Chuyên đề: Tỉ số lượng giác của góc nhọn – Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Chuyên đề: Tỉ số lượng giác của góc nhọn – Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

1. Chứng minh rằng: ${{\cos }^{4}}\alpha \left( 2{{\cos }^{2}}\alpha -3 \right)+{{\sin }^{4}}\alpha \left( 2{{\sin }^{2}}\alpha -3 \right)=-1,$ ($\alpha $ là góc nhọn).
2. Chứng minh đẳng thức: $\frac{1+{{\sin }^{2}}\alpha }{1-{{\sin }^{2}}\alpha }=1+2{{\tan }^{2}}\alpha $; (α là góc nhọn).
3. Cho $\tan \alpha =2$, ($\alpha $là góc nhọn). Tính giá trị biểu thức$A=\cot \alpha +\frac{\sin \alpha }{\sin \alpha +\cos \alpha }$.
4. Cho $\tan \alpha =2-\sqrt{3}$($\alpha $là góc nhọn). Tính giá trị biểu thức $B=\frac{2\cos \alpha -\sin \alpha }{\cos \alpha +2\sin \alpha }$
5. Cho ${{0}^{0}}<\alpha <{{90}^{0}}$ và $\sin \alpha +c\text{os}\alpha =\frac{7}{5}$. Tính $\tan \alpha .$
6. Cho$\alpha $là góc nhọn, biết $\sin \alpha .\cos \alpha =\frac{12}{25}$. Tính $\tan \alpha $.
7. Biết tan$\alpha =\frac{1}{3}$ . Tính C = $\frac{\sin \alpha -\cos \alpha }{\sin \alpha +\cos \alpha }$
8. Chứng minh rằng: $\tan \alpha +\frac{\cos \alpha }{1+\sin \alpha }=\frac{1}{\cos \alpha }$ (với góc $\alpha $ nhọn).
9. Cho $sinx+cosx=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$ .Tính $M=\frac{{{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x}{{{\cot }^{2}}x-{{\tan }^{2}}x}$ (x là góc nhọn)
10. Cho cos x = $\frac{1}{2}$ . Tính giá trị của biểu thức: P = $3{{\operatorname{Sin}}^{4}}x\,+\,4{{\operatorname{Cos}}^{4}}x+6{{\operatorname{Sin}}^{2}}x\,.{{\operatorname{Cos}}^{2}}x+{{\operatorname{Cos}}^{2}}x$
11. Tính số đo góc nhọn $\alpha $ biết $10{{\sin }^{2}}\alpha +6{{\cos }^{2}}\alpha =8$
12. Tìm góc nhọn a biết sinacosa $=\frac{\sqrt{3}}{4}$.
13. Cho tam giác ABC vuông tại A có $\sin B=\frac{3}{4}\sin C$. Tính $\cos C$
14. Cho r ABC có AM là trung tuyến và AM = AC. Tính giá trị biểu: $\frac{sinB.\,cosC}{\sin C.\,\operatorname{cosB}}$
15. Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H $\left( D\in BC,E\in AC \right)$. Chứng minh rằng: $\tan \widehat{ABC}.tanC=\frac{AD}{DH}\cdot $
16. Cho tam giác ABC nhọn, trung tuyến AM (M$\in $BC) và AM = AC. Chứng minh rằng $tanC=3tanB$
17. Cho$\Delta ABC$, trung tuyến AM, rằng biết $\cot B=3\cot C$. Chứng minh: $AM=AC$
18. Cho tam giác nhọn ABC , AD vuông góc với BC (D BC). Gọi H là trung điểm của AD và BH vuông góc với AC tại K. Chứng minh    tan ABC.tanACB  = 2
19. Cho DABC có trực tâm H là trung điểm của đường cao AK. Chứng minh rằng:$\tan B.\tan C=2$.
20. Tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh: tan $\frac{\widehat{\text{ABC}}}{\text{2}}\text{=}\frac{\text{AC}}{\text{AB+BC}}$
21. Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm M trên cạnh BC. Gọi K, H lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C đến tia AM. Chứng minh $CH=AK.\tan \widehat{ABC}$
22. Cho tam giác ABC, các đường phân giác AD, đường cao BH, đường trung tuyến CE đồng quy tại điểm O. Chứng minh rằng AC.cosA = BC.cosC.
