Đề kiểm tra giữa HKI Toán 9 Huyện Đan Phượng – Năm học 2020 – 2021

Đề kiểm tra giữa HKI Toán 9 Huyện Đan Phượng – Năm học 2020 – 2021

Bài 1.    (1,5 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A=\sqrt{{{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{2}}}+2\sqrt{3}\,\,;$

b) $B=\sqrt{18}-2\sqrt{50}+3\sqrt{8}+\sqrt[3] {27}\,\,;$

c) $C=\frac{4}{\sqrt{5}-1}-\frac{10}{\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{125}}{\sqrt{5}}+\sqrt{2}.\sqrt{\frac{5}{2}}\,\,.$

Bài 2.    (2,0 điểm)

Cho hai biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}$và $B=\left( \frac{x}{x-4}-\frac{1}{\sqrt{x}-2} \right):\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}$với ${x>0}$, ${x\ne 4}$

a) Tính giá trị của $A$khi $x=25.$

b) Rút gọn biểu thức $B$

c) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức $P=A.B$ có giá trị nguyên.

Bài 3.    (2,0 điểm) Tìm $x$ biết:

a) $\sqrt{4x+20}-2\sqrt{x+5}+\sqrt{9x+45}=12$

b) $\sqrt{{{x}^{2}}-10x+25}=6$

Bài 4.       (4 điểm) Cho tam giác$ABC$vuông tại $A$, đường cao $AH\,\,(H\in BC).$

a) Biết $AB=12cm,\,\,BC=20cm$, Tính $AC,\,AH$ và $\widehat{ABC}$ ( làm tròn đến độ);

b) Kẻ $HM$ vuông góc với $AB$ tại $M$, $HN$ vuông góc với $AC$ tại $N$. Chứng minh: $AN.AC=A{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}$;

c) Chứng minh: $AH=MN$ và $AM.MB+AN.NC=A{{H}^{2}}$;

d) Chứng minh: ${{\tan }^{3}}C=\frac{BM}{CN}$.

Bài 5.    (0,5 điểm) Cho $a,\,\,b$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $\left( \sqrt{a}+1 \right)\left( \sqrt{b}+1 \right)\ge 4.$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{{{a}^{2}}}{b}+\frac{{{b}^{2}}}{a}.$

–HẾT—

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

 Bài 1.    (1,5 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A=\sqrt{{{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{2}}}+2\sqrt{3}\,\,;$

b) $B=\sqrt{18}-2\sqrt{50}+3\sqrt{8}+\sqrt[3] {27}\,\,;$

c) $C=\frac{4}{\sqrt{5}-1}-\frac{10}{\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{125}}{\sqrt{5}}+\sqrt{2}.\sqrt{\frac{5}{2}}\,\,.$

Lời giải

a) $A=\sqrt{{{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{2}}}+2\sqrt{3}\,\,$

$A=\left| 2-\sqrt{3} \right|+2\sqrt{3}$

$A=2-\sqrt{3}+2\sqrt{3}$

$A=2+\sqrt{3}$

b) $B=\sqrt{18}-2\sqrt{50}+3\sqrt{8}+\sqrt[3] {27}\,\,$

$B=\sqrt{9.2}-2\sqrt{25.2}+3\sqrt{4.2}+\sqrt[3] {3.3.3}\,\,$

$B=3\sqrt{2}-2.5\sqrt{2}+3.2\sqrt{2}+3$

$B=3\sqrt{2}-10\sqrt{2}+6\sqrt{2}+3$

$B=3-\sqrt{2}$

c) $C=\frac{4}{\sqrt{5}-1}-\frac{10}{\sqrt{5}}+\frac{\sqrt{125}}{\sqrt{5}}+\sqrt{2}.\sqrt{\frac{5}{2}}\,\,$

$C=\frac{4.\left( \sqrt{5}+1 \right)}{\left( \sqrt{5}-1 \right)\left( \sqrt{5}+1 \right)}-\frac{2.5}{\sqrt{5}}+\sqrt{\frac{125}{5}}+\sqrt{2}.\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$

$C=\frac{4.\left( \sqrt{5}+1 \right)}{{{\left( \sqrt{5} \right)}^{2}}-{{1}^{2}}}-2\sqrt{5}+\sqrt{25}+\sqrt{5}$

$C=\frac{4.\left( \sqrt{5}+1 \right)}{5-1}-2\sqrt{5}+5+\sqrt{5}$

$C=\frac{4.\left( \sqrt{5}+1 \right)}{4}-\sqrt{5}+5$

$C=\sqrt{5}+1-\sqrt{5}+5$

$C=6$

Bài 2.    (2,0 điểm)

Read:   Tuyển tập các bài toán về bất đẳng thức 3 số ôn thi HSG Toán 9 và vào chuyên 10

Cho hai biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}$và $B=\left( \frac{x}{x-4}-\frac{1}{\sqrt{x}-2} \right):\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}$với ${x>0}$, ${x\ne 4}$

a) Tính giá trị của $A$khi $x=25.$

b) Rút gọn biểu thức $B$

c) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức $P=A.B$ có giá trị nguyên.

