Đề kiểm tra giữa HKI Toán 9 Mỹ Đình – Hà Nội – Năm học 2020 – 2021

Đề kiểm tra giữa HKI Toán 9 Mỹ Đình – Hà Nội – Năm học 2020 – 2021

Câu 1 (2,0 điểm ). Rút gọn các biểu thức sau

a) $\sqrt{18}-2\sqrt{50}+3\sqrt{8}$. b) ${{\left( \sqrt{7}-\sqrt{3} \right)}^{2}}+\sqrt{84}$.

Câu 2 (2,0 điểm)

Giải phương trình

a) $\sqrt{{{x}^{2}}-10x+25}=6$. b) $\sqrt{2x-1}+\frac{3}{2}\sqrt{8x-4}-\frac{2}{5}\sqrt{50x-25}-4=0$.

c) $x-\sqrt{x+1}=-\frac{5}{4}$.

Câu 3 (2,0 điểm). Cho hai biểu thức

$A=\frac{4\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}$ và $B=\frac{x-\sqrt{x}+12}{x-9}-\frac{3}{\sqrt{x}-3}\left( x\ge 0;x\ne 9 \right)$.

a) Tính giá trị của $A$ tại $x=36$.

b) Chứng tỏ $B=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+3}$.

c) Tìm các giá trị của $x$ để $B<\frac{1}{5}$.

d) Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của $x$ để $M=A:B$ có giá trị nguyên.

Câu 4

1) (0,5 điểm) Tượng đài “Ba mũi tên đồng” – tượng đài chiến thắng Ngọc Hồi (Ngọc Hồi – Thanh Trì – Hà Nội) cao 10 m. Vào thời điểm trong ngày bóng của tượng đài trên mặt đất dài 8 m. Hỏi lúc đó góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất là bao nhiêu?

 

2) (3,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Biết$AB=3\,\text{cm}$,$AC=4\,\text{cm}$.

a) Tính độ dài các đoạn thẳng $AH$,$CH$.

b) Vẽ đường thẳng $d$ vuông góc với $AC$ tại $C$, $d$ cắt $AH$ tại $D$. Kẻ $BE$ vuông góc với $CD$tại $E$. Tính góc $\widehat{DAC}$? Diện tích tam giác$BCD$?

c) Chứng minh: $A{{C}^{2}}=AB.CD$.

d) Từ $H$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AC$ tại $I$ cắt $BD$ tại $K$. So sánh $HI$ và $HK$?

(0,5 điểm)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

$B=\sqrt{x-3-2\sqrt{x-4}}+\sqrt{x-3+2\sqrt{x-4}}$.

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

 Câu 1 (2,0 điểm ). Rút gọn các biểu thức sau

a) $\sqrt{18}-2\sqrt{50}+3\sqrt{8}$. b) ${{\left( \sqrt{7}-\sqrt{3} \right)}^{2}}+\sqrt{84}$.

Lời giải

a) $\sqrt{18}-2\sqrt{50}+3\sqrt{8}$.

=$\sqrt{{{2.3}^{2}}}-2\sqrt{{{2.5}^{2}}}+3\sqrt{{{2.2}^{2}}}$

=$3\sqrt{2}-10\sqrt{2}+6\sqrt{2}$

=$-\sqrt{2}$.

b)${{\left( \sqrt{7}-\sqrt{3} \right)}^{2}}+\sqrt{84}$

=$7-2\sqrt{21}+3+2\sqrt{21}=10$.                               

Câu 2 (2,0 điểm)

Giải phương trình

Read:   Lập trình vẽ và tô màu hình thoi trong Scratch và python

a) $\sqrt{{{x}^{2}}-10x+25}=6$. b) $\sqrt{2x-1}+\frac{3}{2}\sqrt{8x-4}-\frac{2}{5}\sqrt{50x-25}-4=0$.

c) $x-\sqrt{x+1}=-\frac{5}{4}$.