23. Cho tam giác ABC vuông tại A, biết $\tan B=\frac{1}{2}$ và $BC=2\sqrt{5}cm.$ Tính $AB,AC?$
24. Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh $AC=(AB+BC)\tan \frac{\widehat{ABC}}{2}$
25. Trùng với câu 20
26. Cho hình thang vuông ABCD ($\widehat{A}=\widehat{D}={{90}^{o}}$), biết BC vuông góc với BD. Chứng minh cos$\widehat{ABD}=\frac{AD}{BC}$
27. Cho tam giác ABC có $\widehat{A}$ nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) .Chứng minh rằng:$BC=2R\sin A$
28. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M,N lần lượt là hai điểm trên cạch AB và AC sao cho 3AM = AB và 3AN = AC. Biết độ dài BN = sin$\alpha $, MC = cos$\alpha $ với ${{0}^{0}}<\alpha <{{90}^{0}}$. Tính độ dài cạnh huyền BC.
29. Cho$\Delta $ABC vuông tại A, G là trọng tâm của tam giác, BD là tia phân giác của góc B (D$\in $AC). Biết GD vuông góc với AC. Tính góc BCA
30. Cho tam giác $ABC$nhọn, gọi độ dài ba cạnh của tam giác lần lượt là:$AB=c,BC=a,AC=b$. Chứng minh rằng: ${{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2bc.cosA$
31. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường trung tuyến BM, đường phân giác đồng quy tại I. Chứng minh rằng $cosB=tanB$
32. Cho tam giác nhọn ABC. Biết BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh rằng: $4{{S}_{ABC}}\cdot \left( \cot A+\cot B+\cot C \right)={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}.$ (diện tích tam giác ABC được kí hiệu là S_ABC).
33. Cho tam giác $ABC$ có 3 góc nhọn. Chứng minh $\frac{\tan A+\tan B+\tan C}{\tan A.\tan B.\tan C}=1$.
34. Cho tam giác ABC cân tại A (góc A nhỏ hơn ). Kẻ BK vuông góc với AC tại K.
    a) Chứng minh:  $\sin A = 2\sin {A \over 2}\cos {A \over 2}$
    b) Cho $\sin KBC = \sqrt {{2 \over 3}} $. Tính sinA.
35. Một máy bay chuyển động thẳng đều theo phương nằm ngang với vận tốc 150 m/s. Ở vị trí A phi công nhìn địa điểm E ở mặt đất thẳng phía trước máy bay theo góc 58⁰ so với phương thẳng đứng và sau đó 20 giây đến vị trí B lại nhìn thấy địa điểm E theo góc 28⁰ (hình 1). Tính độ cao h của máy bay so với mặt đất.
    Cho biết
    $\eqalign{
    & \sin {58^0} \approx 0,85\,;\,\,\,\sin {28^0} \approx 0,47\,;\,\,\cos \,{58^0} \approx 0,53;{\rm{ }}\cos {28^0} \approx 0,88\,;\,\, \cr
    & \tan {58^0} \approx 1,60\,\,;\,\,\tan {28^0} \approx 0,53). \cr} $
36. Cột ăng ten AB dài 12 mét được dựng trên mái của một ngôi nhà và có các dây cáp neo từ ăng ten xuống mặt đất. Dây cáp AD được neo từ đỉnh của ăng ten xuống cọc D dưới mặt đất (A, B, C nằm trên một đường thẳng, BC vuông góc với CD). Một kỹ sư đã đặt máy và đo được $\widehat{CBD}={{30}^{0}};\,\widehat{ADB}={{18}^{0}}$. Tính độ dài dây neo AD. Biết $\sin {{18}^{0}}\approx 0,31;\,\,\cos {{18}^{0}}\approx 0,95.$