Chuyên đề Tính giá trị của biểu thức – Ôn thi HSG Toán 8

Chuyên đề Tính giá trị của biểu thức – Ôn thi HSG Toán 8

Kiến thức cần nhớ

Chia sẻ cá nhân :

– Chuyên đề tính giá trị của biểu thức là một chuyên đề hay và đòi hỏi người học phải có sự nhìn nhận nhanh về mối qua hệ giữa biểu thức và các điều kiện của đầu bài.

– Có rất nhiều các phương pháp tùy từng đối tượng bài, Xong ở chương trình lớp 8, Tài Liệu Toán xin phép được ra một vài phương pháp hay giặp như sau :

+ Biến đổi biểu thức sao cho có chứa nhân tố của điều kiện để khử.

+ Nếu biểu thức có nhiều mẫu, ta có thể phân tích mẫu thành nhân tử và quy đồng.

+ Nếu biểu thức cần tính còn thiếu so với giả thiết, ta có thể nhân thêm hoặc chia xuống cho phù hợp

+Đối với các bài toán có lũy thừa cao, thường các giá trị của ẩn chỉ nằm trong phạm vi là $-1;0;1$  hoặc các giá trị của biến bằng nhau.

Bài 1: Cho : $4{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=5ab$ và $2a>b>0$, Tính giá trị của : $A=\frac{ab}{4{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}$

HD :

Từ : $4{{a}^{2}}+{{b}^{2}}=5ab\Leftrightarrow 4{{a}^{2}}-4ab-ab+{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow $$\left( 4a-b \right)\left( a-b \right)=0$

TH 1: $4a-b=0\Leftrightarrow 4a=b$( mâu thẫn vì 2a > b)

TH 2: $a-b=0\Leftrightarrow a=b=>A=\frac{{{a}^{2}}}{4{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=\frac{1}{3}$

Bài 2: Cho $3{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}=10ab$ và $b>a>0$, Tính $A=\frac{a-b}{a+b}$

HD:

Từ: $3{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}=10ab\Leftrightarrow 3{{a}^{2}}-9ab-ab+3{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow \left( a-3b \right)\left( 3a-b \right)=0$

TH 1: $a-3b=0\Leftrightarrow a=3b$( mâu thuẫn vì b>a>0)

TH 2: $3a-b=0\Leftrightarrow 3a=b=>A=\frac{a-3a}{a+3a}=\frac{-1}{2}$

Bài 3: Cho $9{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}=20xy\left( 2y<3x<0 \right)$, Tính $A=\frac{3x-2y}{3x+2y}$

HD:

Từ: $9{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}=20xy\Leftrightarrow \left( x-2y \right)\left( 9x-2y \right)=0$

TH1: $x=2y=>A=\frac{3x-x}{3x+x}=\frac{1}{2}$

TH2: $9x=2y$ (Mâu thuẫn vì 2y < 3x < 0)

Bài 4: Cho ${{x}^{2}}-2{{y}^{2}}=xy,\left( y\ne 0,x+y\ne 0 \right)$,Tính $A=\frac{x-y}{x+y}$

HD:

Từ ${{x}^{2}}-2{{y}^{2}}=xy\Leftrightarrow {{x}^{2}}-xy-2{{y}^{2}}=0\Leftrightarrow \left( x-2y \right)\left( x+y \right)=0$

TH1: $x-2y=0\Leftrightarrow x=2y=>A=\frac{2y-y}{2y+y}=\frac{1}{3}$

TH2: $x+y=0$( mâu thuẫn vì x + y # 0 )

 

 

Bài 5: Cho $x>y>0$ và $2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}=5xy$, Tính $A=\frac{x+y}{x-y}$

HD:

Từ: $2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}=5xy\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-5xy+2{{y}^{2}}=0\Leftrightarrow \left( x-2y \right)\left( 2x-y \right)=0$

TH1: $x=2y=>A=\frac{2y+y}{2y-y}=3$

TH2: $2x=y$ (Mâu thuẫn vì: x > y > 0)

Bài 6: Cho $3x-y=3z$ và $2x+y=7z$, Tính $A=\frac{{{x}^{2}}-2xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$, $x,y\ne 0$

HD:

Từ gt ta có:
$\left\{ \matrix{
3x – y = 3z \hfill \cr
2x + y = 7z \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
x = 2z \hfill \cr
y = 3z \hfill \cr} \right. \Rightarrow A = {{4{z^2} – 12{z^2}} \over {4{z^2} + 9{z^2}}} = {{ – 8} \over {13}}$

