Chuyên đề toán luyện thi vào 10: Chủ đề 1 Rút gọn biểu thức

CHUYÊN ĐỀ TOÁN THI VÀO LÓP 10

CHỦ ĐỀ 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

Bài 1: Cho biểu thức: $A=\frac{2}{\sqrt{x}+6}$ và $B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{3 x+4}{x-4}$ với $x \geq 0 ; x \neq 4$

a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x=9$;

b) Chứng minh: $B=\frac{2}{\sqrt{x}+2}$;

c) Tìm số nguyên tố $x$ lớn nhất thỏa mãn $\frac{A}{B}<\frac{2}{3}$.

Bài 2: Cho hai biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-5}$ và $B=\left(\frac{3 \sqrt{x}}{x-25}+\frac{2}{\sqrt{x}-5}\right): \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+5}$ với $x \geq 0, x \neq 25$.

a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x=36$.

b) Chứng minh $B=\frac{5}{\sqrt{x}-5}$.

c) Đặt $C=A-2 B$. Tìm $x$ để $C=\sqrt{x}$.

Bài 3: Cho hai biểu thức: $A=\frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)^{2}}$ và $B=\frac{1}{x-\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}$ với $x>0 ; x \neq 1$.

a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x=9$

b) Rút gọn B

c) Tìm giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $P=4 A: B$ có giá trị là số nguyên nhỏ nhất.

Bài 4: Cho biểu thức: $A=\frac{x-4}{\sqrt{x}+1}$ và $B=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}+2}{1-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}-4}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-2)}$.

a) Tính giá trị của $A$ khi $x=16$;

b) Rút gọn biểu thức $B$;

c) Tìm $x$ để biểu thức $M=A . B$ nhận giá trị nguyên.

Bài 5: Cho hai biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}$ và $B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\frac{3 x+9}{x-9}$ với $x \geq 0 ; x \neq 9$.

a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x=16$;

b) Chứng minh $B=\frac{3}{\sqrt{x}+3}$;

c) Tìm giá trị $x$ nguyên lớn nhất thỏa mãn $A \cdot B \leq-1$.

Bài 6: Cho hai biểu thức: $A=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}$ và $B=\frac{5}{\sqrt{x}+1}+\frac{9-\sqrt{x}}{x-1}$ với $x \geq 0$ và $x \neq 1$.

a) Tính giá trị của $A$ khi $x=16$;

b) Chứng minh $B=\frac{4}{\sqrt{x}-1}$;

c) Cho $P=A \cdot B$. Tìm tất cả các giá trị nguyên của $x$ để $P>1$.

Bài 7: Cho hai biểu thức $A=\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}$ và $B=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}-\frac{3 \sqrt{x}-4}{x-2 \sqrt{x}}$ với điều kiện $x>0 ; x \neq 4$

a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x=25$;

b) Rút gọn biểu thức $B$;

c) Cho $P=A . B$. So sánh $P$ với 2 .

Bài 8: Cho $A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$ và $B=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}-\frac{4 \sqrt{x}-6}{x-3 \sqrt{x}}$ với $x>0 ; x \neq 9$.

a) Tính giá trị biểu thức $A$ khi $x=36$;

b) Rút gọn biểu thức $B$;

c) Cho $P=\frac{B}{A}$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để có giá trị $x$ thỏa mãn: $P+m=1$.

Bài 9: Cho hai biểu thức $A=\frac{4}{\sqrt{x}+3}$ và $B=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+3}+\frac{1}{\sqrt{x}+1}-\frac{2}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+3)}$ với $x \geq 0$.

a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x=25$;

b) Rút gọn biểu thức $B$ và biểu thức $Q=A . B$;

c) Tìm giá trị lớn nhất của $Q$.

Bài 10: Cho hai biểu thức $A=\frac{2(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}+2}$ và $B=\left(\frac{15-\sqrt{x}}{x-25}+\frac{2}{\sqrt{x}+5}\right): \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-5}$ với $a, b$.

a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x=4$.

b) Rút gọn biểu thức $B$.

c) Tìm tất cả các giá trị nguyên của $x$ để $B \geq A$.

