Chuyên đề Tứ giác – Ôn thi HSG Toán 8
Chuyên đề Tứ giác – Ôn thi HSG Toán 8
CHUYÊN ĐỀ TỨ GIÁC
Bài 1: HÌNH THANG, ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA HÌNH THANG
LÝ THUYẾT
Định nghĩa:
– Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song. Hai cạnh song song gọi là hai đáy,
hai cạnh còn lại là hai cạnh bên. (H1)
– Hình thang vuông là hình thang có một góc vuông. (H2)
– Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. (H3)
– Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác. (H4)
– Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang. (H5)
Tính chất:
– Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên ấy bằng nhau.
– Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì hai cạnh bên song song và bằng nhau.
– Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.
– Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.
– Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ 3 và bằng nửa cạnh ấy.
Với H4. Ta có: $MN//BC,MN=\frac{1}{2}BC$
– Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
Với H5. Ta có: $MN//AB//CD$ và $MN=\frac{\left( AB+CD \right)}{2}$
Định lý:
– Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua
trung điểm của cạnh thứ ba, và đường ấy cũng chính là đường trung bình của tam giác.
– Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua
trung điểm của cạnh bên còn lại và đường ấy cũng là đường trung bình của hình thang.
Dấu hiệu nhận biết :
– Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.
– Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
Mở rộng:
– Trong hình thang có hai cạnh bên không song song, đoạn thẳng nối trung điểm của hai đường
chéo thì song song với hai đáy và bằng một nửa hiệu hai đáy. (H6)
– Ở H6 ta có: $MN//AB//CD$ và $MN=\frac{CD-AB}{2}$
LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 7cm, BC = 9 cm, Trên tia AB lấy điểm D sao cho:
BD = BA. Trên tía AC lấy điểm E sao cho CE = CA. Kéo dài trung tuyến AM của tam giác ABC, lấy
MI = MA.
Tính độ dài các cạnh của tam giác ADE.
Chứng minh DI // BC.
Chứng minh ba điểm D, I, E thẳng hàng.
HD:
Bài 2: Cho hình thang ABCD ( AB // CD), Gọi E là giao điểm của AD và BC, Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AE, BE, AC, BD,
CMR: MNPQ là hình thang
HD:
Dễ dạng chứng minh được MN // AB
Gọi R là trung điểm của AD khi đó ta có: RQ // AB
RP // DC // AB
Nên RP // AB => R, Q, P thẳng hàng => PQ / / AB
Vậy MNPQ là hình thang
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, Vẽ AH vuông góc với BC tại H, Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AH CH, CMR :
MN vuông góc với AB và BM vuông góc với AN
HD:
Vì MN là đường trung bình
=> MN//AC mà AC $\bot $AB
=> MN $\bot $AB=> M là trực tâm của $\Delta $ABN
$\Delta $ABN có M là trực tâm => BM $\bot $AN
Bài 4: Cho đoạn thẳng AB và trung điểm O của nó, trên cùng 1 nửa mặt phẳng có bờ AB, vẽ hai tia Ax và By vuông góc với AB, Một góc vuông đỉnh O cắt Ax tại C, cắt By tại D
a, AC+BD=CD b, CO là tia phân giác của $\widehat{ACD}$
HD
a, Gọi I là trung điểm của CD
AC// BD => OI là trung bình của hình thang ABCD
=>$OI=\frac{AC+BD}{2}$
=>$AC+BD=2.OI$
Lại có $\Delta $ COD vuông => OI là đường trung tuyến
=> OI= CI= ID=> 2OI = IC +ID = CD
b, Ta có $\Delta $ OCD vuông tại O có OI là đường trung tuyến nên OI = IC
=>$\Delta $ IOC cân tại I =>$\widehat{{{C}_{2}}}=\widehat{{{O}_{1}}}$
Mà: $\widehat{{{O}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}}$ Nên =>$\widehat{{{C}_{1}}}=\widehat{{{C}_{2}}}$ Vậy OC là tia phân giác góc $\widehat{ACD}$
Bài 5: Cho $\Delta $ ABC có $\widehat{A}={{80}^{0}},\left( AB>AC \right)$ . Trên cạnh AB lấy D sao cho BD = AC. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC. Tính góc $\widehat{BEF}=?$
HD:
Bài 6: Cho tứ giác ABCD có AD = BC, đường thẳng đi qua trung điểm M và N của các cạnh AB và CD cắt AD và BC lần lượt ở E và F, CMR :$\widehat{AEM}=\widehat{MFB}$
HD :
Gọi I là trung điểm của BD
Ta có: MI, NI lần lượt là đường trung bình
=>$MI=\frac{AD}{2}=\frac{BC}{2}=IN$=>$\Delta $IMN cân
=>$\widehat{M}=\widehat{E}$ ( đồng vị )
và $\widehat{N}=\widehat{F}$ ( so le trong)
Vậy $\widehat{E}=\widehat{F}$
Bài 7: Cho hình thang ABCD ( AB // CD) tia phân giác góc C đi qua trung điểm M của AD, CMR:
a, $\left| MB-MC \right|<MA<MB+MC$ b, BC = AB + CD
HD:
a, Giả sử MC cắt AB tại E
Khi đó $\Delta CMD=\Delta EMA\left( g.c.g \right)$
=> CM = EM và CD = AE
Xét $\Delta $BEC có: $\widehat{E}=\widehat{{{C}_{2}}}=\widehat{{{C}_{1}}}$=>$\Delta $BEC cân
Mà BM là đường trung tuyến
=> BM là đường cao
Vậy BM $\bot $EC
b, Vi $\Delta $BEC cân nên EB = BC => BC = EA + AB = DC + AB
Bài 8: Cho hình thang ABCD ( AB // CD), có $\widehat{C}={{60}^{0}}$, DB là phân giác của góc $\widehat{D}$, Biết chu vi của hình thang là 20cm, Tính mỗi cạnh của hình thang
HD:
Đặt BC= a, ta có ngay:AD = AB = BC = a
Mà: $\widehat{C}={{60}^{0}}=>\widehat{{{D}_{2}}}={{30}^{0}}=>\widehat{DBC}={{90}^{0}}$
Xét $\Delta $BDC có $\widehat{{{D}_{2}}}={{30}^{0}},\widehat{C}={{60}^{0}}=>DC=2a$
Mà Chu vi hình thang là 20 cm nên a + a + a + 2a = 20 => a = 4
Bài 9: Cho tam giác ABC, AM là đường trung tuyến, vẽ đường thẳng (d) đi qua trung điểm I của AM cắt các cạnh AB, AC, Gọi A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của A, B, C trên đường thẳng (d)
CMR: $\text{AA}’=\frac{BB’+CC’}{2}$
HD:
Gọi H, K lần lượt là giao của (d) với AB và AC
Lấy N là hình chiếu của M trên đường thẳng (d)
=>$\Delta $AA’I =$\Delta $MNI ( cạnh huyền- góc nhọn)
=> AA’ = MN
Hình thang BB’C’C có MN là đường trung bình nên:
$MN=AA’=\frac{BB’+CC’}{2}$
Bài 10: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BH, CK. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường thẳng HK,
CMR: DK = EH.
HD:
Gọi M, M’ lần lượt là trung điểm của BC và DE,
Xét $\Delta $BHC vuông tại H có HM là đường trung tuyến nên:
$HM=\frac{1}{2}BC$ (1)
$\Delta $BKC vuông tại K có KM là đường trung tuyến nên:
$KM=\frac{1}{2}BC$ (2)
Từ (1) và (2) => MH = MK => KM’ = HM’
Vậy DM’ = EM’