Lời giải

a) Ta có $x=25$(thỏa mãn điều kiện), thay vào biểu thức $A$ta có:

$A=\frac{\sqrt{25}-3}{\sqrt{25}+1}=\frac{5-3}{5+1}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

Vậy khi $x=25$thì $A=\frac{1}{3}$

b) Với ${x>0}$, ${x\ne 4}$, ta có:

$B=\left( \dfrac{x}{x-4}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-2} \right):\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}$

$=\left[ \dfrac{x}{\left( \sqrt{x}+2 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-2} \right] .\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}$

$=\dfrac{x-\sqrt{x}-2}{\left( \sqrt{x}+2 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)}.\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}$

$=\dfrac{x-2\sqrt{x}+\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-2 \right)}$

$=\dfrac{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+1 \right)}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-2 \right)}$

$=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$

Vậy $B=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$ ${x>0}$, ${x\ne 4}$,

c) với ${x>0}$, ${x\ne 4}$, ta có

$P=A.B=\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}.\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}}=1-\frac{3}{\sqrt{x}}$

Với $x\in \mathbb{Z}$, ${x>0}$, ${x\ne 4}$,

+) Nếu $\sqrt{x}$là số vô tỉ thì $\frac{3}{\sqrt{x}}$là số vô tỉ nên P không là số nguyên (loại).

+) Nếu $\sqrt{x}$ là số nguyên nên P là số nguyên

$\Leftrightarrow \frac{3}{\sqrt{x}}$là số nguyên

$\Leftrightarrow \sqrt{x}$là ước dương của 3

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& \sqrt{x}=1 \\& \sqrt{x}=3 \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=1\left( \text{nha }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ n} \right) \\& x=9\left( \text{nha }\!\!\ddot{\mathrm{a}}\!\!\text{ n} \right) \\\end{align} \right.$

Vậy $x\in \left\{ 1;9 \right\}$thì $P$ có giá trị nguyên.

Bài 3.    (2,0 điểm) Tìm $x$ biết:

a) $\sqrt{4x+20}-2\sqrt{x+5}+\sqrt{9x+45}=12$

b) $\sqrt{{{x}^{2}}-10x+25}=6$

Lời giải

a) $\sqrt{4x+20}-2\sqrt{x+5}+\sqrt{9x+45}=12$

Điều kiện: $x\ge -5$

Ta có:

$\sqrt{4x+20}-2\sqrt{x+5}+\sqrt{9x+45}=12$

$\Leftrightarrow \sqrt{4\left( x+5 \right)}-2\sqrt{x+5}+\sqrt{9\left( x+5 \right)}=12$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x+5}-2\sqrt{x+5}+3\sqrt{x+5}=12$

$\Leftrightarrow 3\sqrt{x+5}=12$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+5}=4$

$\Leftrightarrow x+5=16$

$\Leftrightarrow x=11$ (thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{ 11 \right\}$.

b) $\sqrt{{{x}^{2}}-10x+25}=6$

Ta có:

$\sqrt{{{x}^{2}}-10x+25}=6$

$\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x-5 \right)}^{2}}}=6$

$\Leftrightarrow \left| x-5 \right|=6$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x-5=6 \\& x-5=-6 \\\end{align} \right.$

Read:   Đề kiểm tra giữa HKI Toán 9 THCS Cầu Giấy - Năm học 2020 - 2021

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=11 \\& x=-1 \\\end{align} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{ 11;-1 \right\}$.

Bài 4.       (4 điểm) Cho tam giác$ABC$vuông tại $A$, đường cao $AH\,\,(H\in BC).$

a) Biết $AB=12cm,\,\,BC=20cm$, Tính $AC,\,AH$ và $\widehat{ABC}$ ( làm tròn đến độ);

b) Kẻ $HM$ vuông góc với $AB$ tại $M$, $HN$ vuông góc với $AC$ tại $N$. Chứng minh: $AN.AC=A{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}$;

c) Chứng minh: $AH=MN$ và $AM.MB+AN.NC=A{{H}^{2}}$;

d) Chứng minh: ${{\tan }^{3}}C=\frac{BM}{CN}$.

Lời giải

a) Xét tam giác$ABC$vuông tại $A$, ta có:

$B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$(Định lý Pytago)

Hay ${{20}^{2}}={{12}^{2}}+A{{C}^{2}}$ $\Rightarrow A{{C}^{2}}={{20}^{2}}-{{12}^{2}}={{16}^{2}}$ $\Rightarrow AC=16$ cm

Xét tam giác$ABC$vuông tại $A$ đường cao $AH$

Ta có: $AB.AC=AH.BC$( Hệ thức giữa đường cao và các cạnh góc vuông)

$\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{12.16}{20}=9,6$

Ta có: $\sin ABC=\frac{AC}{BC}=\frac{16}{20}=\frac{4}{5}\Rightarrow \widehat{ABC}\approx 53{}^\circ $

