Đề kiểm tra giữa HKI Toán 9 THCS Nguyễn Trường Tộ – Năm học 2020 – 2021
Đề kiểm tra giữa HKI Toán 9 THCS Nguyễn Trường Tộ – Năm học 2020 – 2021
Câu 1 (1,5 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau:
a) $A=\sqrt{{{5}^{2}}+{{12}^{2}}}$
b) $B=\sqrt{2}\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)-\sqrt{3}\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)$
c) $D=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+2}-\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-2}$.
Câu 2 (1,5 điểm) Giải các phương trình sau:
a) $\sqrt{x-1}+\sqrt{4x-4}=9$
b) $\sqrt{{{x}^{2}}-9}-x+3=0$
c) $(x+2)(x+3)-2\sqrt{{{x}^{2}}+5x+3}=6$
Câu 3 (3,0 điểm)
Cho $A=\frac{-3\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}$ và $B=\frac{3\sqrt{x}-2}{x-5\sqrt{x}+6}-\frac{1}{\sqrt{x}-2}+\frac{3\sqrt{x}-2}{3-\sqrt{x}}$ với $x\ge 0,~x\ne 4,~x\ne 9$
a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x=16$
b) Chứng minh $B~=~\frac{-3\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}$
c) Tìm $x$ để $B>-3$
d) Với $\text{x}>9,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$đặt $\text{P}=\frac{\text{A}}{\text{B}}$, so sánh $\text{P}$ và 1.
Câu 4 (3,5 điểm)
Tòa nhà Burj Khalifa (Các tiểu vương quốc Ả Rập thống nhất) được khánh thành ngày 4/1/2010 là một công trình kiến trúc cao nhất thế giới. Khi tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc $37{}^\circ $ thì bóng của tòa nhà trên là $1098,79$m. Tính chiều cao của tòa nhà (kết quả cuối cùng được làm tròn đến phần nguyên, các kết quả khác được làm tròn hai chữ số thập phân).
Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Kẻ $HE\bot AB$ tại $E$ và $HF\bot AC$ tại $F$.
a) Cho $HC=16$cm, $HB=9$cm. Tính $AB,AC,AH.$
Lưu ý: các số liệu này chỉ được dùng cho câu a.
b) Chứng minh $AB.AE=AF.AC$ và $HF=\frac{AB.A{{C}^{2}}}{B{{C}^{2}}}$.
c) Chứng minh $B{{E}^{2}}+C{{F}^{2}}\ge E{{F}^{2}}$. Khi nào dấu bằng xảy ra?
Câu 5 (0,5 điểm)
Cho $a,b,c\ge 0$ và thỏa mãn $\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)=8$. Chứng minh $ab+bc+ca\le 3.$
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1 (1,5 điểm)
Tính giá trị các biểu thức sau:
a) $A=\sqrt{{{5}^{2}}+{{12}^{2}}}$
b) $B=\sqrt{2}\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)-\sqrt{3}\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)$
c) $D=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+2}-\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-2}$.