Bài 7: Cho $xy=-1$, Tính $P=\frac{1}{{{y}^{2}}-xy}+\frac{1}{{{x}^{2}}-xy}$

HD:

Ta có: $P=\frac{1}{y\left( y-x \right)}+\frac{1}{x\left( x-y \right)}=\frac{-x+y}{xy\left( x-y \right)}=\frac{-\left( x-y \right)}{-1\left( x-y \right)}=1$

Bài 8: Cho $3y-x=6$, Tính giá trị của $A=\frac{x}{y-2}+\frac{2x-3y}{x-6}$

HD:

Ta có: $3y-x=6=>x=3y-6=>A=\frac{3y-6}{y-2}+\frac{2\left( 3y-6 \right)-3y}{3y-6-6}=3+1=12$

Bài 9: Tính biểu thức :$P=\frac{x}{-xy+x+1}-\frac{y}{yz-y+1}+\frac{z}{xz+z-1}$ với x.y.z =1 và các mẫu khác 0

HD :

Bài 10: Cho x, y, z khác 0 và x- y- z =0, Tính giá trị của: $B=\left( 1-\frac{z}{x} \right)\left( 1-\frac{x}{y} \right)\left( 1+\frac{y}{z} \right)$

HD :

Bài 11:Tình giá trị của biểu thức: $A=\frac{a+b}{a-b}$ với b> a> 0 và $2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}=5ab$

HD :

Bài 12: Cho $y>x>0,\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{xy}=\frac{10}{3}$ , tính giá trị của biểu thức: $M=\frac{x-y}{x+y}$

HD :

Bài 13: Cho biểu thức: $P=\frac{2a-1}{3a-1}+\frac{5-a}{3a+1},\left( a\ne \pm \frac{1}{3} \right)$ , Tính giá trị của P biết: $10{{a}^{2}}+5a=3$

HD:

Ta có:

$P=\frac{\left( 2a-1 \right)\left( 3a+1 \right)+\left( 5-a \right)\left( 3a-1 \right)}{\left( 3a-a \right)\left( 3a+1 \right)}=\frac{6{{a}^{2}}+2a-3a-1+15a-5-3{{a}^{2}}+a}{{{\left( 3a \right)}^{2}}-{{1}^{2}}}=\frac{3{{a}^{2}}+15a-6}{9{{a}^{2}}-1}$

Mặt khác $10{{a}^{2}}+5a=3=>9{{a}^{2}}=-{{a}^{2}}-5a+3$  Thay vào P ta được :

$P=\frac{3{{a}^{2}}+15a-6}{-{{a}^{2}}-5a+2}=-3$

Bài 14: Cho abc=2015, Tính $A=\frac{2015a}{ab+2015a+2015}+\frac{b}{bc+b+2015}+\frac{c}{ac+c+1}$

HD :

$A=\frac{{{a}^{2}}bc}{ab+{{a}^{2}}bc+abc}+\frac{b}{bc+b+abc}+\frac{c}{ac+c+1}$

$=\frac{{{a}^{2}}bc}{ab\left( 1+ac+c \right)}+\frac{b}{b\left( c+1+ac \right)}+\frac{c}{ac+c+1}=\frac{ac+c+1}{ac+c+1}=1$

Bài 15: Cho abc=2, Tính $B=\frac{a}{ab+a+2}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{2c}{ac+2c+2}$

HD :

$B=\frac{a}{ab+a+abc}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{ab{{c}^{2}}}{ac+ab{{c}^{2}}+abc}=\frac{a}{a\left( b+1+bc \right)}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{ab{{c}^{2}}}{ac\left( 1+bc+b \right)}=1$

Bài 16: Cho abc=1, Tính $A=\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}$

HD :

$A=\frac{{{a}^{2}}bc}{ab+{{a}^{2}}bc+abc}+\frac{b}{bc+b+abc}+\frac{c}{ac+c+1}=\frac{{{a}^{2}}bc}{ab\left( 1+ac+c \right)}+\frac{b}{b\left( c+1+ac \right)}+\frac{c}{ac+c+1}=1$

Bài 17: Cho abc= – 2012, Tính $B=\frac{a}{ab+a-2012}+\frac{b}{bc+b+1}-\frac{2012c}{ac-2012c-2012}$

HD :

$B=\frac{a}{ab+a+abc}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{ab{{c}^{2}}}{ac+ab{{c}^{2}}+abc}=\frac{a}{a\left( b+1+bc \right)}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{ab{{c}^{2}}}{ac\left( 1+bc+b \right)}=1$