Lời giải

a) $\sqrt{{{x}^{2}}-10x+25}=6$

$ \Leftrightarrow \left| {x – 5} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x – 5 = 6 \hfill \cr
x – 5 = – 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 11 \hfill \cr
x = – 1 \hfill \cr} \right.$

Vậy phương trình có tập nghiệm là $S=\left\{ -1;11 \right\}$.

b) $\sqrt{2x-1}+\frac{3}{2}\sqrt{8x-4}-\frac{2}{5}\sqrt{50x-25}-4=0$

ĐKXĐ: $x\ge \frac{1}{2}$.

PT tương đương: $\sqrt{2x-1}+\frac{3}{2}\sqrt{4\left( 2x-1 \right)}-\frac{2}{5}\sqrt{25\left( 2x-1 \right)}-4=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{2x-1}+3\sqrt{2x-1}-2\sqrt{2x-1}=4$

$\Leftrightarrow \sqrt{2x-1}=2\Leftrightarrow 2x-1=4\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}\left( tmdk \right)$.

KL: vậy nghiệm của pt là $x=\frac{5}{2}$.

c) $x-\sqrt{x+1}=-\frac{5}{4}$. ĐKXĐ: $x\ge -1$.

$ \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} = x + {5 \over 4} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + {5 \over 4} \ge 0 \hfill \cr
x + 1 = {\left( {x + {5 \over 4}} \right)^2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge – {5 \over 4} \hfill \cr
16{x^2} + 24x + 9 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge – {5 \over 4} \hfill \cr
{\left( {4x + 3} \right)^2} = 0 \hfill \cr} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge – \frac{5}{4}\\
4x + 3 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge – \frac{5}{4}\\
x = – \frac{3}{4}
\end{array} \right. \Rightarrow x = \frac{{ – 3}}{4}\left( {tmdk} \right)$

Vậy pt có nghiệm là $x=-\frac{3}{4}$.

Câu 3 (2,0 điểm). Cho hai biểu thức

$A=\frac{4\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}$ và $B=\frac{x-\sqrt{x}+12}{x-9}-\frac{3}{\sqrt{x}-3}\left( x\ge 0;x\ne 9 \right)$.

a) Tính giá trị của $A$ tại $x=36$.

b) Chứng tỏ $B=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+3}$.

c) Tìm các giá trị của $x$ để $B<\frac{1}{5}$.

d) Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của $x$ để $M=A:B$ có giá trị nguyên.

Lời giải

a) Thay $x=36$(thỏa mãn điều kiện) vào $A$ ta được

$A=\frac{4\sqrt{36}+1}{\sqrt{36}+3}=\frac{25}{9}$.

Vậy khi $x=36$thì $A=\frac{25}{9}$.

b) Rút gọn $B=\frac{x-\sqrt{x}+12}{x-9}-\frac{3}{\sqrt{x}-3}\left( x\ge 0;x\ne 9 \right)$

$B=\frac{x-\sqrt{x}+12}{\left( \sqrt{x}-3 \right)\left( \sqrt{x}+3 \right)}-\frac{3\left( \sqrt{x}+3 \right)}{\left( \sqrt{x}-3 \right)\left( \sqrt{x}+3 \right)}\left( x\ge 0;x\ne 9 \right)$

$B=\frac{x-\sqrt{x}+12-3\sqrt{x}-9}{\left( \sqrt{x}-3 \right)\left( \sqrt{x}+3 \right)}$

$B=\frac{x-4\sqrt{x}+3}{\left( \sqrt{x}-3 \right)\left( \sqrt{x}+3 \right)}$

$B=\frac{\left( \sqrt{x}-3 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)}{\left( \sqrt{x}-3 \right)\left( \sqrt{x}+3 \right)}$

Read:   Phương trình nghiệm nguyên - 2324

$B=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+3}$ (đpcm).