Lời giải
a) $A=\sqrt{{{5}^{2}}+{{12}^{2}}}$$=\sqrt{25+144}$$=\sqrt{169}$$=\sqrt{{{13}^{2}}}$$=13$
b) $B=\sqrt{2}\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right)-\sqrt{3}\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)$ $=\sqrt{2}.\sqrt{3}+\sqrt{2}.\sqrt{2}-\sqrt{3}.\sqrt{3}+\sqrt{3}.\sqrt{2}$
$=\sqrt{6}+2-3+\sqrt{6}$ $=2\sqrt{6}-1$
c) $D=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+2}-\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-2}$$=\frac{\left( \sqrt{5}+1 \right)\left( \sqrt{5}-2 \right)}{\left( \sqrt{5}+2 \right)\left( \sqrt{5}-2 \right)}-\frac{\left( \sqrt{5}-1 \right)\left( \sqrt{5}+2 \right)}{\left( \sqrt{5}+2 \right)\left( \sqrt{5}-2 \right)}$
$=\frac{5-\sqrt{5}-2-\left( 5+\sqrt{5}-2 \right)}{{{(\sqrt{5})}^{2}}-{{2}^{2}}}$$=-2\sqrt{5}$
Câu 2 (1,5 điểm) Giải các phương trình sau:
a) $\sqrt{x-1}+\sqrt{4x-4}=9$
b) $\sqrt{{{x}^{2}}-9}-x+3=0$
c) $(x+2)(x+3)-2\sqrt{{{x}^{2}}+5x+3}=6$
Lời giải
a) $\sqrt{x-1}+\sqrt{4x-4}=9$ (ĐK: $x\ge 1$)
$\Leftrightarrow \sqrt{x-1}+\sqrt{4\left( x-1 \right)}=9$
$\Leftrightarrow \sqrt{x-1}+2\sqrt{x-1}=9$ HSG1-11
$\Leftrightarrow 3\sqrt{x-1}=9$
$\Leftrightarrow \sqrt{x-1}=3$
$\Rightarrow x-1=9$
$\Leftrightarrow x=10\,\,(tm)$
Vậy phương trình có nghiệm: $x=10$
b) $\sqrt{{{x}^{2}}-9}-x+3=0$ (ĐK: $x\ge 3$)
$\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-9}=x-3$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-9={{\left( x-3 \right)}^{2}}$$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-9={{x}^{2}}-6x+9$$\Leftrightarrow 6x=18$$\Leftrightarrow x=3\,\,(tm)$
Vậy phương trình có nghiệm: $x=3$
c) $(x+2)(x+3)-2\sqrt{{{x}^{2}}+5x+3}=6$(ĐK: ${{x}^{2}}+5x+3\ge 0$)
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+5x+6-2\sqrt{{{x}^{2}}+5x+3}-6=0$
$\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+5x+3-2\sqrt{{{x}^{2}}+5x+3}+1 \right)-4=0$
$\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{{{x}^{2}}+5x+3}-1 \right)}^{2}}-{{2}^{2}}=0$
$\Leftrightarrow \left( \sqrt{{{x}^{2}}+5x+3}-1+2 \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+5x+3}-1-2 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( \sqrt{{{x}^{2}}+5x+3}+1 \right)\left( \sqrt{{{x}^{2}}+5x+3}-3 \right)=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+5x+3}-3=0\,\,\,\,\,\,\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}+5x+3}+1>0 \right)$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+5x+3=9$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+5x-6=0$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+6x-x-6=0$
$\Leftrightarrow x(x+6)-(x+6)=0$
$\Leftrightarrow (x-1)(x+6)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x-1=0 \\& x+6=0 \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=1\,\,\,\,\,\,(tm) \\& x=-6\,\,(tm) \\\end{align} \right.$
Vậy nghiệm của phương trình là $x=1\,;x=-6$
Câu 3 (3,0 điểm)
Cho $A=\frac{-3\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}$ và $B=\frac{3\sqrt{x}-2}{x-5\sqrt{x}+6}-\frac{1}{\sqrt{x}-2}+\frac{3\sqrt{x}-2}{3-\sqrt{x}}$ với $x\ge 0,~x\ne 4,~x\ne 9$
a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x=16$
b) Chứng minh $B~=~\frac{-3\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}$
c) Tìm $x$ để $B>-3$
d) Với $\text{x}>9,\text{ }\!\!~\!\!\text{ }$đặt $\text{P}=\frac{\text{A}}{\text{B}}$, so sánh $\text{P}$ và 1.
