Đề kiểm tra giữa HKI Toán 9 THCS Ngô Sĩ Liên – Năm học 2020 – 2021
Đề kiểm tra giữa HKI Toán 9 THCS Ngô Sĩ Liên – Năm học 2020 – 2021
Bài 1: (2 điểm) Thực hiện phép tính:
a) $3\sqrt{8}-6\sqrt{\frac{1}{18}}+\frac{\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}}$. b) $\sqrt{{{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{2}}}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}$.
c) $\frac{4}{\sqrt{3}+1}-\frac{5}{\sqrt{3}-2}+\frac{6}{\sqrt{3}-3}$.
Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình:
a) $\sqrt{{{x}^{2}}-4x+4}-3=0$ b) $\sqrt{1+x}+\frac{1}{2}\sqrt{16x+16}-6=0$
c) $3x-\sqrt{x+1}+1=0$.
Bài 3 (2 điểm) Cho hai biểu thức: $A=\frac{2\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-3}$ và $B=\frac{\sqrt{x}}{3+\sqrt{x}}+\frac{x+9}{9-x}$ với $x\ge 0;\,\,x\ne 9$.
a) Tính giá trị biểu thức của A khi $x=4$.
b) Rút gọn biểu thức $B$.
c) Biết $C=\frac{B}{A}$. Tìm $x$ nguyên để $C<\frac{-1}{3}$.
Bài 4 (1,5 điểm) Hải đăng Đa Lát là một trong những ngọn hải đăng cao nhất Việt Nam, được đặt trên đảo Đá Lát ở vị trí cực Tây Quần đảo, thuộc xã đảo Trường Sa, huyện Trường Sa, tỉnh Khánh Hòa. Ngọn hải đăng được xây dựng năm 1994, cao 42 mét, có tác dụng chỉ vị trí đảo, giúp tàu thuyền hoạt động trong vùng biển Trường Sa định hướng và xác định được vị trí của mình. Một người đi trên tàu đánh cá muốn đến ngọn hải đăng Đá Lát, người đó đứng trên mũi tàu cá và dùng giác kế đo được góc giữa mũi tàu và tia nắng chiếu từ đỉnh ngọn hải đăng đến tàu là $10{}^\circ $.
a) Tính khoảng cách từ tàu đến chân ngọn hải đăng (làm tròn đến 1 chữ số thập phân).
b) Biết cứ đi 10m thì tàu đó hao tốn hết 0,02 lít dầu. Hỏi tàu đó đi đến ngọn hải đăng Đá Lát cần tối thiểu bao nhiêu lít dầu?
Bài 5 (2 điểm) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ $\left( AB<AC \right)$, đường cao $AH$.
a) Cho $AB=6\,\text{cm}$ và $\text{cos}\widehat{ABC}=\frac{3}{5}.$ Tính $BC$, $AC$, $BH$.
b) Kẻ $HD\bot AB$ tại $D$, $HE\bot AC$ tại $E$. Chứng minh $AD.AB=AE.AC$
c) Gọi $I$ là trung điểm $BC$, $AI$ cắt $DE$ tại $K$. Chứng minh: $\frac{1}{A{{K}^{2}}}=\frac{1}{A{{D}^{2}}}+\frac{1}{A{{E}^{2}}}$ .
Bài 6(0,5 điểm) Cho $x=1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$.
Tìm giá trị biểu thức: $P={{x}^{5}}-4{{x}^{4}}+{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-2x+2019$.
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Bài 1: (2 điểm) Thực hiện phép tính:
a) $3\sqrt{8}-6\sqrt{\frac{1}{18}}+\frac{\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}}$. b) $\sqrt{{{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{2}}}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}$.
c) $\frac{4}{\sqrt{3}+1}-\frac{5}{\sqrt{3}-2}+\frac{6}{\sqrt{3}-3}$.
Lời giải
a) $3\sqrt{8}-6\sqrt{\frac{1}{18}}+\frac{\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}}$$=3.2\sqrt{2}-6\frac{\sqrt{2}}{3.2}+\frac{\sqrt{2}\left( 1-\sqrt{2} \right)}{\sqrt{2}}$$=6\sqrt{2}-\sqrt{2}+1-\sqrt{2}$$=5\sqrt{2}+1$.
b) $\sqrt{{{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{2}}}+\sqrt{4-2\sqrt{3}}$$=2-\sqrt{3}+\sqrt{{{\left( \sqrt{3}-1 \right)}^{2}}}$$=2-\sqrt{3}+\sqrt{3}-1$$=1$.
c) $\frac{4}{\sqrt{3}+1}-\frac{5}{\sqrt{3}-2}+\frac{6}{\sqrt{3}-3}$
$=\frac{4\left( \sqrt{3}-1 \right)}{\left( \sqrt{3}+1 \right)\left( \sqrt{3}-1 \right)}-\frac{5\left( \sqrt{3}+2 \right)}{\left( \sqrt{3}+2 \right)\left( \sqrt{3}-2 \right)}+\frac{6\left( \sqrt{3}+3 \right)}{\left( \sqrt{3}+3 \right)\left( \sqrt{3}-3 \right)}$
$=\frac{4\left( \sqrt{3}-1 \right)}{3-1}-\frac{5\left( \sqrt{3}+2 \right)}{3-4}+\frac{6\left( \sqrt{3}+3 \right)}{3-9}$
$=2\left( \sqrt{3}-1 \right)+5\left( \sqrt{3}+2 \right)-\left( \sqrt{3}+3 \right)$
$=2\sqrt{3}-2+5\sqrt{3}+10-\sqrt{3}-3$
$=6\sqrt{3}+5$.
Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình:
a) $\sqrt{{{x}^{2}}-4x+4}-3=0$ b) $\sqrt{1+x}+\frac{1}{2}\sqrt{16x+16}-6=0$
c) $3x-\sqrt{x+1}+1=0$.
Lời giải
a) $\sqrt{{{x}^{2}}-4x+4}-3=0$$\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-4x+4}=3$$\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}=3$
$\Leftrightarrow \left| x-2 \right|=3$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x-2=3 \\& x-2=-3 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=5 \\& x=-1 \\\end{align} \right.$
Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left\{ -1;\,\,5 \right\}$.
b) Điều kiện xác định: $x\ge -1$
$\sqrt{1+x}+\frac{1}{2}\sqrt{16x+16}-6=0$$\Leftrightarrow \sqrt{1+x}+\frac{1}{2}.4\sqrt{1+x}=6$
$\Leftrightarrow \sqrt{1+x}+2\sqrt{1+x}=6$ $\Leftrightarrow 3\sqrt{1+x}=6$ $\Leftrightarrow \sqrt{1+x}=2$
$\Rightarrow 1+x=4$$\Leftrightarrow x=3$ (thoả mãn).
Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left\{ 3 \right\}$.
c) $3x-\sqrt{x+1}+1=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{x+1}=3x+1$
Điều kiện: $\left\{ \begin{align}& x\ge -1 \\& x\ge -\frac{1}{3} \\\end{align} \right.\Leftrightarrow x\ge -\frac{1}{3}$
Phương trình $\Leftrightarrow 3x-\sqrt{x+1}+1=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{x+1}=3x+1$
$\Leftrightarrow x+1=9{{x}^{2}}+6x+1$
$\Leftrightarrow 9{{x}^{2}}+5x=0$$\Leftrightarrow x\left( 9x+5 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\& 9x+5=0 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0\,\left( TM \right) \\& x=\frac{-5}{9}\,\left( L \right) \\\end{align} \right.$
Vậy phương trình có tập nghiệm $S=\left\{ 0 \right\}$.
(2 điểm) Cho hai biểu thức: $A=\frac{2\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-3}$ và $B=\frac{\sqrt{x}}{3+\sqrt{x}}+\frac{x+9}{9-x}$ với $x\ge 0;\,\,x\ne 9$.
a) Tính giá trị biểu thức của A khi $x=4$.
b) Rút gọn biểu thức $B$.
c) Biết $C=\frac{B}{A}$. Tìm $x$ nguyên để $C<\frac{-1}{3}$.