c) Tìm các giá trị của $x$ để $B<\frac{1}{5}$

Ta có: $B<\frac{1}{5}$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+3}<\frac{1}{5}$ $\left( x\ge 0;x\ne 9 \right)$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+3}-\frac{1}{5}<0$

$\Leftrightarrow \frac{5\sqrt{x}-5}{5\left( \sqrt{x}+3 \right)}-\frac{\sqrt{x}+3}{5\left( \sqrt{x}+3 \right)}<0$

$\Leftrightarrow \frac{4\sqrt{x}-8}{5\left( \sqrt{x}+3 \right)}<0$

Ta có $\left\{ \begin{align}& x\ge 0 \\& x\ne 9 \\\end{align} \right.\Rightarrow 5\left( \sqrt{x}+3 \right)>0$.

Để $\frac{4\sqrt{x}-8}{5\left( \sqrt{x}+3 \right)}<0$$\Leftrightarrow 4\sqrt{x}-8<0\Leftrightarrow x<4$.

Kết hợp ĐK ta được $0\le x<4$.

d) Tìm giá trị nguyên nhỏ nhất của $x$ để $M=A:B$ có giá trị nguyên

$M=A:B=\frac{4\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}:\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+3}=\frac{4\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=4+\frac{5}{\sqrt{x}-1}$$\left( x\ge 0;x\ne 9;x\ne 1 \right)$

$M\in Z\Leftrightarrow \frac{5}{\sqrt{x}-1}\in Z\Leftrightarrow \sqrt{x}-1\in \left\{ 1;-1;5;-5 \right\}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x}\in \left\{ 2;0;6;-4 \right\}$

$\Leftrightarrow x\in \left\{ 4;0;36 \right\}$.

Vậy $x=0;\,4;\,36$

Câu 4

1) (0,5 điểm) Tượng đài “Ba mũi tên đồng” – tượng đài chiến thắng Ngọc Hồi (Ngọc Hồi – Thanh Trì – Hà Nội) cao 10 m. Vào thời điểm trong ngày bóng của tượng đài trên mặt đất dài 8m. Hỏi lúc đó góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất là bao nhiêu?

Lời giải

Gọi góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất là góc $\widehat{BCA}$

Xét tam giác vuông $ABC$ vuông tại $A$ có:

$\tan \widehat{BCA}=\frac{AB}{AC}=\frac{10}{8}\Rightarrow \widehat{BCA}=51{}^\circ 20’$

Vậy góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất là $51{}^\circ 20’$

2) (3,0 điểm) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Biết $AB=3\,\text{cm}$,$AC=4\,\text{cm}$.

a) Tính độ dài các đoạn thẳng $AH$,$CH$.

b) Vẽ đường thẳng $d$ vuông góc với $AC$ tại $C$, $d$ cắt $AH$ tại $D$. Kẻ $BE$ vuông góc với $CD$ tại $E$. Tính góc $\widehat{DAC}$? Diện tích tam giác $BCD$?

c) Chứng minh: $A{{C}^{2}}=AB.CD$

d) Từ $H$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AC$ tại $I$ cắt $BD$ tại $K$. So sánh $HI$ và $HK$?

Read:   101 ý tưởng game Scratch do AI gợi ý

Lời giải

a)

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có đường cao $AH$, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=\frac{3.4}{\sqrt{9+16}}=2,4\,\text{cm}$

Xét tam giác $AHC$ vuông tại $H$ có:

$A{{C}^{2}}=A{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}\Rightarrow HC=\sqrt{A{{C}^{2}}-A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{4}^{2}}-{{2,4}^{2}}}=3,2\,\text{cm}$

b)

Xét tam giác $AHC$ vuông tại $H$ có:

$\sin \widehat{HAC}=\frac{HC}{AC}=\frac{3,2}{4}\Rightarrow \widehat{HAC}=53{}^\circ 7’\Rightarrow \widehat{DAC}=53{}^\circ 7’$