Bài 11: Cho hai biểu thức $H=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-5}$ và $N=\frac{1}{\sqrt{x}+5}-\frac{5}{25-x}$ với $x>0 ; x \neq 25$. .

a) Tính giá trị của biểu thức $H$ khi $x=9$.

b) Rút gọn biểu thức $K=N: H$.

c) Tìm các số của $x$ để $|K|=K$.

Bài 12: Cho hai biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$ và $B=\left(\frac{x+1}{x-\sqrt{x}}-\frac{2}{\sqrt{x}-1}\right): \frac{x-1}{\sqrt{x}}, x>0, x \neq 1$.

1) Tính giá trị của biểu thức $A$ tại $x=49$.

2) Rút gọn biểu thức $B$.

3) Tìm các giá trị của $x$ thỏa mãn $A+B=2$.

Bài 13: Cho hai biểu thức: $A=\frac{x+\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-2}$ và $B=\frac{3 x-4}{x-2 \sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}-1}{2-\sqrt{x}}$ với $x>0 ; x \neq 4$

1) Tính giá trị biểu thức $A$ khi $x=9$.

2) Chứng minh $B=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}$.

3) Tìm giá trị của $x$ để biểu thức $\frac{A}{B}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 14: Cho biểu thức: $A=\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{\sqrt{x}-1} \quad$ và $B=\frac{x+3 \sqrt{x}+2}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-1)}-\frac{x+\sqrt{x}}{x-1}$ (với $x>0 ; x \neq 1)$

a) Rút gọn và tính giá trị biểu thức $\mathrm{A}$ khi $\mathrm{x}=4-2 \sqrt{3}$

b) Rút gọn biểu thức $B$

c) Đặt $\mathrm{M}=\mathrm{B}: \mathrm{A}$, tìm $x$ để $\frac{1}{\mathrm{M}}-\frac{\sqrt{\mathrm{x}}+1}{8} \geq 1$

Bài 15: Cho hai biểu thức $P=\frac{x}{x-4}+\frac{1}{\sqrt{x}-2}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}$ và $Q=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-3}$ với $x \geq 0 ; x \neq 4 ; x \neq 9$

1) Tính giá trị của biểu thức $Q$ khi $x=64$.

2) Chứng minh $P=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$.

3) Với $x \in Z$, tìm GTLN của biểu thức $K=Q \cdot(P-1)$.

Bài 17: Cho các biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}-2}{x+3}$ và $B=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}-\frac{5 \sqrt{x}-2}{4-x}$ với $x \geq 0 ; x \neq 4$.

1) Tính giá trị của biểu thức $\mathrm{A}$ khi $x=16$.

2) Rút gọn biểu thức $P=A$.B.

3) Tìm $x$ để $(6 x+18) \cdot P \geq x+9$.

Bài 18: Cho hai biểu thức: $A=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-3}$ và $B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}+\frac{3}{\sqrt{x}+2}+\frac{9 \sqrt{x}-10}{4-x}$, với $x \geq 0, x \neq 4, x \neq 9$

a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x=\frac{16}{9}$.

b) Rút gọn biểu thức $B$.

c) Cho $P=B: A$. Tìm các giá trị của $x$ là số thực để $P$ nhận giá trị nguyên.

Bài 20: Cho các biểu thức $\mathrm{A}=\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{x-\sqrt{x}+3}{x \sqrt{x}-1}$ và $\mathrm{B}=\frac{x+2}{x+\sqrt{x}+1}$ với $\mathrm{x} \geq 0, \mathrm{x} \neq 1$

1) Tính giá trị của $B$ khi $x=\left(1+\frac{10+\sqrt{10}}{1+\sqrt{10}}\right)\left(\frac{10-\sqrt{10}}{\sqrt{10}-1}-1\right)$

2) Rút gọn biểu thức $A$

3) Tìm $x$ để $\frac{A}{1-B} \leq 1$

Tiếp theo: Chủ đề 2 Giải bái toán bằng cách lập PT, HPT