Lời giải
a) Thay $x=16$ (tmđk) vào $A=\frac{-3\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}=\frac{-3.4+1}{4-3}=-11$
b) $B=\frac{3\sqrt{x}-2}{x-5\sqrt{x}+6}-\frac{1}{\sqrt{x}-2}+\frac{3\sqrt{x}-2}{3-\sqrt{x}}$
$=\frac{3\sqrt{x}-2-\sqrt{x}+3-\left( 3\sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)}{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}-3 \right)}$ HSG1-11
$=\frac{3\sqrt{x}-2-\sqrt{x}+3-3x+6\sqrt{x}+2\sqrt{x}-4}{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}-3 \right)}$
$=\frac{3\sqrt{x}-2-\sqrt{x}+3-3x+6\sqrt{x}+2\sqrt{x}-4}{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}-3 \right)}$
$=\frac{-3x+10\sqrt{x}-3}{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}-3 \right)}$
$=\frac{\left( -3\sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}-3 \right)}{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}-3 \right)}$
$=\frac{-3\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}$
c) $B>-3$ ⇔ $\frac{-3\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}+3>0$ ⇔ $\frac{-3\sqrt{x}+1+3\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}-2}>0$ ⇔ $\frac{-5}{\sqrt{x}-2}>0$
⇔ $\sqrt{x}-2<0$ ⇔ $x<4$
Kết hợp điều kiện: $0\le x<4$
d) $P=\frac{A}{B}=\frac{-3\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}:\frac{-3\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}=\frac{\sqrt{x}-2~~}{\sqrt{x}-1}$
Xét $P-1=\frac{\sqrt{x}-2~~}{\sqrt{x}-1}-1=\frac{-1}{\sqrt{x}-1}$
Với $x>9$ thì $\sqrt{x}-1>0$ ⇔ $P-1<0$ ⇔ $P<1$
Câu 4 (3,5 điểm)
Tòa nhà Burj Khalifa (Các tiểu vương quốc Ả Rập thống nhất) được khánh thành ngày 4/1/2010 là một công trình kiến trúc cao nhất thế giới. Khi tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc $37{}^\circ $ thì bóng của tòa nhà trên là $1098,79$m. Tính chiều cao của tòa nhà (kết quả cuối cùng được làm tròn đến phần nguyên, các kết quả khác được làm tròn hai chữ số thập phân).
Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Kẻ $HE\bot AB$ tại $E$ và $HF\bot AC$ tại $F$.
a) Cho $HC=16$cm, $HB=9$cm. Tính $AB,AC,AH.$
Lưu ý: các số liệu này chỉ được dùng cho câu a.
b) Chứng minh $AB.AE=AF.AC$ và $HF=\frac{AB.A{{C}^{2}}}{B{{C}^{2}}}$.
c) Chứng minh $B{{E}^{2}}+C{{F}^{2}}\ge E{{F}^{2}}$. Khi nào dấu bằng xảy ra?
Lời giải
- Theo đề bài ta có hình vẽ.Xét $\Delta ABC$ vuông tại A ta có$\tan \widehat{ABC}=\frac{AC}{AB}$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)$\Rightarrow \tan 37{}^\circ =\frac{AC}{1098,79}$$\Rightarrow AC=1098,79.\tan 37{}^\circ $$\Rightarrow AC=828$m
Vậy tòa nhà cao 828m.
a) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, chiều cao $AH$ ta có $A{{H}^{2}}=BH.CH$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
$\Rightarrow A{{H}^{2}}=16.9\Rightarrow AH=12$cm
Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$ có $A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}=A{{B}^{2}}$ (định lý Pytago)
$\Rightarrow {{12}^{2}}+{{9}^{2}}=A{{B}^{2}}$$\Rightarrow A{{B}^{2}}=225\Rightarrow AB=15$cm
Xét $\Delta ACH$ vuông tại $H$ có $A{{H}^{2}}+C{{H}^{2}}=A{{C}^{2}}$ (định lý Pytago)
$\Rightarrow {{12}^{2}}+{{16}^{2}}=A{{C}^{2}}$
$\Rightarrow A{{C}^{2}}=400\Rightarrow AC=20$cm
b)
Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$, chiều cao $HE$ ta có: $A{{H}^{2}}=AE.AB$ (hệ thức lượng trong tam giác) (1)
Xét $\Delta ACH$ vuông tại $H$, chiều cao $HF$ ta có: $A{{H}^{2}}=AF.AC$ (hệ thức lượng trong tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra $AE.AB=AF.AC$ (đpcm)
Xét $\Delta ACH$ vuông tại $H$, chiều cao $HF$ ta có: $HF.AC=HA.HC$$\Rightarrow HF=\frac{HA.HC}{AC}$
Mà $HA=\frac{AB.AC}{BC}$ và $HC=\frac{A{{C}^{2}}}{BC}$ HSG1-11
$\Rightarrow HF=\frac{\frac{AB.AC}{BC}.\frac{A{{C}^{2}}}{BC}}{AC}=\frac{\frac{AB.A{{C}^{3}}}{B{{C}^{2}}}}{AC}=\frac{AB.A{{C}^{2}}}{B{{C}^{2}}}$ (đpcm)
c) Ta chứng minh bổ đề: $\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{c}^{2}}+{{d}^{2}} \right)\ge {{\left( ac+bd \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}{{c}^{2}}+{{a}^{2}}{{d}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{b}^{2}}{{d}^{2}}\ge {{a}^{2}}{{c}^{2}}+2abcd+{{b}^{2}}{{d}^{2}}$
$\Leftrightarrow {{a}^{2}}{{d}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}-2abcd\ge 0$
$\Leftrightarrow {{\left( ad-bc \right)}^{2}}\ge 0$ (luôn đúng)
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow ad=bc$ hay $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$
Áp dụng vào bài toán ta có: $\left( B{{E}^{2}}+C{{F}^{2}} \right)\left( A{{E}^{2}}+A{{F}^{2}} \right)\ge {{\left( BE.AE+CF.AF \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow \left( B{{E}^{2}}+C{{F}^{2}} \right).E{{F}^{2}}\ge {{\left( H{{E}^{2}}+H{{F}^{2}} \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow \left( B{{E}^{2}}+C{{F}^{2}} \right).E{{F}^{2}}\ge E{{F}^{4}}$
$\Leftrightarrow B{{E}^{2}}+C{{F}^{2}}\ge E{{F}^{2}}$
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \frac{BE}{AE}=\frac{CF}{AF}$
Mà $\frac{BE}{AE}=\frac{BH}{CH};\,\,\frac{CF}{AF}=\frac{CH}{BH}$$\Rightarrow \frac{BH}{CH}=\frac{CH}{BH}\Leftrightarrow B{{H}^{2}}=C{{H}^{2}}\Leftrightarrow BH=CH$
$\Rightarrow H$ là trung điểm của BC.
Câu 5 (0,5 điểm)
Cho $a,b,c\ge 0$ và thỏa mãn $\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)=8$. Chứng minh $ab+bc+ca\le 3.$
Lời giải
Ta có: $a+b\ge 2\sqrt{ab}$
$b+c\ge 2\sqrt{bc}$
$c+a\ge 2\sqrt{ac}$
⇒ $\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)\ge 8abc$
Lại có:
$\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)+abc=\left( ab+bc+ca \right)\left( a+b+c \right)$
⇒ $\left( ab+bc+ca \right)\left( a+b+c \right)\le \frac{9}{8}\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)$ HSG1-11
⇔ $\left( ab+bc+ca \right)\left( a+b+c \right)\le 9$
⇒ $ab+bc+ca\le \frac{9}{a+b+c}$
⇔$\left( a+b \right)+\left( b+c \right)+\left( c+a \right)\ge 3\sqrt{\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)}$
⇒ $a+b+c\ge 3$
⇒ $ab+bc+ca\le 3$
Dấu “=” xảy ra khi $a=b=c=1$
