Đề kiểm tra giữa HKI Toán 9 THCS Phú Diễn – Năm học 2020 – 2021
Đề kiểm tra giữa HKI Toán 9 THCS Phú Diễn – Năm học 2020 – 2021
Câu 1. Tính giá trị biểu thức .
$1)5\sqrt{20}-3\sqrt{12}+5\sqrt{\frac{1}{5}}-2\sqrt{27}$
$2)\sqrt{125}+2+\sqrt{6-2\sqrt{5}}$
$3)\frac{9}{\sqrt{10}-1}+\frac{5\sqrt{2}-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$
$4)sin32{}^\circ +3{{\cos }^{2}}23{}^\circ -\cos 58{}^\circ +3{{\cos }^{2}}67{}^\circ -\frac{\text{cot}16{}^\circ }{\tan 74{}^\circ }$
Câu 2: Giải các phương trình.
a) $\sqrt{4x+20}-2\sqrt{x+5}+\sqrt{9x+45}=6$.
b) $\sqrt{9{{x}^{2}}-6x+1}=9$.
c) $\sqrt{2x-1}-2\sqrt{x}+1=0$.
Câu 3: Cho hai biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}+3}{x-4}$ và $B=\frac{-4}{x-4}+\frac{1}{\sqrt{x}-2}$ (với $x\ge 0$; $x\ne 4$).
a) Tính giá trị của $A\,$ khi $x=9$.
b) Rút gọn biểu thức $B$.
c) So sánh $P=\frac{A}{B}$ với $1$ khi $x>4$.
Câu 4.
1) Tính chiều cao cột cờ, biết bóng của cột cờ được chiếu bởi ánh sáng của Mặt Trời xuống đất dài $10,5m$và góc tạo bởi tia sáng với mặt đất là $35{}^\circ 4{5}’$
2) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,AH$là đường cao .
a) Biết $BH=3,6cm,CH=6,4cm$ Tính $AH,AC,AB$ và $\widehat{HAC}$
b) Qua $B$ kẻ tia $Bx//AC$, Tia $Bx$ cắt $AH$ tại $K$, Chứng minh: $AH.AK=BH.BC$
c) Kẻ $KE\bot AC$ tại $E$. Chứng minh: $HE=\frac{3}{5}KC$ với số đo đã cho ở câu a
d) Gọi $I$ giao điểm câc đường phân giác các góc trong của tam giác $ABC$. Gọi $r$ là khoảng cách từ $I$ đến cạnh $BC$. Chứng minh: $\frac{r}{AH}\ge \frac{1}{3}$
Câu 5. Cho$x,y$ là hai số thực dương thỏa mãn $x+y\ge 3$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\frac{28}{x}+\frac{1}{y}$
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1. Tính giá trị biểu thức .
$1)5\sqrt{20}-3\sqrt{12}+5\sqrt{\frac{1}{5}}-2\sqrt{27}$
$2)\sqrt{125}+2+\sqrt{6-2\sqrt{5}}$
$3)\frac{9}{\sqrt{10}-1}+\frac{5\sqrt{2}-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$
$4)sin{{32}^{0}}+3{{\cos }^{2}}{{23}^{0}}-\cos {{58}^{0}}+3{{\cos }^{2}}{{67}^{0}}-\frac{\text{cot}{{16}^{0}}}{\tan {{74}^{0}}}$
Lời giải
1) $5\sqrt{20}-3\sqrt{12}+5\sqrt{\frac{1}{5}}-2\sqrt{27}$
$=10\sqrt{5}-6\sqrt{3}+\sqrt{\frac{25}{5}}-6\sqrt{3}=10\sqrt{5}+\sqrt{5}-12\sqrt{3}=11\sqrt{5}-12\sqrt{3}$
2) $\sqrt{125}+2+\sqrt{6-2\sqrt{5}}$
$=5\sqrt{5}+2+\sqrt{{{\left( \sqrt{5}-1 \right)}^{2}}}=5\sqrt{5}+2+\sqrt{5}-1$
$=6\sqrt{5}+1$
3) $\frac{9}{\sqrt{10}-1}+\frac{5\sqrt{2}-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$
$=\frac{9\left( \sqrt{10}+1 \right)}{10-1}+\frac{\sqrt{5}\left( \sqrt{10}-1 \right)}{\sqrt{5}}$
$=\sqrt{10}+1+\sqrt{10}-1=2\sqrt{10}$
4) $sin32{}^\circ +3{{\cos }^{2}}23{}^\circ -\cos 58{}^\circ +3{{\cos }^{2}}67{}^\circ -\frac{\text{cot}16{}^\circ }{\tan 74{}^\circ }$
$=\cos 58{}^\circ +3{{\cos }^{2}}23{}^\circ -\cos 58{}^\circ +3{{\sin }^{2}}23{}^\circ -\frac{\tan 74{}^\circ }{\tan 74{}^\circ }$
$=3\left( {{\cos }^{2}}23{}^\circ +{{\sin }^{2}}23{}^\circ \right)-1=3-1=2$
Giải các phương trình.
a) $\sqrt{4x+20}-2\sqrt{x+5}+\sqrt{9x+45}=6$.
b) $\sqrt{9{{x}^{2}}-6x+1}=9$.
c) $\sqrt{2x-1}-2\sqrt{x}+1=0$.
Lời giải
a) $\sqrt{4x+20}-2\sqrt{x+5}+\sqrt{9x+45}=6$ ĐK: $x\ge -5$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{x+5}-2\sqrt{x+5}+3\sqrt{x+5}=6$
$\Leftrightarrow 3\sqrt{x+5}=6$
$\Leftrightarrow \sqrt{x+5}=2$
$\Leftrightarrow x+5=4$
$\Leftrightarrow x=-1$ (Thỏa mãn)
Vậy $x=-1$.
b) $\sqrt{9{{x}^{2}}-6x+1}=9$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( 3x-1 \right)}^{2}}}=9$
$\Leftrightarrow \left| 3x-1 \right|=9$
TH1: $3x-1=9$
$\Leftrightarrow 3x=10$
$\Leftrightarrow x=\frac{10}{3}$ (Thỏa mãn)
Vậy $x\in \left\{ \frac{10}{3};-\frac{8}{3} \right\}$.
c) $\sqrt{2x-1}-2\sqrt{x}+1=0$ ĐK: $x\ge \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \sqrt{2x-1}=2\sqrt{x}-1$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 2\sqrt{x}-1\ge 0 \\& 2x-1={{\left( 2\sqrt{x}-1 \right)}^{2}} \\\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x\ge \frac{1}{4} \\& 2x-1=4x-4\sqrt{x}+1 \\\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x\ge \frac{1}{4} \\& 2x-4\sqrt{x}+2=0 \\\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x\ge \frac{1}{4} \\& x-2\sqrt{x}+1=0 \\\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x\ge \frac{1}{4} \\& {{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}=0 \\\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x\ge \frac{1}{4} \\& x=1\left( TM \right) \\\end{align} \right.$
Vậy $x=1$.
TH2: $3x-1=-9$
$\Leftrightarrow 3x=-8$
$\Leftrightarrow 3x=-8$
$\Leftrightarrow x=\frac{-8}{3}$ (Thỏa mãn)
Cho hai biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}+3}{x-4}$ và $B=\frac{-4}{x-4}+\frac{1}{\sqrt{x}-2}$ (với $x\ge 0$; $x\ne 4$).
a) Tính giá trị của $A\,$ khi $x=9$.
b) Rút gọn biểu thức $B$.
c) So sánh $P=\frac{A}{B}$ với $1$ khi $x>4$.
Lời giải
a) Với $x=9$(thỏa mãn) $\Rightarrow \sqrt{x}=3$.
Thay $x=9$ và $\sqrt{x}=3$ vào $A\,$ ta được
$A=\frac{\sqrt{x}+3}{x-4}=\frac{3+3}{9-4}=\frac{6}{5}$
Vậy với $x=9$ thì $A=\frac{6}{5}$.
b) $B=\frac{-4}{x-4}+\frac{1}{\sqrt{x}-2}$
$=\frac{-4}{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}+\frac{1}{\sqrt{x}-2}$
$=\frac{-4}{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}+\frac{\sqrt{x}+2}{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}$
$=\frac{\sqrt{x}-2}{\left( \sqrt{x}-2 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}$
$=\frac{1}{\sqrt{x}+2}$.
c) Ta có: $P=\frac{A}{B}=\frac{\sqrt{x}+3}{x-4}:\frac{1}{\sqrt{x}+2}=\frac{\sqrt{x}+3}{\left( \sqrt{x}+2 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)}.\left( \sqrt{x}+2 \right)=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}$
Xét hiệu $P-1=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-1=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}=\frac{5}{\sqrt{x}-2}$
Ta có: $x>4\Leftrightarrow \sqrt{x}>2\Leftrightarrow \sqrt{x}-2>0$
$\Rightarrow \frac{5}{\sqrt{x}-2}>0$
$\Rightarrow P-1>0$
$\Rightarrow P>1$
Vậy $P>1$
Câu 4.
1) Tính chiều cao cột cờ, biết bóng của cột cờ được chiếu bởi ánh sáng của Mặt Trời xuống đất dài $10,5m$và góc tạo bởi tia sáng với mặt đất là $35{}^\circ 4{5}’$
2) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A,AH$là đường cao .
a) Biết $BH=3,6cm,CH=6,4cm$. Tính $AH,AC,AB$ và $\widehat{HAC}$.
b) Qua $B$ kẻ tia $Bx//AC$, tia $Bx$ cắt $AH$ tại $K$. Chứng minh: $AH.AK=BH.BC$.
c) Kẻ $KE\bot AC$ tại $E$. Chứng minh: $HE=\frac{3}{5}KC$ với số đo đã cho ở câu a.
d) Gọi $I$ giao điểm câc đường phân giác các góc trong của tam giác $ABC$. Gọi $r$ là khoảng cách từ $I$ đến cạnh $BC$. Chứng minh: $\frac{r}{AH}\ge \frac{1}{3}$
Lời giải
1)
Gọi $AB$ là chiều cao cột cờ. $AC$ là bóng của cột cờ trên mặt đất
Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$
$AB=AC.\tan C$
$\Rightarrow AB=10,5.\tan 35{}^\circ 4{5}’\approx 6,75(m)$
Vậy cột cờ cao xấp xỉ $6,75(m)$
2)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A;AH\bot BC$
$BC=BH+HC=3,6+6,4=10(cm)$
$A{{H}^{2}}=BH.CH=3,6.6,4$$\Rightarrow AH=4,8(cm)$
$A{{B}^{2}}=BH.BC=3,6.10=36$ $\Rightarrow AB=6(cm)$
$A{{C}^{2}}=CH.BC=6,4.10=64$ $\Rightarrow AC=8(cm)$
Tam giác $AHC$ vuông tại $H$ nên:
$\sin \widehat{HAC}=\frac{HC}{AC}=\frac{6,4}{8}$ $\Rightarrow \widehat{HAC}\approx 53{}^\circ {8}’$
b) Ta có:
$\left. \begin{align}& BK//AC \\& AB\bot AC \\\end{align} \right\}\Rightarrow AB\bot BK$
+)Tam giác $ABC$ vuông tại $A;AH\bot BC$
$\Rightarrow A{{B}^{2}}=BH.BC$
+)Tam giác $ABK$ vuông tại $B;BH\bot AK$
$\Rightarrow A{{B}^{2}}=AH.AK$
Suy ra $AH.AK=BH.BC$
c) Xét tam giác $AHC$ và tam giác $AEK$ có
$\widehat{AHC}=\widehat{AEK}={{90}^{0}}$
$\widehat{CAK}$ chung
Vậy tam giác $\Delta AHC\sim \Delta AEK\,\,\left( g-g \right)$
$\Rightarrow \frac{AH}{AE}=\frac{AC}{AK}$$\Rightarrow \frac{AH}{AC}=\frac{AE}{AK}$
Xét tam giác $AHE$ và tam giác $ACK$ có
$\frac{AH}{AC}=\frac{AE}{AK}$ (cmt)
$\widehat{CAK}$ chung
Vậy tam giác $\Delta AHE\sim \Delta ACK\,\,\,\left( c-g-c \right)$
$\Rightarrow \frac{HE}{CK}=\frac{AH}{AC}=\frac{4,8}{8}=\frac{3}{5}$
$\Rightarrow HE=\frac{3}{5}KC$
d) Kẻ $ID\bot BC$$IM\bot AC$, $IN\bot AB\Rightarrow IM=IN=ID=r$
${{S}_{ABC}}={{S}_{IAB}}+{{S}_{IAC}}+{{S}_{IBC}}$
$\Rightarrow \frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}ID.BC+\frac{1}{2}IM.AC+\frac{1}{2}IN.AB$
$\Rightarrow \frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}ID.BC+\frac{1}{2}IM.AC+\frac{1}{2}IN.AB$
$\begin{align}& \Rightarrow AH.BC=r.BC+r.AC+r.AB \\& \Rightarrow AH.BC=r(BC+AC+AB) \\\end{align}$
Mà $AB<BC;AC<BC$ (Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$)
$\Rightarrow AH.BC=r\left( BC+AC+AB \right)<r\left( BC+BC+BC \right)=3r.BC$
$\Rightarrow AH<3r$
$\Rightarrow \frac{r}{AH}>\frac{1}{3}$
Câu 5. Cho$x,y$là hai số thực dương thỏa mãn $x+y\ge 3$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\frac{28}{x}+\frac{1}{y}$
Lời giải
Ta có: $P=\left( \frac{14}{x}+\frac{14}{x}+\frac{7}{4}{{x}^{2}} \right)+\left( \frac{1}{2y}+\frac{1}{2y}+\frac{{{y}^{2}}}{2} \right)+\left( \frac{1}{4}{{x}^{2}}+\frac{{{y}^{2}}}{2} \right)$
$P=\left( \frac{14}{x}+\frac{14}{x}+\frac{7}{4}{{x}^{2}} \right)+\left( \frac{1}{2y}+\frac{1}{2y}+\frac{{{y}^{2}}}{2} \right)+\frac{1}{4}\left( {{x}^{2}}+4 \right)+\frac{1}{2}\left( {{y}^{2}}+1 \right)-\frac{3}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
+) $\frac{14}{x}+\frac{14}{x}+\frac{7}{4}{{x}^{2}}\ge 3\sqrt[3] {49.7}$ . Dấu $”=”$ xảy ra $\Leftrightarrow x=2$
$\Rightarrow \frac{14}{x}+\frac{14}{x}+\frac{7}{4}{{x}^{2}}\ge 21$
+)$\frac{1}{2y}+\frac{1}{2y}+\frac{{{y}^{2}}}{2}\ge 3\sqrt[3] {\frac{1}{8}}$ . Dấu $”=”$ xảy ra $\Leftrightarrow y=1$
$\Rightarrow \frac{1}{2y}+\frac{1}{2y}+\frac{{{y}^{2}}}{2}\ge \frac{3}{2}$
+) ${{x}^{2}}+4\ge 4x$ . Dấu $”=”$ xảy ra $\Leftrightarrow x=2$
+)${{y}^{2}}+1\ge 2y$ . Dấu $”=”$ xảy ra $\Leftrightarrow y=1$
$\Rightarrow P=\left( \frac{14}{x}+\frac{14}{x}+\frac{7}{4}{{x}^{2}} \right)+\left( \frac{1}{2y}+\frac{1}{2y}+\frac{{{y}^{2}}}{2} \right)+\frac{1}{4}\left( {{x}^{2}}+4 \right)+\frac{1}{2}\left( {{y}^{2}}+1 \right)-\frac{3}{2}\ge 21+\frac{3}{2}+x+y-\frac{3}{2}$
$\Rightarrow P\ge 21+\frac{3}{2}+3-\frac{3}{2}$
$\Rightarrow P\ge 24$. Dấu $”=”$ xảy ra $\Leftrightarrow x=2;y=1$
Vậy ${{P}_{\min }}=24\Leftrightarrow x=2;y=1$
