Chuyên đề Tổ hợp – Sách bài tập Toán 10 Cánh Diều Tập 2
Chuyên đề Tổ hợp – Sách bài tập Toán 10 Cánh Diều
§3 Tổ Hợp
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa
Cho tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử và một số nguyên $k$ với $1\le k\le n$.
Mỗi tập con gồm $k$ phần tử được lấy ra từ $n$ phần tử của $A$ được gọi là một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử đó.
Số các tổ hợp
Ki hiệu $\text{C}_{n}^{k}$ là số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử với $1\le k\le n$. Ta có: $\text{C}_{n}^{k}=\frac{\text{A}_{n}^{k}}{k!}$. Quy irớc: 0 ! $=1;\text{C}_{n}^{0}=1$.
Với những quy ước trên, ta có: $\text{C}_{n}^{k}=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}$ với $0\le k\le n$.
Tính chất của các số $\text{C}_{n}^{k}$
Ta có hai đẳng thức sau: $\text{C}_{n}^{k}=\text{C}_{n}^{n-k}\left( 0\le k\le n \right)$ và $\text{C}_{n-1}^{k-1}+\text{C}_{n-1}^{k}=\text{C}_{n}^{k}(1\le k<n)$.
B. Ví DU
Vấn đề 1. Tính số tổ hợp
Ví dụ 1 Một lớp có 24 học sinh nam và 16 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn:
a) 3 học sinh làm ban cán sự của lớp? b) 3 học sinh làm ban cán sự của lớp sao cho trong đó có 2 học sinh nam?
c) 3 học sinh làm ban cán sự của lớp sao cho trong đó có ít nhất 1 học sinh nam?
Giải
a) Mỗi cách chọn 3 học sinh trong 40 học sinh là một tổ hợp chập 3 của 40. Số cách chọn 3 học sinh làm ban cán sự của lớp là: $C_{40}^{3}=9880$.
b) Mỗi cách chọn 2 học sinh nam trong 24 học sinh nam là một tổ hợp chập 2 của 24 . Số cách chọn 2 học $\text{sinh}$ nam trong 24 học sinh nam là: $C_{24}^{2}=276$.
Mỗi cách chọn 1 học sinh nữ trong 16 học sinh nữ là một tỗ hợp chập 1 của 16 .
Số cách chọn 1 học sinh nữ trong 16 học $\text{sinh}$ nữ là: $C_{16}^{1}=16$.
Vậy số cách chọn 3 học sinh làm ban cán sự lớp sao cho trong đó có 2 học sinh nam là: $276\cdot 16=4416$.
c) Cách 1:
Để ban cán sự lớp có it nhất 1 học sinh nam thi xảy ra các trường hợp:
Truoờng hơp 1:
Chọn 1 học sinh nam và 2 học $\text{sinh}$ nữ có
$C_{24}^{1}\cdot C_{16}^{2}=24\cdot 120=2880\text{ }\!\!~\!\!\text{ (c }\!\!\acute{\mathrm{a}}\!\!\text{ ch }\!\!~\!\!\text{ ch}\text{n) }\!\!~\!\!\text{ }$
Truờng họp 2:
Chọn 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ có
$C_{24}^{2}\cdot C_{16}^{1}=276\cdot 16=4416\text{ }\!\!~\!\!\text{ (c }\!\!\acute{\mathrm{a}}\!\!\text{ ch }\!\!~\!\!\text{ ch}\text{n)}\text{. }\!\!~\!\!\text{ }$
Trường hợp 3:
Chọn 3 học sinh nam có $\text{C}_{24}^{3}=2024$ (cách chọn).
Vậy số cách chọn 3 học sinh làm ban cán sự của lớp sao cho trong đó có it nhất 1 học sinh nam là:
$2880+4416+2024=9320.$
Cách 2:
Số cách chọn 3 học sinh làm ban cán sự của lớp là: $C_{40}^{3}=9880$.
Số cách chọn 3 học $\text{sinh}$ nữ làm ban cán sự của lớp là: $C_{16}^{3}=560$.
Vậy số cách chọn 3 học sinh làm ban cán sự của lớp sao cho trong đó có it nhất 1 học sinh nam là:
$9880-560=9320.\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$
Vấn đề 2. Chứng minh hệ thức tổ hợp
Vi dụ 2 Chứng minh rằng:
a) $\text{C}_{n}^{k}=\text{C}_{n}^{n-k}$ với $0\le k\le n$;
b) $\text{C}_{n-1}^{k-1}+\text{C}_{n-1}^{k}=\text{C}_{n}^{k}$ với $1\le k<n$.
Giải
Ta có:
a) $\text{C}_{n}^{k}=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}=\frac{n!}{\left[ n-\left( n-k \right) \right] !\left( n-k \right)!}=\frac{n!}{\left( n-k \right)!\left[ n-\left( n-k \right) \right] !}=\text{C}_{n}^{n-k}$.
b) $C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}=\frac{\left( n-1 \right)!}{\left( k-1 \right)!\left[ \left( n-1 \right)-\left( k-1 \right) \right] !}+\frac{\left( n-1 \right)!}{k!\left[ \left( n-1 \right)-k \right] !}$ $=\left( n-1 \right)!\left[ \frac{k}{k!\left( n-k \right)!}+\frac{n-k}{k!\left( n-k \right)!} \right] =\frac{\left( n-1 \right)!\left( k+n-k \right)}{k!\left( n-k \right)!}$ $=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}=\text{C}_{n}^{k}$
BÀl TẬP
Cho tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử và một số nguyên $k$ với $1\le k\le n$. Mỗi tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử đó là:
Tất cả kết quả của việc lấy $k$ phần tử từ $n$ phần tử của tập hợp $A$ và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó.
B. Một tập con gồm $k$ phần tử được lấy ra từ $n$ phần tử của $A$.
C. Một kết quả của việc lấy $k$ phần tử từ $n$ phần tử của tập hợp $A$ và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó.
D. Tất cả tập con gồm x$k$ phần tử được lấy ra từ $n$ phần tử của $A$.
Cho $k,n$ là các số nguyên dương, $k\le n$. Trong các phát biễu sau, phát biểu nào sai?
$\text{C}_{n}^{k}=\frac{\text{A}_{n}^{k}}{k!}$.
B. $C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}$.
C. $\text{C}_{n}^{k}=\frac{\text{A}_{n}^{k}}{\left( n-k \right)!}$.
D. $C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}$.
Tính số đoạn thẳng có hai đầu mút là 2 trong 10 điểm phân biệt.
Cho $n$ điểm phân biệt $(n>1)$. Biết rằng, số đoạn thẳng có hai đầu mút là 2 trong $n$ điểm đã cho bằng 78 . Tìm $n$. 24. Tính số đường chéo của một đa giác lồi có 12 đỉnh.
Cho đa giác lồi $n$ đỉnh $(n>3)$. Biết rằng, số đường chéo của đa giác đó là 170 . Tìm $n$.
Bạn Nam đến cửa hàng mua 2 chiếc ghế loại $\text{A}$. Tại cửa hàng, ghế loại A màu xanh có 20 chiếc và ghế loại $\text{A}$ màu đỏ có 15 chiếc. Hỏi bạn Nam có bao nhiêu cách chọn mua 2 chiếc ghế loại $\text{A}$ ?
Chứng minh rằng:
a) $k\text{C}_{n}^{k}=n\text{C}_{n-1}^{k-1}$ với $1\le k\le n$;
b) $\frac{1}{k+1}\text{C}_{n}^{k}=\frac{1}{n+1}\text{C}_{n+1}^{k+1}$ với $0\le k\le n$.
