Đề giao lưu HSG Toán 8 TP Hồ Chí Minh – Năm Học 2018 – 2019

Bài 1. (2,0 điểm)

Cho biểu thức: $A=\left[\frac{2}{3 x}-\frac{2}{x+1},\left(\frac{x+1}{3 x}-x-1\right)\right] : \frac{x-1}{x}$ với $x \neq 0, x \neq-1$.
a) Rút gọn biểu thức $\mathrm{A}$.
b) Tìm giả trị nguyên của $x$ đẻ̉ A nhận giá trỉ nguyên.

Bài 2. (2.0 điểm)

a) Giäi phương trình sau : $\frac{1}{x^2-2 x+2}+\frac{2}{x^2-2 x+3}=\frac{6}{x^2-2 x+4}$
b) Giải bắt phương trình sau: $x^2-2 x+3|x-1|<3$

Bài 3. (2,0 điểm)

a) Cho $\mathrm{P}=\mathrm{n}^4+4$. Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ đẻ̉ $\mathrm{P}$ là số nguyên tố.
b) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên $\mathrm{n}$ thỏa măn :
$\left(2014^{2014}+1\right)$ chia hét cho : $\mathrm{n}^3+2012 \mathrm{n}$.

Bài 4 .(3.0 điểm)

Cho hình vuông $\mathrm{ABCD}, \mathrm{M}$ là một điểm nàm giữa $\mathrm{B}$ và $\mathrm{C}$. Kẻ $\mathrm{AN}$ vuông góc với $\mathrm{AM}, \mathrm{AP}$ vuông góc vơi $\mathrm{MN}(\mathrm{N}$ ví $\mathrm{P}$ thuộe đường thăंng $\mathrm{CD})$.
a) Chứng minh tam giác $\mathrm{AMN}$ vuỗng cân.
b) Chưng minh rừng: $\mathrm{AN}^2=\mathrm{NC} . \mathrm{NP}$
c) Gọi Q là giao điểm của tia $\mathrm{AM}$ và tia DC. Chứng minh tống $\frac{1}{\mathrm{AM}^2}+\frac{1}{\mathrm{AQ}^2}$ không đổi khi điểm $\mathrm{M}$ thay đởi trên cạnh $\mathrm{BC}$.

Bà 5. (1,0 điểm)

Cho các số $x, y$ không âm thay đổi và thỏa mãn $x+y=1$. Tìm giá tri lớn nhất của biếu thứe : $Q=\left(4 x^2+3 y\right)\left(4 y^2+3 x\right)+25 x y$.