Vậy $AC=16$ cm, $AH=9,6$chứng minnh, $\widehat{ABC}\approx 53{}^\circ $.

b) Xét $\Delta AHC$ đường cao $HN$

Có: $AN.AC=A{{H}^{2}}$ ( Hệ thức giữa đường cao và các cạnh góc vuông)  (1)

$A{{C}^{2}}=A{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}$(Định lý Pytago)

$\Rightarrow A{{H}^{2}}=A{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}$       (2)

Từ (1), (2) $\Rightarrow $$AN.AC=A{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}$

c) Ta có: $\widehat{MAN}=\widehat{ANH}=\widehat{AMH}=90{}^\circ $

$\Rightarrow ANHM$là hình chữ nhật $\Rightarrow AH=MN$

Xét  $\Delta AHB$, $\Delta AHC$ và $\Delta MHN$ có:

$\left\{ \begin{align}& AM.MB=M{{H}^{2}} \\& AN.NC=H{{N}^{2}} \\& M{{N}^{2}}=H{{N}^{2}}+H{{M}^{2}} \\\end{align} \right.$

$\Rightarrow AM.MB+AN.NC=H{{N}^{2}}+H{{M}^{2}}=M{{N}^{2}}=A{{H}^{2}}$

d) Xét tam giác$ABC$vuông tại $A$, đường cao $AH$,ta có:

$\left\{ \begin{align}& A{{C}^{2}}=CH.BC \\& A{{B}^{2}}=BH.BC \\\end{align} \right.\Rightarrow \frac{A{{B}^{2}}}{A{{C}^{2}}}=\frac{BH.BC}{CH.BC}=\frac{BH}{CH}$       (3)

Lại có: $HM$// $AC$ $\Rightarrow \frac{BM}{AM}=\frac{BH}{CH}$( định lý talet)      (4)

$HN$// $AB$ $\Rightarrow \frac{HN}{AB}=\frac{NC}{AC}\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{NH}{CN}$                    (5)

Từ (3), (4), (5) $\Rightarrow \frac{A{{B}^{2}}.AB}{A{{C}^{2}}.AC}=\frac{BM}{AM}.\frac{NH}{CN}$ hay ${{\tan }^{3}}C=\frac{A{{B}^{3}}}{A{{C}^{3}}}=\frac{BM}{CN}$

Bài 5.    (0,5 điểm) Cho $a,\,\,b$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $\left( \sqrt{a}+1 \right)\left( \sqrt{b}+1 \right)\ge 4.$

Read:   101+ Bài bất đẳng thức hai số ôn thi HSG Toán THCS

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{{{a}^{2}}}{b}+\frac{{{b}^{2}}}{a}.$

Lời giải

Từ giả thiết $\left( \sqrt{a}+1 \right)\left( \sqrt{b}+1 \right)\ge 4$ $\Leftrightarrow \sqrt{ab}+\sqrt{a}+\sqrt{b}+1\ge 4$$\Leftrightarrow \sqrt{ab}+\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge 3$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số thực dương $a,\,\,b$: $a+b\ge 2\sqrt{ab}\Leftrightarrow \frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$ (1)

Ta có ${{\left( \sqrt{a}-1 \right)}^{2}}\ge 0$ $\Leftrightarrow a-2\sqrt{a}+1\ge 0$ $\Leftrightarrow \frac{a+1}{2}\ge \sqrt{a}$                                                            (2)

Và ${{\left( \sqrt{b}-1 \right)}^{2}}\ge 0$ $\Leftrightarrow b-2\sqrt{b}+1\ge 0$ $\Leftrightarrow \frac{b+1}{2}\ge \sqrt{b}$                                                           (3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra $\frac{a+b}{2}+\frac{a+1}{2}+\frac{b+1}{2}\ge \sqrt{ab}+\sqrt{a}+\sqrt{b}$

$\Leftrightarrow \frac{2a+2b+2}{2}\ge \sqrt{ab}+\sqrt{a}+\sqrt{b}$

$\Leftrightarrow a+b+1\ge \sqrt{ab}+\sqrt{a}+\sqrt{b}$

Mà $\sqrt{ab}+\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge 3$ nên $a+b+1\ge 3$ $\Leftrightarrow a+b\ge 2$.

$P=\frac{{{a}^{2}}}{b}+\frac{{{b}^{2}}}{a}=\left( \frac{{{a}^{2}}}{b}+b \right)+\left( \frac{{{b}^{2}}}{a}+a \right)-\left( a+b \right)$

Với $a,\,\,b$ là các số thực dương ta áp dụng bất đẳng thức Cô-si:

$\Leftrightarrow P\ge 2\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{b}.b}+2\sqrt{\frac{{{b}^{2}}}{a}.a}-\left( a+b \right)$

$\Leftrightarrow P\ge 2a+2b-\left( a+b \right)$

$\Leftrightarrow P\ge a+b$

$\Leftrightarrow P\ge 2$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a=b=1.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$= 2 khi $a=b=1.$

Hình đại diện của người dùng

admin

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *