Đề kiểm tra giữa HKI Toán 9 THCS Nguyễn Công Trứ – Hà Nội – Năm học 2020 – 2021
Đề kiểm tra giữa HKI Toán 9 THCS Nguyễn Công Trứ – Hà Nội – Năm học 2020 – 2021
Câu (1,5 điểm) Thực hiện phép tính:
a) $A=2\sqrt{8}-\frac{2}{3}\sqrt{18}+\sqrt{50}$
b) $B=\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}-\frac{2}{\sqrt{3}-1}$
c) $C=\cot 30{}^\circ .{{\sin }^{2}}65{}^\circ +\tan 60{}^\circ .{{\sin }^{2}}25{}^\circ -\frac{2\cos 39{}^\circ }{\sin 51{}^\circ }$
Câu 2 (3 điểm) Cho hai biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}$ và $B=\frac{x-3}{x-9}+\frac{1}{\sqrt{x}+3}-\frac{2}{3-\sqrt{x}}$ với $x\ge 0$;$x\ne 9$
a) Tính giá trị của biểu thức $A$ với $x=\frac{1}{4}$
b) Rút gọn biểu thức $B$
c) Cho $P=B:A$. Tìm $x$ để $P=\frac{5}{2}$
d) Tìm $x$ để $P$ nhận giá trị nguyên.
Câu 3 (1,5 điểm) Giải phương trình:
a) $\sqrt{9x}-5\sqrt{x}=6-4\sqrt{x}$
b) $\sqrt{{{x}^{2}}+x+5}=x+1$
Câu 4 (0,5 điểm) Tại một thời điểm trong ngày, một cái cây có bóng trên mặt đất dài $4,5\,\text{m}$ . Tính chiều cao của cây biết tia nắng mặt trời hợp với phương thẳng đứng một góc $50{}^\circ $.
Câu 5 (3 điểm) Cho $\Delta ABC$ vuông tại$A$, đường cao $AD$. Biết $AB=6\,\text{cm}$, $BC=10\,\text{cm}$.
a) Tính $AC$, góc $B$ và góc $C$.
b) Kẻ $DE$ vuông góc với $AB$ ở $E$ và $DF$ vuông góc với $AC$ ở $F$. Tính độ dài $EF$.
c) Chứng minh $A{{B}^{3}}.CF=A{{C}^{3}}.BE$.
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1 (1,5 điểm) Thực hiện phép tính:
a) $A=2\sqrt{8}-\frac{2}{3}\sqrt{18}+\sqrt{50}$
b) $B=\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}-\frac{2}{\sqrt{3}-1}$
c) $C=\cot 30{}^\circ .{{\sin }^{2}}65{}^\circ +\tan 60{}^\circ .{{\sin }^{2}}25{}^\circ -\frac{2\cos 39{}^\circ }{\sin 51{}^\circ }$
Câu 2 Lời giải
a) $A=2\sqrt{8}-\frac{2}{3}\sqrt{18}+\sqrt{50}$
$A=2.2\sqrt{2}-\frac{2}{3}.3\sqrt{2}+5\sqrt{2}$
$A=4\sqrt{2}-2\sqrt{2}+5\sqrt{2}$
$A=7\sqrt{2}$.
b) $B=\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}-\frac{2}{\sqrt{3}-1}$
$B=\frac{\sqrt{3}\left( \sqrt{3}+1 \right)}{\sqrt{3}}-\frac{2\left( \sqrt{3}+1 \right)}{\left( \sqrt{3}-1 \right)\left( \sqrt{3}+1 \right)}$
$B=\sqrt{3}+1-\frac{2\left( \sqrt{3}+1 \right)}{2}$
$B=\sqrt{3}+1-\left( \sqrt{3}+1 \right)$
$B=0$
c) $C=\cot 30{}^\circ .{{\sin }^{2}}65{}^\circ +\tan 60{}^\circ .{{\sin }^{2}}25{}^\circ -\frac{2\cos 39{}^\circ }{\sin 51{}^\circ }$
$C=\cot 30{}^\circ .{{\sin }^{2}}65{}^\circ +\cot 30{}^\circ .c\text{o}{{\text{s}}^{2}}65{}^\circ -\frac{2\cos 39{}^\circ }{\text{cos}39{}^\circ }$
$C=\cot 30{}^\circ .\left( {{\sin }^{2}}65{}^\circ +c\text{o}{{\text{s}}^{2}}65{}^\circ \right)-2$
$C=\cot 30{}^\circ .1-2$
$C=\sqrt{3}-2$
Câu 3 (3 điểm) Cho hai biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}$và $B=\frac{x-3}{x-9}+\frac{1}{\sqrt{x}+3}-\frac{2}{3-\sqrt{x}}$ với $x\ge 0$;$x\ne 9$
a) Tính giá trị của biểu thức $A$ với $x=\frac{1}{4}$
b) Rút gọn biểu thức $B$
c) Cho $P=B:A$. Tìm $x$ để $P=\frac{5}{2}$
d) Tìm $x$ để $P$ nhận giá trị nguyên.
Lời giải
a) $x=\frac{1}{4}$ (thoả mãn điều kiện) $\Rightarrow A=\frac{\sqrt{\frac{1}{4}}+1}{\sqrt{\frac{1}{4}}-3}=\frac{\frac{1}{2}+1}{\frac{1}{2}-3}=\frac{-3}{5}$
Vậy $x=\frac{1}{4}$ thì $A=\frac{-3}{5}$
b) Ta có: $B=\frac{x-3}{x-9}+\frac{1}{\sqrt{x}+3}-\frac{2}{3-\sqrt{x}}$ với $x\ge 0$;$x\ne 9$
$=\frac{x-3}{\left( \sqrt{x}+3 \right)\left( \sqrt{x}-3 \right)}+\frac{1}{\sqrt{x}+3}+\frac{2}{\sqrt{x}-3}$
$=\frac{x-3}{\left( \sqrt{x}+3 \right)\left( \sqrt{x}-3 \right)}+\frac{\sqrt{x}-3}{\left( \sqrt{x}+3 \right)\left( \sqrt{x}-3 \right)}+\frac{2\left( \sqrt{x}+3 \right)}{\left( \sqrt{x}+3 \right)\left( \sqrt{x}-3 \right)}$
$=\frac{x-3+\sqrt{x}-3+2\sqrt{x}+6}{\left( \sqrt{x}+3 \right)\left( \sqrt{x}-3 \right)}$
$=\frac{x+3\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x}+3 \right)\left( \sqrt{x}-3 \right)}$
$=\frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+3 \right)}{\left( \sqrt{x}+3 \right)\left( \sqrt{x}-3 \right)}$
$=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}$
Vậy $B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}$ với $x\ge 0$;$x\ne 9$
c) Ta có:$P=B:A$$=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}:\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}$$=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}.\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}$$=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}$
Để$P=\frac{5}{2}$$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=\frac{5}{2}$$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-\frac{5}{2}=0$$\Leftrightarrow \frac{2\sqrt{x}-5\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+1}=0$$\Leftrightarrow \frac{-3\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+1}=0$
$\Rightarrow -3\sqrt{x}-5=0$$\Leftrightarrow \sqrt{x}=\frac{-5}{3}$
Vì $\sqrt{x}\ge 0$, $\forall x\ge 0$; $x\ne 9$mà $\frac{-5}{3}<0\Rightarrow $không có $x$ thỏa mãn $P=\frac{5}{2}$
d) Với $x\ge 0$;$x\ne 9$$\Rightarrow \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\ge 0\Rightarrow P\ge 0$ $\left( 1 \right)$
Ta có $P-1=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-1=\frac{-1}{\sqrt{x}+1}<0\Rightarrow P<1$ $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ $\Rightarrow 0\le P<1$ mà $P\in \mathbb{Z}\Rightarrow P=0$$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=0\Leftrightarrow \sqrt{x}=0\Leftrightarrow x=0$ (thoả mãn)
Vậy $x=0$ thì $P$ nhận giá trị nguyên.
Câu 4 (1,5 điểm) Giải phương trình:
a) $\sqrt{9x}-5\sqrt{x}=6-4\sqrt{x}$
b) $\sqrt{{{x}^{2}}+x+5}=x+1$
Lời giải
a) $\sqrt{9x}-5\sqrt{x}=6-4\sqrt{x}\quad \left( * \right)$
Điều kiện xác định: $x\ge 0$
$\left( * \right)\Leftrightarrow 3\sqrt{x}-5\sqrt{x}=6-4\sqrt{x}$
$\Leftrightarrow 3\sqrt{x}-5\sqrt{x}+4\sqrt{x}=6$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{x}=6$
$\Leftrightarrow \sqrt{x}=3$
$\Leftrightarrow x=9$ (thoả mãn)
Vậy $x=9$
b) $\sqrt{{{x}^{2}}+x+5}=x+1$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x\ge -1 \\& \sqrt{{{x}^{2}}+x+5}={{\left( x+1 \right)}^{2}} \\\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x\ge -1 \\& {{x}^{2}}+x+5={{x}^{2}}+2x+1 \\\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x\ge -1 \\& x=4\, \\\end{align} \right.\Leftrightarrow x=4\left( \text{thoa }\!\!\hat{\mathrm{u}}\!\!\text{ ma }\!\!\tilde{\mathrm{o}}\!\!\text{ n} \right)$
Vậy $x=4$
Câu 5 (0,5 điểm) Tại một thời điểm trong ngày, một cái cây có bóng trên mặt đất dài $4,5\,\text{m}$. Tính chiều cao của cây biết tia nắng mặt trời hợp với phương thẳng đứng một góc $50{}^\circ $
Lời giải
Ta có hình minh họa, trong đó:
$AB$: là chiều cao của cây
$AC$: độ dài bóng cây, $AC=4,5\,\text{m}$
$\widehat{ABC}$ là góc hợp bởi tia nắng mặt trời với phương thẳng đứng,$\widehat{ABC}=50{}^\circ $.
Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:
$AC=AB.\operatorname{tanB}\text{ }\Rightarrow AB=\frac{AC}{\operatorname{tanB}}=\frac{4,5}{\tan 50{}^\circ }\approx 3.8\left( \text{m} \right)$
Câu 6 (3 điểm) Cho $\Delta ABC$ vuông tại$A$, đường cao $AD$. Biết $AB=6\,\text{cm}$, $BC=10\,\text{cm}$.
a) Tính $AC$, góc $B$ và góc $C$.
b) Kẻ $DE$ vuông góc với $AB$ ở $E$ và $DF$ vuông góc với $AC$ ở $F$. Tính độ dài $EF$.
c) Chứng minh $A{{B}^{3}}.CF=A{{C}^{3}}.BE$.
Lời giải
a) Xét$\Delta ABC$vuông tại$A$, theo định lý Pytago ta có:
$B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}\Leftrightarrow A{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}$
$\Leftrightarrow A{{C}^{2}}={{10}^{2}}-{{6}^{2}}=64$
$\Leftrightarrow AC=8\,\left( \text{cm} \right)$.
Ta có: $\sin \widehat{B}=\frac{AC}{BC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}\Rightarrow \widehat{B}\approx 53{}^\circ $.
Vì $\Delta ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat{C}=90{}^\circ -\widehat{B}=90{}^\circ -53{}^\circ =37{}^\circ $.
b) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AD$, ta có:
$AB.AC=AD.BC$(hệ thức lượng trong tam giác vuông)
$\Leftrightarrow AD=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{6.8}{10}=4,8\left( \,\text{cm} \right)$.
Xét tứ giác $AEDF$ có $\widehat{EAF}=\widehat{AED}=\widehat{AFD}=90{}^\circ $, suy ra $AEDF$ là hình chữ nhật.
$\Rightarrow EF=AD$ (hai đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau)
Mà $AD=4,8\,\text{cm}$
$\Rightarrow EF=4,8\,\text{cm}$.
c) Ta có $A{{B}^{3}}.CF=A{{C}^{3}}.BE$$\Leftrightarrow {{\left( \frac{AB}{AC} \right)}^{3}}=\frac{BE}{CF}$
$\Leftrightarrow {{\left( \frac{AB}{AC} \right)}^{4}}=\frac{BE}{CF}.\frac{AB}{AC}$
$\Leftrightarrow {{\left( \frac{A{{B}^{2}}}{A{{C}^{2}}} \right)}^{2}}=\frac{BE.AB}{CF.AC}$. $\left( 1 \right)$
Xét các tam giác vuông ${ABC}$, ${ADB}$, ${ACD}$ ta có:
${A{{B}^{2}}=BD.BC}$; ${A{{C}^{2}}=CD.BC}$; ${BE.BA=B{{D}^{2}}}$; ${CF.CA=C{{D}^{2}}}$.
Khi đó$\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{\left( \frac{BD.BC}{CD.BC} \right)}^{2}}=\frac{B{{D}^{2}}}{C{{D}^{2}}}$$\Leftrightarrow {{\left( \frac{BD}{CD} \right)}^{2}}={{\left( \frac{BD}{CD} \right)}^{2}}$(luôn đúng).
Vậy$A{{B}^{3}}.CF=A{{C}^{3}}.BE$.