Bài 18: Chứng minh rằng nếu xyz=1 thì $\frac{1}{1+x+xy}+\frac{1}{1+y+yz}+\frac{1}{1+z+zx}=1$

HD :

$VT=\frac{xyz}{xyz+{{x}^{2}}yz+xy}+\frac{xyz}{xyz+y+yz}+\frac{1}{1+z+zx}=\frac{xyz}{xy\left( z+xz+1 \right)}+\frac{xyz}{y\left( xz+1+z \right)}+\frac{1}{1+z+zx}=1=VP$

Bài 19: Cho xyz=2010, CMR: $\frac{2010x}{xy+2010x+2010}+\frac{y}{yz+y+2010}+\frac{z}{xz+z+1}=1$

HD :

$VT=\frac{{{x}^{2}}yz}{xy+{{x}^{2}}yz+xyz}+\frac{y}{yz+y+xyz}+\frac{z}{xz+z+1}=1$

Bài 20 : Tính giá trị của biểu thức sau biết : $abc=2016$

$P=\frac{2bc-2016}{3c-2bc+2016}-\frac{2b}{3-2b+ab}+\frac{4032-3ac}{3ac-4032+2016a}$

Bài 21: Tính GTBT $P=\frac{x+2xy+1}{x+xy+xz+1}+\frac{y+2yz+1}{y+yz+yx+1}+\frac{z+2zx+1}{z+zx+zy+1}$  biết $xyz=1$

HD :

$P=\frac{yz\left( x+2xy+1 \right)}{yz\left( x+xy+xz+1 \right)}+\frac{xz\left( y+2yz+1 \right)}{xz\left( y+yz+xy+1 \right)}+\frac{xy\left( z+2zx+1 \right)}{xy\left( z+zx+xy+1 \right)}$

$=\frac{\left( 1+y \right)+y\left( 1+z \right)}{\left( 1+y \right)\left( 1+z \right)}+\frac{1+z+z\left( 1+x \right)}{\left( 1+z \right)\left( 1+x \right)}+\frac{1+x+x\left( 1+y \right)}{\left( 1+x \right)\left( 1+y \right)}$

$=\frac{y}{1+y}+\frac{1}{1+z}+\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+x}+\frac{z}{1+z}+\frac{1}{1+y}+\frac{x}{1+x}$

$=\frac{y+1}{y+1}+\frac{1+z}{1+z}+\frac{1+x}{x+1}=3$

Bài 22: Cho $\frac{a}{b}=\frac{10}{3}$, Tính $A=\frac{16{{a}^{2}}-40ab}{8{{a}^{2}}-24ab}$

HD :

$\frac{a}{b}=\frac{10}{3}=>a=\frac{10}{3}b=>A=\frac{16.\frac{100}{9}{{b}^{2}}-40.\frac{10}{3}{{b}^{2}}}{8.\frac{100}{9}.{{b}^{2}}-24.\frac{10}{3}.{{b}^{2}}}=\frac{\frac{50}{9}}{\frac{10}{9}}=5$

Bài 23: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và $a+b+c=0$, CMR: ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=3abc$

HD :

Ta có : $a+b=-c\Leftrightarrow {{\left( a+b \right)}^{3}}=-{{c}^{3}}\Leftrightarrow {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+3ab\left( a+b \right)=-{{c}^{3}}\Leftrightarrow {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=3abc$

Bài 24: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=3abc$, CMR: $a+b+c=0$

HD :

Ta có : ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=\left( a+b+c \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ac \right)+3abc$

Vì ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=3abc=>\left( a+b+c \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca \right)=0$

Mà ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca=0\Leftrightarrow {{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}=0$ ( Mâu thuẫn vì $a\ne b\ne c$)

Nên $a+b+c=0$

Bài 25: Cho ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=3abc,\left( a,b,c\ne 0 \right)$, Tính $P=\left( 1+\frac{a}{b} \right)\left( 1+\frac{b}{c} \right)\left( 1+\frac{c}{a} \right)$

HD :

Ta có : ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=\left( a+b+c \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca \right)+3abc$, Mà ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=3abc$ Nên

TH1 : $a+b+c=0=>P=\frac{a+b}{b}.\frac{b+c}{c}.\frac{a+c}{a}=\frac{-c}{b}.\frac{-a}{c}.\frac{-b}{a}=-1$

TH2 : ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-ab-bc-ca=0=>a=b=c=>P=\left( 1+1 \right)\left( 1+1 \right)\left( 1+1 \right)=8$

Bài 26: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và $\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}$, Tính $B=\left( 1+\frac{a}{b} \right)\left( 1+\frac{b}{c} \right)\left( 1+\frac{c}{a} \right)$

HD :

Từ gt $\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{2\left( a+b+c \right)}{a+b+c}$

TH1 : Nếu $a+b+c=0=>B=\frac{a+b}{b}.\frac{b+c}{c}.\frac{a+c}{a}=\frac{-c}{b}.\frac{-a}{c}.\frac{-b}{a}=-1$

TH2 : nếu $a+b+c\ne 0=>gt=2=>B=\frac{a+b}{b}.\frac{b+c}{c}.\frac{a+c}{a}=\frac{2c}{b}.\frac{2a}{c}.\frac{2b}{a}=8$

Bài 27: Cho ${{a}^{3}}{{b}^{3}}+{{b}^{3}}{{c}^{3}}+{{c}^{3}}{{a}^{3}}=3{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}$, Tính $A=\left( 1+\frac{a}{b} \right)\left( 1+\frac{b}{c} \right)\left( 1+\frac{c}{a} \right)$

HD :

Đặt $\left\{ \begin{align}& ab=x \\& bc=y \\& ac=z \\\end{align} \right.=>{{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}=3xyz=>x+y+z=0=>A=\frac{a+b}{b}.\frac{b+c}{c}.\frac{c+a}{a}=\frac{y+z}{bc}.\frac{x+z}{ac}.\frac{x+y}{ab}$

$=\frac{-ab}{bc}.\frac{-bc}{ac}.\frac{-ac}{ab}=-1$Hoặc : $x=y=z=>a=b=c=>A=8$

Bài 28: Cho a,b,c là các số thỏa mãn: $\frac{a+b-c}{c}=\frac{b+c-a}{a}=\frac{c+a-b}{b}$ . Tính $A=\left( 1+\frac{a}{b} \right)\left( 1+\frac{b}{c} \right)\left( 1+\frac{c}{a} \right)$

HD :

Từ gt=>$\frac{a+b-c}{c}=\frac{b+c-a}{a}=\frac{c+a-b}{b}=\frac{a+b+c}{a+b+c}$

TH1 : $a+b+c=0=>A=\frac{a+b}{a}.\frac{b+c}{c}.\frac{a+c}{a}=-1$

TH2 : $a+b+c\ne 0=>gt=1=>a+b=2c,b+c=2a,c+a=2b=>A=8$

Bài 29: Cho x,y là hai số thỏa mãn: $\left\{ \begin{align}& ax+by=c \\& bx+cy=a \\& cx+ay=b \\\end{align} \right.$, CMR : ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=3abc$

HD :

Cộng theo vế của gt=>$\left( a+b+c \right)x+\left( a+b+c \right)y=a+b+c=>\left( a+b+c \right)\left( x+y-1 \right)=0$

TH1: $a+b+c=0=>{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=3abc$

TH2: $x+y=1=>a=b=c>{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=3abc$

Bài 30: Cho ${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=3abc$ và $a+b+c\ne 0$, Tính giá trị $N=\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}$

HD:

Từ gt $=>a=b=c=>N=\frac{3{{a}^{2}}}{9{{a}^{2}}}=\frac{1}{3}$

Bài 31: Cho ${{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}=3xyz$, Rút gọn $A=\frac{xyz}{\left( x+y \right)\left( y+z \right)\left( z+x \right)}$

HD:

Từ gt=>$TH1:x+y+z=0=>A=\frac{xyz}{-xyz}=-1$            $TH2:x=y=z=>A=\frac{{{x}^{3}}}{2x.2x.2x}=\frac{1}{8}$

Bài 32: Rút gọn : $A={{\left( a+b-2c \right)}^{3}}+{{\left( b+c-2a \right)}^{3}}+{{\left( c+a-2b \right)}^{3}}$

HD:

Đặt: $a+b-2c=x,b+c-2a=y,c+a-2b=z$

$A=\left( x+y+z \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-xy-yz-zx \right)=\left( a+b-2c+b+c-2a+c+a-2b \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+… \right)=0$Bài 33: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$, Rút gọn: $A=\frac{1}{{{a}^{2}}+2bc}+\frac{1}{{{b}^{2}}+2ac}+\frac{1}{{{c}^{2}}+2ab}$

HD:

Ta có: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow ab+bc+ca=0=>{{a}^{2}}+2bc={{a}^{2}}+bc-ab-ca=\left( a-b \right)\left( a-c \right)$

Tương tự: ${{b}^{2}}+2ac=\left( b-a \right)\left( b-c \right),{{c}^{2}}+2ba=\left( c-a \right)\left( c-b \right)$

Khi đó: $A=\frac{1}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)}+\frac{1}{\left( b-a \right)\left( b-c \right)}+\frac{1}{\left( c-a \right)\left( c-b \right)}=\frac{c-b+a-c+b-a}{\left( a-b \right)\left( b-c \right)\left( c-a \right)}=0$

Bài 34: Cho a, b, c đôi 1 khác nhau và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$ , Tính $P=\frac{1}{{{a}^{2}}-2bc}+\frac{1}{{{b}^{2}}+2ac}+\frac{1}{{{c}^{2}}+2ab}$

HD :

Bài 35: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$, Rút gọn: $B=\frac{bc}{{{a}^{2}}+2bc}+\frac{ac}{{{b}^{2}}+2ac}+\frac{ab}{{{c}^{2}}+2ab}$

HD:

Theo bài 26 =>$B=\frac{bc}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)}+\frac{ac}{\left( b-a \right)\left( b-c \right)}+\frac{ab}{\left( c-a \right)\left( c-b \right)}=\frac{ab\left( c-b \right)+ac\left( a-c \right)+ab\left( b-a \right)}{\left( a-b \right)\left( b-c \right)\left( c-a \right)}$

Phân tích tử => B

Bài 36: Cho a,b,c khác nhau đôi 1 và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$,Rút gọn: $C=\frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+2bc}+\frac{{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+2ac}+\frac{{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}+2ab}$

HD:

Theo bài 26 $=>C=\frac{{{a}^{2}}}{\left( a-b \right)\left( a-c \right)}+\frac{{{b}^{2}}}{\left( b-c \right)\left( b-a \right)}+\frac{{{c}^{2}}}{\left( c-a \right)\left( c-b \right)}=\frac{{{a}^{2}}\left( c-b \right)+{{b}^{2}}\left( a-c \right)+{{c}^{2}}\left( b-a \right)}{\left( a-b \right)\left( b-c \right)\left( c-a \right)}$

Phân tích tử =>C

Bài 37: Cho a,b,c$\ne $0, và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$, Tính $A=\frac{bc}{{{a}^{2}}}+\frac{ac}{{{b}^{2}}}+\frac{ab}{{{c}^{2}}}$

HD:

Từ gt = $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0=>\frac{1}{{{a}^{3}}}+\frac{1}{{{b}^{3}}}+\frac{1}{{{c}^{3}}}=\frac{3}{abc}$

Khi đó: $A=\frac{abc}{{{a}^{3}}}+\frac{abc}{{{b}^{3}}}+\frac{abc}{{{c}^{3}}}=abc\left( \frac{1}{{{a}^{3}}}+\frac{1}{{{b}^{3}}}+\frac{1}{{{c}^{3}}} \right)=abc.\frac{3}{abc}=3$

Bài 38: Cho x,y,z đôi 1 khác nhau và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$, Tính $A=\frac{yz}{{{x}^{2}}+2yz}+\frac{xz}{{{y}^{2}}+2xz}+\frac{xy}{{{z}^{2}}+2xy}$

HD:

Bài 39: Cho a+b+c=0 và a,b,c$\ne $0, Rút gọn $A=\frac{ab}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}+\frac{bc}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}+\frac{ac}{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}$

HD:

Từ $a+b+c=0=>a+b=-c=>{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2ab={{c}^{2}}=>{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}=-2ab$

Tương tự: ${{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}=-2bc,{{c}^{2}}+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}=-2ac$, Khi đó:

$A=\frac{ab}{-2ab}+\frac{bc}{-2bc}+\frac{ac}{-2ac}=\frac{-3}{2}$

Bài 40: Cho a+b+c=0, a,b,c $\ne $0, Rút gọn $B=\frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}+\frac{{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}-{{c}^{2}}}+\frac{{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}-{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}$

HD:

Từ $a+b+c=0=>b+c=-a=>{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2bc={{a}^{2}}=>{{a}^{2}}-{{b}^{2}}-{{c}^{2}}=2bc$,

Tương tự: ${{b}^{2}}-{{a}^{2}}-{{c}^{2}}=2ac,{{c}^{2}}-{{a}^{2}}-{{b}^{2}}=2ab$, Khi đó:

$B=\frac{{{a}^{2}}}{2bc}+\frac{{{b}^{2}}}{2ac}+\frac{{{c}^{2}}}{2ab}=\frac{1}{2abc}\left( {{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}} \right)=\frac{3abc}{2abc}=\frac{3}{2}$