{b}_{2}}$  thay vào ta lại có tiếp:

$a_{2}^{2}+b_{2}^{2}=9.5.7+4k\equiv 3\left( \bmod 4 \right)$ , Vô lý vậy không tồn tại n thỏa mãn.

Bài 19 : Tìm tât cả các số tự nhiên n sao cho ${{2}^{8}}+{{2}^{11}}+{{2}^{n}}$  là số chính phương.

HD:

Gỉả sử: ${{2}^{8}}+{{2}^{11}}+{{2}^{n}}={{a}^{2}}\left( a\in N \right)=>{{2}^{n}}={{a}^{2}}-{{48}^{2}}=\left( a-48 \right)\left( a+48 \right)$

${{2}^{p}}{{.2}^{q}}=\left( a+48 \right)\left( a-48 \right)$  với $\left( p,q\in N \right),p+q=n,\left( p>q \right)$  khi đó ta có:

$\left\{ \begin{align}& a+48={{2}^{p}} \\& a-48={{2}^{q}} \\\end{align} \right.=>{{2}^{p}}-{{2}^{q}}=96<=>{{2}^{q}}\left( {{2}^{p-q}}-1 \right)={{2}^{5.3}}$$=>q=5$  và $p-q=2=>p=7=>n=12$

Thử lại ta thấy ${{2}^{8}}+{{2}^{11}}+{{2}^{n}}={{80}^{2}}$

Bài 20 : Tìm các số tự nhiên n để ${{\left( {{n}^{2}}-8 \right)}^{2}}+36$  là số nguyên tố

HD:

Ta có: ${{\left( {{n}^{2}}-8 \right)}^{2}}+36={{n}^{4}}-16{{n}^{2}}+64+36={{n}^{4}}+100-16{{n}^{2}}$

$={{\left( {{n}^{2}}+10 \right)}^{2}}-36{{n}^{2}}=\left( {{n}^{2}}+10-6n \right)\left( {{n}^{2}}+10+6n \right)$

Để ${{\left( {{n}^{2}}-8 \right)}^{2}}+36$  là số nguyên tố thì ${{n}^{2}}+10-6n=1<=>{{\left( n-3 \right)}^{2}}=0<=>n=3$

Thử lại với $n=3=>{{\left( {{n}^{2}}-8 \right)}^{2}}+36=37$  là số nguyên tố

Bài 21 : Tìm tất cả các số nguyên tố có dạng $p={{n}^{n}}+1$ . trong đó $n\in {{N}^{*}}$ , biết p có không nhiều hơn 19 chữ số.

HD:

Ta thấy n=1 thỏa mãn:

Với $n>1$  ta có:

TH1: Nếu n lẻ thì: $\left( {{n}^{n}}+1 \right)\vdots \left( n+1 \right)$  và $\left( {{n}^{n}}+1 \right)>n+1$

 

Hình đại diện của người dùng

admin

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *