Đề kiểm tra giữa HKI Toán 9 THCS Giảng Võ – Ba Đình – Hà Nội – Năm học 2020 – 2021

Đề kiểm tra giữa HKI Toán 9 THCS Giảng Võ – Ba Đình – Hà Nội – Năm học 2020 – 2021

Câu 1 (2 điểm) Thực hiện phép tính

a) $A=3\sqrt{125}+\sqrt{{{\left( 2-\sqrt{5} \right)}^{2}}}$

b) $B=\left( 2+\sqrt{7} \right)\sqrt{11-4\sqrt{7}}-\frac{\sqrt{20}+5}{\sqrt{5}+2}$

c) $C={{\sin }^{2}}{{25}^{0}}+{{\sin }^{2}}{{65}^{0}}-\tan {{35}^{0}}+\cot {{55}^{0}}-\frac{\cot {{32}^{0}}}{\tan {{58}^{0}}}$

Câu 2 (1,5 điểm).

Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{9x-27}-\sqrt{x-3}=6$ .

b) $\sqrt{{{x}^{2}}+2x+1}-\sqrt{x+1}=0$

Câu 3 (2,5 điểm)

Cho hai biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}-2}{x+\sqrt{x}+1}$và $B=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{5\sqrt{x}-2}{x-2\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$ với$x>0;\,x\ne 4$

1) Tính giá trị biểu thức $A$ khi $x=9$.

2) Rút gọn biểu thức $B$ .

3) Tìm các giá trị của $x$ để $B\le -\frac{1}{2}$.

4) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $M=\frac{6A}{B}$

Câu 4 (3,5 điểm)

1) Một con thuyền đi qua một khúc sông theo hướng từ $B$ đến $C$ (như hình vẽ) với vận tốc $3,5km/h$ trong $12$ phút. Biết rằng đường đi của thuyền tạo với bờ sông một góc $25{}^\circ $. Hãy tính chiều rộng của khúc sông ? (Kết quả tính theo đơn vị $km$,làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

2) Cho tam giác $ABC$ nhọn có đường cao $AH$. Gọi $E$ là hình chiếu của $H$ trên $AB$.

Biết $AE=3,6cm$; $BE=6,4cm$. Tính $AH,EH$ và góc $B.$ (Số đo góc làm tròn đến độ)

Kẻ $HF$ vuông góc với $AC$ tại $F.$ Chứng minh $AB.AE=AC.AF.$

Đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $EF$ cắt $BC$ tại $D$; $EF$ cắt $AH$ tại $O.$

Chứng minh rằng ${{S}_{ADC}}=\frac{{{S}_{AOE}}}{{{\sin }^{2}}B.{{\sin }^{2}}C}$

Câu 5 (0,5 điểm)

Giải phương trình $2\sqrt{2x-1}=8-\sqrt[3] {x+3}$.

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1.   (2 điểm) Thực hiện phép tính

a) $A=3\sqrt{125}+\sqrt{{{\left( 2-\sqrt{5} \right)}^{2}}}$

b) $B=\left( 2+\sqrt{7} \right)\sqrt{11-4\sqrt{7}}-\frac{\sqrt{20}+5}{\sqrt{5}+2}$

c) $C={{\sin }^{2}}{{25}^{0}}+{{\sin }^{2}}{{65}^{0}}-\tan {{35}^{0}}+\cot {{55}^{0}}-\frac{\cot {{32}^{0}}}{\tan {{58}^{0}}}$

Lời giải

$A=3\sqrt{125}+\sqrt{{{\left( 2-\sqrt{5} \right)}^{2}}}=15\sqrt{5}+\left| 2-\sqrt{5} \right|=15\sqrt{5}+\sqrt{5}-2=2\left( 8\sqrt{5}-1 \right)$

 

$\begin{align}& B=\left( 2+\sqrt{7} \right)\sqrt{11-4\sqrt{7}}-\frac{\sqrt{20}+5}{\sqrt{5}+2} \\& \,\,\,\,=\left( 2+\sqrt{7} \right)\sqrt{{{\left( 2-\sqrt{7} \right)}^{2}}}-\frac{2\sqrt{5}+{{\left( \sqrt{5} \right)}^{2}}}{\left( \sqrt{5}+2 \right)} \\& \,\,\,\,=\left( 2+\sqrt{7} \right)\left| 2-\sqrt{7} \right|-\frac{\sqrt{5}\left( 2+\sqrt{5} \right)}{\left( \sqrt{5}+2 \right)} \\& \,\,\,\,=\left( 2+\sqrt{7} \right)\left( \sqrt{7}-2 \right)-\sqrt{5} \\& \,\,\,\,=7-4-\sqrt{5}=3-\sqrt{5} \\\end{align}$

$C={{\sin }^{2}}{{25}^{0}}+{{\sin }^{2}}{{65}^{0}}-\tan {{35}^{0}}+\cot {{55}^{0}}-\frac{\cot {{32}^{0}}}{\tan {{58}^{0}}}$

$C={{\sin }^{2}}{{25}^{0}}+co{{s}^{2}}{{25}^{0}}-\tan {{35}^{0}}+\tan {{35}^{0}}-\frac{\cot {{32}^{0}}}{\cot {{32}^{0}}}=1+0-1=0$.

Câu 2.    (1,5 điểm).

Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{9x-27}-\sqrt{x-3}=6$ .

b) $\sqrt{{{x}^{2}}+2x+1}-\sqrt{x+1}=0$

Lời giải

a)$\sqrt{9x-27}-\sqrt{x-3}=6$(ĐKXĐ: $x\ge 3$)

$\Leftrightarrow 3\sqrt{x-3}-\sqrt{x-3}=6$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{x-3}=6$

$\Leftrightarrow \sqrt{x-3}=3$

$\Leftrightarrow x-3=9$

$\Leftrightarrow x=12$ (thỏa mãn ĐKXĐ)

Kết luận: $x\in \left\{ 12 \right\}$

b)$\sqrt{{{x}^{2}}+2x+1}-\sqrt{x+1}=0$(ĐKXĐ: $x\ge -1$)

$\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}-\sqrt{x+1}=0$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+1}\left( \sqrt{x+1}-1 \right)=0$

$ \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sqrt {x + 1} = 0 \hfill \cr
\sqrt {x + 1} – 1 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x + 1 = 0 \hfill \cr
x + 1 = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = – 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (TM) \hfill \cr
x = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (TM) \hfill \cr} \right.$

Kết luận: $x\in \left\{ -1;0 \right\}$

Câu 3.    (2,5 điểm)

Cho hai biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}-2}{x+\sqrt{x}+1}$và $B=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{5\sqrt{x}-2}{x-2\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$ với$x>0;\,x\ne 4$

1) Tính giá trị biểu thức $A$ khi $x=9$.

2) Rút gọn biểu thức $B$ .

3) Tìm các giá trị của $x$ để $B\le -\frac{1}{2}$.

4) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $M=\frac{6A}{B}$

Lời giải

1) Khi $x=9\Rightarrow \sqrt{x}=3$ thỏa mãn điều kiện.Thay vào biểu thức$A$ ta được:                $A=\frac{3-2}{9+3+1}=\frac{1}{13}$.Vậy khi $x=9$ thì $A=\frac{1}{13}$

2) Với $x>0;\,x\ne 4$ta có: $B=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{5\sqrt{x}-2}{x-2\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$

$=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{5\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-2 \right)}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$

$=\frac{2\sqrt{x}.\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-2 \right)}-\frac{5\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-2 \right)}-\frac{\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-2 \right)}$

$=\frac{2x-\left( 5\sqrt{x}-2 \right)-\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-2 \right)}$

$=\frac{2x-5\sqrt{x}+2-x+\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-2 \right)}$

$=\frac{x-4\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-2 \right)}=\frac{{{\left( \sqrt{x}-2 \right)}^{2}}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-2 \right)}=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}$

Vậy$B=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}$ với $x>0;x\ne 4$

3) Với $x>0;x\ne 4$ để$B\le -\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}\le -\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}+\frac{1}{2}\le 0\Leftrightarrow \frac{2\sqrt{x}-4+\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\le 0$

$\Leftrightarrow \frac{3\sqrt{x}-4}{2\sqrt{x}}\le 0$mà $2\sqrt{x}>0$ nên $3\sqrt{x}-4\le 0\Leftrightarrow 3\sqrt{x}\le 4\Leftrightarrow \sqrt{x}\le \frac{4}{3}\Leftrightarrow x\le \frac{16}{9}$

Kết hợp với điều kiện ta được $0<x\le \frac{16}{9}$ thì $B\le -\frac{1}{2}$

d) Ta có: $M=\frac{6A}{B}=\frac{6\left( \sqrt{x}-2 \right)}{x+\sqrt{x}+1}:\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}=\frac{6\left( \sqrt{x}-2 \right)}{x+\sqrt{x}+1}.\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}=\frac{6\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}$

$\Rightarrow M=\frac{6}{\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+1}$ do $x>0\Rightarrow \sqrt{x}>0;\frac{1}{\sqrt{x}}>0$. Áp dụng bất đẳng thức Cô si với 2 số dương ta được:

$\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\ge 2\sqrt{\sqrt{x}.\frac{1}{\sqrt{x}}}=2\Rightarrow \sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+1\ge 3\Leftrightarrow \frac{6}{\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+1}\le 2$ hay $M\le 2$

Dấu “=: xảy ra $\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}\Rightarrow x=1$( thỏa mãn đk)

Vậy Max $M=2\Leftrightarrow x=1$

Câu 4.    (3,5 điểm)

1) Một con thuyền đi qua một khúc sông theo hướng từ $B$ đến $C$ (như hình vẽ) với vận tốc $3,5km/h$ trong $12$ phút. Biết rằng đường đi của thuyền tạo với bờ sông một góc $25{}^\circ $. Hãy tính chiều rộng của khúc sông ? (Kết quả tính theo đơn vị $km$,làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

2) Cho tam giác $ABC$ nhọn có đường cao $AH$. Gọi $E$ là hình chiếu của $H$ trên $AB$.

Biết $AE=3,6cm$; $BE=6,4cm$. Tính $AH,EH$ và góc $B.$ (Số đo góc làm tròn đến độ)

Kẻ $HF$ vuông góc với $AC$ tại $F.$ Chứng minh $AB.AE=AC.AF.$

Đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $EF$ cắt $BC$ tại $D$; $EF$ cắt $AH$ tại $O.$

Chứng minh rằng ${{S}_{ADC}}=\frac{{{S}_{AOE}}}{{{\sin }^{2}}B.{{\sin }^{2}}C}$

Lời giải

Đổi: 12 phút = $\frac{1}{5}$ giờ

Gọi chiều rộng của khúc sông là $CH$. Đường đi của con thuyền là $BK$ suy ra $CH\bot BK\,\,,\,\,\widehat{CBH}={{25}^{0}}$

Quãng đường BC dài là:  $3,5\,.\,\frac{1}{5}=0,7\,\,\left( km \right)$

Xét $\Delta BHC$ vuông tại H có: $CH=\sin {{25}^{0}}.\,\,BC=\,\sin {{25}^{0}}.\,0,7\approx 0,29\,\,\left( km \right)$

Vậy chiều rộng khúc sông khoảng 0,29  (km).

2)

Biết $AE=3,6cm$; $BE=6,4cm$. Tính $AH,EH$ và góc $B.$ (Số đo làm tròn đến độ)

Ta có: $AB=AE+EB=3,6+6,4=10cm$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $AHB$ có $\widehat{AHB}=90{}^\circ ;HE\bot AB$

Ta có: $A{{H}^{2}}=AE.AB$

$\Rightarrow AH=\sqrt{3,6.10}=\sqrt{36}=6cm$

Và: $E{{H}^{2}}=AE.EB$

$\Rightarrow EH=\sqrt{3,6.6,4}=4,8cm$

$\begin{align}& \operatorname{Sin}B=\frac{AH}{AB}=\frac{6}{10}=0,6 \\& \Rightarrow \widehat{B}\approx 36{}^\circ 52′ \\\end{align}$

Chứng minh $AB.AE=AC.AF$

Xét $\Delta ABH$có : $\widehat{AHB}=90{}^\circ ;HE\bot AB$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

$AB.AE=A{{H}^{2}}$ (1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $AHC$ có: $\widehat{AHC}=90{}^\circ ;HF\bot AC$

$\Rightarrow AF.AC=A{{H}^{2}}$  (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow AB.AE=AC.AF$(dpcm).

c)

Chứng minh:${{S}_{ADC}}=\frac{{{S}_{AOE}}}{{{\sin }^{2}}B.{{\sin }^{2}}C}$

Gọi I là giao điểm của $AD$và $EF$

Ta có: $AE.AB=\text{AF}.AC\Rightarrow \frac{AE}{AC}=\frac{\text{AF}}{AB}$

Dễ dàng chứng minh được $\Delta A\text{EF} \backsim  \Delta ACB\,\,(c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{AFI}=\widehat{ABH;}\widehat{ACD}=\widehat{AEO}$(1)

Mà $\widehat{CAD}+\widehat{\text{AF}I}={{90}^{0}}$

$\widehat{EAO}+\widehat{ABH}={{90}^{0}}$

$\Rightarrow \widehat{EAO}=\widehat{CAD}$(2)

Từ $(1);(2)\Rightarrow \Delta ADC \backsim  \Delta AOE\,\,(g.g)$

$\Rightarrow \frac{{{S}_{ADC}}}{{{S}_{AOE}}}={{\left( \frac{AC}{AE} \right)}^{2}}={{\left( \frac{AC}{AH}.\frac{AH}{AE} \right)}^{2}}=\frac{A{{C}^{2}}}{A{{H}^{2}}}.\frac{A{{H}^{2}}}{A{{E}^{2}}}$

$\Rightarrow {{S}_{ADC}}=\frac{{{S}_{AOE}}}{{{\left( \frac{AH}{AC} \right)}^{2}}.{{\left( \frac{AE}{AH} \right)}^{2}}}=\frac{{{S}_{AOE}}}{{{\sin }^{2}}C.c\text{o}{{\text{s}}^{2}}\widehat{EAO}}=\frac{{{S}_{AOE}}}{{{\sin }^{2}}C.{{\sin }^{2}}B}$

(đpcm)

Câu 5.   (0,5 điểm) Giải phương trình $2\sqrt{2x-1}=8-\sqrt[3] {x+3}$.

Lời giải

Điều kiện $2x-1\ge 0\Leftrightarrow x\ge \frac{1}{2}$.

Đặt $\sqrt{2x-1}=u\Rightarrow {{u}^{2}}=2x-1$.

$\sqrt[3] {x+3}=v\Rightarrow {{v}^{3}}=x+3\Leftrightarrow 2{{v}^{3}}=2x+6$.

$\Rightarrow 2{{v}^{3}}-{{u}^{2}}=2x+6-\left( 2x-1 \right)=7$

$\Leftrightarrow 2{{v}^{3}}-{{u}^{2}}-7=0$

Mà $2\sqrt{2x-1}=8-\sqrt[3] {x+3}\Leftrightarrow 2u=8-v\Leftrightarrow u=\frac{8-v}{2}$.

$\Rightarrow 2{{v}^{3}}-{{\left( \frac{8-v}{2} \right)}^{2}}-7=0$

$\Leftrightarrow 2{{v}^{3}}-\frac{64-16v+{{v}^{2}}}{4}-7=0$

$\Leftrightarrow 8{{v}^{3}}-64+16v-{{v}^{2}}-28=0$

$\Leftrightarrow 8{{v}^{3}}-{{v}^{2}}+16v-92=0$

$\Leftrightarrow \left( v-2 \right)\left( 8{{v}^{2}}+15v+46 \right)=0$

$\Leftrightarrow v=2$

$\Leftrightarrow x+3=8$

$\Leftrightarrow x=5$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy $x=5$.