Xét tam giác $DAC$ vuông tại $C$ có:

$\tan \widehat{DAC}=\frac{CD}{AC}\Rightarrow CD=AC.\tan \widehat{DAC}=4.\tan \widehat{HAC}=4.\frac{HC}{AH}=4.\frac{3,2}{2,4}=\frac{16}{3}\left( \text{cm} \right)$

Xét tứ giác $ABEC$ có: $\widehat{A}=\widehat{C}=\widehat{E}=90{}^\circ $

$\Rightarrow $ tứ giác $ABEC$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow BE=AC=4\,\text{cm}$.

Vậy: ${{S}_{\Delta BCD}}=\frac{1}{2}BE.CD=\frac{1}{2}.4.\frac{16}{3}=10,7\text{ }\left( \text{c}{{\text{m}}^{2}} \right)$.

c) Chứng minh: $A{{C}^{2}}=AB.CD$

Xét $\Delta BAC$ và $\Delta ACD$ có:

$\widehat{BAC}=\widehat{ACD}=90{}^\circ $ và $\widehat{ADC}=\widehat{ACB}$ ( cùng phụ với $\widehat{\text{ }DCB}$ )

$\Rightarrow ~\Delta BAC\backsim \Delta ACD\left( g-g \right)\Rightarrow \frac{AC}{CD}=\frac{AB}{AC}$$\Rightarrow A{{C}^{2}}=AB.CD$

Vậy: $A{{C}^{2}}=AB.CD$.

d) So sánh $HI$ và $HK$?

Ta có: $\left. \begin{align}& KI\bot AC\text{ }\left( gt \right) \\& AB\bot AC\text{ }\left( gt \right) \\\end{align} \right\}\Rightarrow KI\,//\,AB$.

Chứng minh tương tự ta có : $KI\,//\,CD$.

Do đó: $KI\,//\,AB\,//\,CD$.

Trong tam giác $ACD$, có: $HI//CD\Rightarrow \frac{HI}{CD}=\frac{AH}{AD}$ ( định lý talét trong tam giác )    (1)

Trong tam giác $ABD$, có: $HK//AB\Rightarrow \frac{AH}{AD}=\frac{BK}{BD}$ ( định lý talét trong tam giác )     (2)

Trong tam giác $BCD$, có: $HK//CD\Rightarrow \frac{BK}{BD}=\frac{KH}{CD}$ ( định lý talét trong tam giác )      (3)

Từ (1) ,(2) và (3) ta suy ra: $\frac{HI}{CD}=\frac{HK}{CD}\Rightarrow IH=IK$.

Vậy: $IH=IK$.

(0,5 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: $B=\sqrt{x-3-2\sqrt{x-4}}+\sqrt{x-3+2\sqrt{x-4}}$.

Lời giải

$B=\sqrt{x-3-2\sqrt{x-4}}+\sqrt{x-3+2\sqrt{x-4}}$

$=\sqrt{x-4-2\sqrt{x-4}+1}+\sqrt{x-4+2\sqrt{x-4}+1}$

$=\sqrt{{{\left( \sqrt{x-4}-1 \right)}^{2}}}+\sqrt{{{\left( \sqrt{x-4}+1 \right)}^{2}}}$

$=\left| \sqrt{x-4}-1 \right|+\left| \sqrt{x-4}+1 \right|$

$=\left| 1-\sqrt{x-4} \right|+\left| \sqrt{x-4}+1 \right|\ge \left| 1-\sqrt{x-4}+\sqrt{x-4}+1 \right|=2$

Vậy $Min\text{ }B=2$. Dấu $”=”$ xảy ra khi $\left( 1-\sqrt{x-4} \right)\left( \sqrt{x-4}+1 \right)\ge 0\Leftrightarrow 4\le x\le 5$.

 

Hình đại diện của người dùng

admin

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *