Đề kiểm tra giữa HKI Toán 9 THCS Sơn Đông – Năm học 2020 – 2021
Đề kiểm tra giữa HKI Toán 9 THCS Sơn Đông – Năm học 2020 – 2021
Bài 1. ( 2 điểm) Tính
a) $5\sqrt{12}+4\sqrt{27}-6\sqrt{48}$
b) $\left( \sqrt{300}-2\sqrt{675}+5\sqrt{75} \right):\sqrt{3}$
c) $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$
d) $\frac{2}{4-2\sqrt{3}}+\frac{2}{4+2\sqrt{3}}$
Bài 2. (2,0 điểm).Giải phương trình :
a) $\sqrt{2x+3}=5$;
b) $5\sqrt{9x+9}-2\sqrt{4x+4}+\sqrt{x+1}=36$.
Bài 3. (2,0 điểm).Cho hai biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}$ và $B=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+2}-\frac{x-6\sqrt{x}-22}{x+5\sqrt{x}+6}\,\,\left( x\ge 0,x\ne 1 \right)$.
a) Tính giá trị của biểu thức $A$ tại $x=25$.
b) Chứng minh $B=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}$.
c) Tìm tất cả các giá trị nguyên của $x$ để $P=A.B$ có giá trị nguyên.
Bài 4. (3,5 điểm)
1) Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 6m. Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng ${{40}^{0}}$. Tính chiều cao của cột đèn (làm tròn đến mét).
2) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao$AH$. Biết $AB=3cm,AC=4cm$.
a) Tính $AH$
b) Gọi $D,E$lần lượt là hình chiếu của $H$ trên $AB$ và $AC$. Chứng minh tam giác $AED$và tam giác $ABC$ đồng dạng.
c) Kẻ trung tuyến $AM$, gọi $N$là giao điểm của $AM$ và $DE$. Tính tỉ số diện tích của tam giác $AND$và tam giác $ABC$
Bài 5. (0,5 điểm). Tìm các số $x\,,\,\,y\,,\,\,z$ thỏa mãn đẳng thức:
$x+y+z+8=2\sqrt{x-1}+4\sqrt{y-2}+6\sqrt{z-3}$
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Bài 1. ( 2 điểm) Tính
a) $5\sqrt{12}+4\sqrt{27}-6\sqrt{48}$ b) $\left( \sqrt{300}-2\sqrt{675}+5\sqrt{75} \right):\sqrt{3}$
c) $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ d) $\frac{2}{4-2\sqrt{3}}+\frac{2}{4+2\sqrt{3}}$
Lời giải
a) $5\sqrt{12}+4\sqrt{27}-6\sqrt{48}$
$=5\sqrt{{{2}^{2}}.3}+4\sqrt{{{3}^{2}}.3}-6\sqrt{{{4}^{2}}.3}$
$=5.2\sqrt{3}+4.3\sqrt{3}-6.4\sqrt{3}$
$=10\sqrt{3}+12\sqrt{3}-24\sqrt{3}$
=$-2\sqrt{3}$
b) $\left( \sqrt{300}-2\sqrt{675}+5\sqrt{75} \right):\sqrt{3}$
$=\left( \sqrt{{{10}^{2}}.3}-2\sqrt{{{15}^{2}}.3}+5\sqrt{{{5}^{2}}.3} \right):\sqrt{3}$
$=\left( 10\sqrt{3}-2.15\sqrt{3}+5.5\sqrt{3} \right):\sqrt{3}$
$=\left( 10-30+25 \right)\sqrt{3}:\sqrt{3}$
$=5\sqrt{3}:\sqrt{3}$$=5$
c) $\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$
$=\frac{\left( \sqrt{5}+\sqrt{3} \right)-\left( \sqrt{5}-\sqrt{3} \right)}{\left( \sqrt{5}+\sqrt{3} \right)\left( \sqrt{5}-\sqrt{3} \right)}$
$=\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5-3}$$=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$
d) $\frac{2}{4-2\sqrt{3}}+\frac{2}{4+2\sqrt{3}}$
$=\frac{2\left( 4+2\sqrt{3} \right)+2\left( 4-2\sqrt{3} \right)}{\left( 4-2\sqrt{3} \right)\left( 4+2\sqrt{3} \right)}$
$=\frac{8+4\sqrt{3}+8-4\sqrt{3}}{{{4}^{2}}-{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}}$
$=\frac{16}{16-12}$$=\frac{16}{4}$$=4$
Bài 2. (2,0 điểm).Giải phương trình :
a) $\sqrt{2x+3}=5$; b) $5\sqrt{9x+9}-2\sqrt{4x+4}+\sqrt{x+1}=36$.
Lời giải
a) Điều kiện: $x\ge \frac{-3}{2}$
$\sqrt{2x+3}=5\Leftrightarrow 2x+3=25\Leftrightarrow x=11$ (nhận)
Vậy nghiệm của phương trình là: $x=11$
b) Điều kiện: $x\ge -1$
$5\sqrt{9x+9}-2\sqrt{4x+4}+\sqrt{x+1}=36\Leftrightarrow 15\sqrt{x+1}-4\sqrt{x+1}+\sqrt{x+1}=36$
$\Leftrightarrow 12\sqrt{x+1}=36\Leftrightarrow \sqrt{x+1}=3\Leftrightarrow x+1=9\Leftrightarrow x=8$ (nhận)
Vậy nghiệm của phương trình $x=8$
Bài 3. (2,0 điểm).Cho hai biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}$ và $B=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+2}-\frac{x-6\sqrt{x}-22}{x+5\sqrt{x}+6}\,\,\left( x\ge 0,x\ne 1 \right)$.
a) Tính giá trị của biểu thức $A$ tại $x=25$.
b) Chứng minh $B=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}$.
c) Tìm tất cả các giá trị nguyên của $x$ để $P=A.B$ có giá trị nguyên.
Lời giải
a) Tại $x=25$, ta được: $A=\frac{\sqrt{25}+2}{\sqrt{25}-1}=\frac{7}{4}$.
$B=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+2}-\frac{x-6\sqrt{x}-22}{x+5\sqrt{x}+6}$ $\left( x\ge 0,x\ne 1 \right)$
$=\frac{x-4+x-9-x+6\sqrt{x}+22}{\left( \sqrt{x}+3 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}=\frac{x+6\sqrt{x}+9}{\left( \sqrt{x}+3 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}=\frac{{{\left( \sqrt{x}+3 \right)}^{2}}}{\left( \sqrt{x}+3 \right)\left( \sqrt{x}+2 \right)}=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}$.
b) $P=A.B=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}.\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-1}=1+\frac{4}{\sqrt{x}-1}$
Để $P=A.B$ có giá trị nguyên thì $\frac{4}{\sqrt{x}-1}$ nguyên
$\Rightarrow 4\vdots \left( \sqrt{x}-1 \right)\Rightarrow \left( \sqrt{x}-1 \right)\in U\left( 4 \right)=\left\{ -4,-2,-1,1,2,4 \right\}$
Khi đó:
$\sqrt{x}-1=-4\Rightarrow \sqrt{x}=-3$ (loại)
$\sqrt{x}-1=-2\Rightarrow \sqrt{x}=-1$ (loại)
$\sqrt{x}-1=-1\Rightarrow x=0$ (thỏa mãn)
$\sqrt{x}-1=1\Rightarrow \sqrt{x}=2\Rightarrow x=4$ (thỏa mãn)
$\sqrt{x}-1=2\Rightarrow \sqrt{x}=3\Rightarrow x=9$ (thỏa mãn)
$\sqrt{x}-1=4\Rightarrow \sqrt{x}=5\Rightarrow x=25$ (thỏa mãn)
Vậy $x\in \left\{ 0,\,4,\,9,\,25 \right\}$.
Bài 4. (3,5 điểm)
1) Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 6m. Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng ${{40}^{0}}$. Tính chiều cao của cột đèn (làm tròn đến mét).
2) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao$AH$. Biết $AB=3cm,AC=4cm$.
a) Tính $AH$
b) Gọi $D,E$lần lượt là hình chiếu của $H$ trên $AB$ và $AC$. Chứng minh tam giác $AED$và tam giác $ABC$ đồng dạng.
c) Kẻ trung tuyến $AM$, gọi $N$là giao điểm của $AM$ và $DE$. Tính tỉ số diện tích của tam giác $AND$và tam giác $ABC$
Lời giải
1) Gọi
$AB$là chiều cao cột đèn.
$AC$ là độ dài bóng của cột đèn
Góc $C$ là góc tạo bởi tia nắng mặt trời với mặt đất.
Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$:
$AB=AC.\tan C$ ( hệ thức cạnh và góc trong tam giác vuông)
$AB=6.\tan {{40}^{0}}\approx 5$ m
Vậy, chiều cao cột đèn xấp xỉ $5$ m.
2)
a) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$:
$\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}$ ( hệ thức lượng trong tam giác vuông )
$\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{{{3}^{2}}}+\frac{1}{{{4}^{2}}}=\frac{25}{144}$
$A{{H}^{2}}=\frac{144}{25}$
$AH=\frac{12}{5}$ (cm)
b) Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$, đường cao$HE$:
$A{{H}^{2}}=AD.AB$ ( hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Xét $\Delta AHC$ vuông tại $H$, đường cao $HD$
$A{{H}^{2}}=AE.AC$ ( hệ thức lượng trong tam giác vuông)
$\Rightarrow AD.AB=AE.AC$
$\Rightarrow \frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
Xét $\Delta ADE$và $\Delta ACB$:
$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$ (chứng minh trên)
$\widehat{BAC}$ chung
$\Rightarrow \Delta ADE\,\,\Delta ACB$ (c-g-c)
c) Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, đường trung tuyến $AM$
$\Rightarrow AM=MB=MC$
$MA=MC$$\Rightarrow \Delta AMC$ cân tại $M$
$\Rightarrow \widehat{MAE}=\widehat{MCA}$
$MA=MB$
$\Rightarrow \Delta AMB$ cân tại $M$
$\Rightarrow \widehat{NAD}=\widehat{ABC}$
Có : $\widehat{OAE}=\widehat{OEA}$
Mà $\widehat{OAE}=\widehat{ABH}$ ( cùng phụ $\widehat{OAD}$)
$\Rightarrow \widehat{ABH}=\widehat{OEA}$
Có : $\widehat{ABH}+\widehat{ACB}=90{}^\circ $
$\Rightarrow \widehat{NAE}+\widehat{NEA}=90{}^\circ $
$\Rightarrow \widehat{ANE}=90{}^\circ $
Xét $\Delta AND$ và $\Delta BAC$:
$\widehat{AND}=\widehat{BAC}=90{}^\circ $
$\widehat{NAD}=\widehat{ABC}$
$\Rightarrow \Delta AND\,\,\Delta BAC$ (g-g)
$\Rightarrow \frac{{{S}_{AND}}}{{{S}_{BAC}}}={{\left( \frac{AD}{BC} \right)}^{2}}$
Có $\Delta AHB$ vuông tại $H$, đường cao $HD$:
$A{{H}^{2}}=AD.AB$
$\Rightarrow AD=\frac{A{{H}^{2}}}{AB}=\frac{{{2,4}^{2}}}{3}=1,92$ (cm)
$\Rightarrow \frac{{{S}_{AND}}}{{{S}_{BAC}}}={{\left( \frac{AD}{BC} \right)}^{2}}={{\left( \frac{1,92}{3} \right)}^{2}}=0,4096$
Bài 5. (0,5 điểm). Tìm các số $x\,,\,\,y\,,\,\,z$ thỏa mãn đẳng thức:
$x+y+z+8=2\sqrt{x-1}+4\sqrt{y-2}+6\sqrt{z-3}$
Lời giải
Điều kiện : $x\ge 1$ ; $y\ge 2$ ; $z\ge 3$
$x+y+z+8=2\sqrt{x-1}+4\sqrt{y-2}+6\sqrt{z-3}$
$\Leftrightarrow x-1-2\sqrt{x-1}+1+y-2-4\sqrt{y-2}+4+z-3-6\sqrt{z-3}+9=0$.
Vì $x\ge 1$; $y\ge 2$; $z\ge 3$ nên ta có
${{\left( \sqrt{x-1}-1 \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{y-2}-2 \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{z-3}-3 \right)}^{2}}=0$
Suy ra ${{\left( \sqrt{x-1}-1 \right)}^{2}}=0$ và ${{\left( \sqrt{y-2}-2 \right)}^{2}}=0$ và ${{\left( \sqrt{z-3}-3 \right)}^{2}}=0$
Suy ra $\sqrt{x-1}=1$ và $\sqrt{y-2}=2$ và $\sqrt{z-3}=3$
Suy ra $x-1=1$ và $y-2=4$ và $z-3=9$
Suy ra $x=2$ và $y=6$ và $z=12$ (thỏa mãn điều kiện )
Vậy $x=2$ và $y=6$ và $z=12$.