Lời giải
a) Thay $x=4$(thoả mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được: $A=\frac{2.2+4}{2-3}=-8$
Vậy tại $x=4$thì $A=-8$.
b) Điều kiện xác định: $x\ge 0;\,\,x\ne 9$
$B=\frac{\sqrt{x}}{3+\sqrt{x}}+\frac{x+9}{9-x}$
$B=\frac{\sqrt{x}\left( 3-\sqrt{x} \right)}{\left( 3+\sqrt{x} \right)\left( 3-\sqrt{x} \right)}+\frac{x+9}{\left( 3+\sqrt{x} \right)\left( 3-\sqrt{x} \right)}$
$B=\frac{3\sqrt{x}-x+x+9}{\left( 3+\sqrt{x} \right)\left( 3-\sqrt{x} \right)}$
$B=\frac{3\sqrt{x}+9}{\left( 3+\sqrt{x} \right)\left( 3-\sqrt{x} \right)}$
$B=\frac{3\left( \sqrt{x}+3 \right)}{\left( 3+\sqrt{x} \right)\left( 3-\sqrt{x} \right)}$
$B=\frac{3}{3-\sqrt{x}}$.
c) Ta có:
$C=\frac{B}{A}$$=\frac{3}{3-\sqrt{x}}:\frac{2\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-3}$$=\frac{3}{3-\sqrt{x}}.\frac{\sqrt{x}-3}{2\sqrt{x}+4}$$=\frac{-3}{2\sqrt{x}+4}$
Để $C<\frac{-1}{3}$$\Rightarrow \frac{-3}{2\sqrt{x}+4}<\frac{-1}{3}$
$\Rightarrow \frac{-3}{2\sqrt{x}+4}+\frac{1}{3}<0$$\Leftrightarrow \frac{-9+2\sqrt{x}+4}{3\left( 2\sqrt{x}+4 \right)}<0$$\Leftrightarrow \frac{2\sqrt{x}-5}{3\left( 2\sqrt{x}+4 \right)}<0$
Với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện:$\sqrt{x}\ge 0\Rightarrow 2\sqrt{x}\ge 0\Rightarrow 2\sqrt{x}+4>0\Rightarrow 3\left( 2\sqrt{x}+4 \right)>0$
$\Rightarrow 2\sqrt{x}-5<0$$\Leftrightarrow 2\sqrt{x}<5$$\Leftrightarrow \sqrt{x}<\frac{5}{2}$$\Rightarrow x<\frac{25}{4}$
Kết hợp với điều kiện xác định $\Rightarrow 0\le x<\frac{25}{4}$
Mà $x\in \mathbb{Z}$ $\Rightarrow x\in \left\{ 0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6 \right\}$
Vậy với $x\in \left\{ 0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6 \right\}$ thì $C<\frac{-1}{3}$.
(1,5 điểm) Hải đăng Đa Lát là một trong những ngọn hải đăng cao nhất Việt Nam, được đặt trên đảo Đá Lát ở vị trí cực Tây Quần đảo, thuộc xã đảo Trường Sa, huyện Trường Sa, tỉnh Khánh Hòa. Ngọn hải đăng được xây dựng năm 1994, cao 42 mét, có tác dụng chỉ vị trí đảo, giúp tàu thuyền hoạt động trong vùng biển Trường Sa định hướng và xác định được vị trí của mình. Một người đi trên tàu đánh cá muốn đến ngọn hải đăng Đá Lát, người đó đứng trên mũi tàu cá và dùng giác kế đo được góc giữa mũi tàu và tia nắng chiếu từ đỉnh ngọn hải đăng đến tàu là $10{}^\circ $.
a) Tính khoảng cách từ tàu đến chân ngọn hải đăng (làm tròn đến 1 chữ số thập phân).
b) Biết cứ đi 10m thì tàu đó hao tốn hết 0,02 lít dầu. Hỏi tàu đó đi đến ngọn hải đăng Đá Lát cần tối thiểu bao nhiêu lít dầu?
Lời giải
a) Gọi chân ngọn hải đăng là $A$, đỉnh ngọn hải đăng là $B$, mũi tàu là $C$ ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A$ , $\widehat{C}=10{}^\circ $.
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:
$AC=AB.\cot C=42.\cot 10{}^\circ \approx 238,2$
Vậy khoảng cách từ tàu đến chân ngọn hải đăng xấp xỉ 238,2 m.
b) Tàu đó đi 1m cần số lít dầu là: 0,02 : 10 = 0,002 l
Tàu đó đi đến ngọn hải đăng Đá Lát cần tối thiểu số lít dầu là: 0,002.238,2 = 0,4764 lít
(2 điểm) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ $\left( AB<AC \right)$, đường cao $AH$.
a) Cho $AB=6\,\text{cm}$ và $\text{cos}\widehat{ABC}=\frac{3}{5}.$ Tính $BC$, $AC$, $BH$.
b) Kẻ $HD\bot AB$ tại $D$, $HE\bot AC$ tại $E$. Chứng minh $AD.AB=AE.AC$
c) Gọi $I$ là trung điểm $BC$, $AI$ cắt $DE$ tại $K$. Chứng minh: $\frac{1}{A{{K}^{2}}}=\frac{1}{A{{D}^{2}}}+\frac{1}{A{{E}^{2}}}$ .
Lời giải
a) Tam giác $ABC$ vuông tại $A\Rightarrow AB=BC.\cos C\Rightarrow BC=\frac{AB}{\cos C}=\frac{6}{\frac{3}{5}}=10\,\left( \text{cm} \right)$
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông $ABC$ có:
$B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}\Rightarrow A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}={{10}^{2}}-{{6}^{2}}=64\Rightarrow AC=8\,\left( \text{cm} \right)$
$\Delta ABC$ vuông tại $A$ , đường cao $AH$ ta có: $A{{B}^{2}}=BH.BC\Rightarrow BH=\frac{A{{B}^{2}}}{BC}=\frac{{{6}^{2}}}{10}=3,6\,\left( \text{cm} \right)$
b) $\Delta ABH$ vuông tại $H$ , đường cao $HD$ ta có: $A{{H}^{2}}=AD.AB$
$\Delta ACH$ vuông tại $H$ , đường cao $HE$ ta có: $A{{H}^{2}}=AE.AC$
$\Rightarrow AD.AB=AE.AC$
c) Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , $AI$ là đường trung tuyến
$\Rightarrow AI=IB=IC=\frac{BC}{2}\Rightarrow \Delta AIC$ cân tại $I\Rightarrow \widehat{IAC}=\widehat{ICA}$ $\left( 1 \right)$
Xét hai tam giác $\Delta AED$ và $\Delta ABC$ có chung góc $A$;$AD.AB=AE.AC\Rightarrow \frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
Suy ra $\Delta AED\backsim \Delta ABC$ (c – g – c) $\Rightarrow \widehat{AED}=\widehat{ABC}$ $\left( 2 \right)$
Mà tam giác $ABC$ vuông tại $A$$\Rightarrow \widehat{ABC}+\widehat{ICA}=90{}^\circ $ $\left( 3 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$, $\left( 2 \right)$, $\left( 3 \right)$ suy ra $\widehat{IAC}+\widehat{AED}=90{}^\circ \Rightarrow \widehat{AKE}=90{}^\circ \Rightarrow AK\bot ED$ tại $K$
Xét $\Delta ADE$ vuông tại $A$ , đường cao $AK\Rightarrow $ $\frac{1}{A{{K}^{2}}}=\frac{1}{A{{D}^{2}}}+\frac{1}{A{{E}^{2}}}$.
(0,5 điểm) Cho $x=1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$.
Tìm giá trị biểu thức: $P={{x}^{5}}-4{{x}^{4}}+{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-2x+2019$.
Lời giải
Ta có: $\left( 1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4} \right)\left( \sqrt[3]{2}-1 \right)={{\left( \sqrt[3]{2} \right)}^{3}}-{{1}^{3}}=1$
$\Rightarrow x.\left( \sqrt[3]{2}-1 \right)=1$$\Leftrightarrow \sqrt[3]{2}.x=x+1$$\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}={{\left( x+1 \right)}^{3}}$$\Leftrightarrow {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-3x-1=0$
Khi đó $P={{x}^{5}}-4{{x}^{4}}+{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-2x+2019$
$=\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-3x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)+2020=2020$
Vậy $P=2020$.
