Đề kiểm tra giữa HKI Toán 9 THCS Văn Điển – Năm học 2020 – 2021
Đề kiểm tra giữa HKI Toán 9 THCS Văn Điển – Năm học 2020 – 2021
ĐỀ BÀI
Câu 1 (2,5 điểm) Rút gọn biểu thức mà không dùng bảng số hay máy tính:
a) $5\sqrt{\frac{1}{5}}+\frac{1}{2}\sqrt{20}-\sqrt{45}$ b) $\sqrt{{{\left( 2-3\sqrt{2} \right)}^{2}}}-\sqrt{3+2\sqrt{2}}$
c) $\left( \frac{5-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}-5 \right)\left( \frac{5+\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}+6 \right)$ d) $\frac{\sin 48{}^\circ }{\text{cos 42}{}^\circ }-\text{cos 60}{}^\circ +\tan 27{}^\circ .\tan 63{}^\circ +\sin 30{}^\circ $
(1,5 điểm) Giải phương trình:
a) $\sqrt{4x+20}-3\sqrt{x+5}+\sqrt{16x+80}=15$ b) $\sqrt{{{x}^{2}}+6x+9}-5=8$
c) $\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-4}}=3$
Câu 2 (2 điểm) Với $x\ge 0$ và $x\ne 25$ cho hai biểu thức: $A=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-5}$ và $B=\frac{3}{\sqrt{x}+5}+\frac{20-2\sqrt{x}}{x-25}$
a) Tính $A$ với $x=9$.
b) Chứng minh biểu thức $B=\frac{1}{\sqrt{x}-5}$.
c) Cho $P=\frac{3.B}{A}$.Tìm $x$ nguyên để $P$ có giá trị là một số nguyên.
Câu 3 (3,5điểm) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB=3$cm, $AC=4$ cm
a) Giải tam giác $ABC$
b) Gọi $I$ là trung điểm của $BC$, vẽ $AH\bot BC$. Tính $AH,\,\,AI$
c) Qua $A$ kẻ đường thẳng $xy$ vuông góc với $AI$. Đường thẳng vuông góc với $BC$ tại $B$ cắt $xy$ tại điểm $M$, đường thẳng vuông góc với $BC$ tại $C$ cắt $xy$ tại điểm $N$. Chứng minh: $MB.NC=\frac{B{{C}^{2}}}{4}$
d) Gọi K là trung điểm của $AH$. Chứng minh $B,\,\,K,\,\,N$ thẳng hàng.
Câu 4 (0,5 điểm) Giải phương trình: ${{x}^{2}}+4x+5=2\sqrt{2x+3}$
Hướng dẫn giải
Câu 1 (2,5 điểm) Rút gọn biểu thức mà không dùng bảng số hay máy tính:
a) $5\sqrt{\frac{1}{5}}+\frac{1}{2}\sqrt{20}-\sqrt{45}$ b) $\sqrt{{{\left( 2-3\sqrt{2} \right)}^{2}}}-\sqrt{3+2\sqrt{2}}$
c) $\left( \frac{5-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}-5 \right)\left( \frac{5+\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}+6 \right)$ d) $\frac{\sin 48{}^\circ }{\text{cos 42}{}^\circ }-\text{cos 60}{}^\circ +\tan 27{}^\circ .\tan 63{}^\circ +\sin 30{}^\circ $
Lời giải
a) $5\sqrt{\frac{1}{5}}+\frac{1}{2}\sqrt{20}-\sqrt{45}$
$=5.\frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{1}{2}.2\sqrt{5}-3\sqrt{5}$
$=\sqrt{5}+\sqrt{5}-3\sqrt{5}$
$=-\sqrt{5}$
b) $\sqrt{{{\left( 2-3\sqrt{2} \right)}^{2}}}-\sqrt{3+2\sqrt{2}}$
$=\left| 2-3\sqrt{2} \right|-\sqrt{{{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{2}}}$
$=3\sqrt{2}-2-\left| \sqrt{2}+1 \right|$
$=3\sqrt{2}-2-\sqrt{2}-1$
$=2\sqrt{2}-3$
c) $\left( \frac{5-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}-5 \right)\left( \frac{5+\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}+6 \right)$
=$\left[ \frac{\sqrt{5}\left( \sqrt{5}-1 \right)}{\sqrt{5}}-5 \right]\left[ \frac{\sqrt{5}\left( \sqrt{5}+1 \right)}{1+\sqrt{5}}+6 \right]$
$=\left( \sqrt{5}-6 \right)\left( \sqrt{5}+6 \right)$ HSG1-11
$=5-36$
$=-31$
d) $\frac{\sin 48{}^\circ }{\text{cos 42}{}^\circ }-\text{cos 60}{}^\circ +\tan 27{}^\circ .\tan 63{}^\circ +\sin 30{}^\circ $
$=\frac{\sin 48{}^\circ }{\sin 48{}^\circ }-\sin 30{}^\circ +\tan 27{}^\circ .\cot 27{}^\circ +\sin 30{}^\circ $(vì $42{}^\circ +48{}^\circ =90{}^\circ ;\text{ 27}{}^\circ +63{}^\circ =90{}^\circ ;\text{ 30}{}^\circ +60{}^\circ =90{}^\circ $)
$=1+1$
$=2$
Câu 2 (1,5 điểm) Giải phương trình:
a) $\sqrt{4x+20}-3\sqrt{x+5}+\sqrt{16x+80}=15$ b) $\sqrt{{{x}^{2}}+6x+9}-5=8$
c) $\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-4}}=3$
Lời giải
a) $\sqrt{4x+20}-3\sqrt{x+5}+\sqrt{16x+80}=15$
Điều kiện: $x\ge -5$, khi đó phương trình trở thành
$2\sqrt{x+5}-3\sqrt{x+5}+4\sqrt{x+5}=15$
$\Leftrightarrow 3\sqrt{x+5}=15$
$\Leftrightarrow \sqrt{x+5}=5$
$\Leftrightarrow x+5=25$
$\Leftrightarrow x=20$ (thỏa mãn điều kiện)
Vậy $x=20$.
b) $\sqrt{{{x}^{2}}+6x+9}-5=8$
$\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}=13$
$\Leftrightarrow \left| x+3 \right|=13$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x+3=13 \\& x+3=-13 \\\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=10 \\& x=-16 \\\end{align} \right.$
Vậy $x\in \left\{ -16;10 \right\}$
c)$\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-4}}=3$
Điều kiện: $x>4$, khi đó phương trình trở thành
$\sqrt{x+1}=3\sqrt{x-4}$
$\Leftrightarrow x+1=9\left( x-4 \right)$ HSG1-11
$\Leftrightarrow 9x-x=1+36$
$\Leftrightarrow 8x=37$
$\Leftrightarrow x=\frac{37}{8}$ (thỏa mãn)
Vây $x=\frac{37}{8}$
Câu 3 (2 điểm) Với $x\ge 0$ và $x\ne 25$ cho hai biểu thức: $A=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-5}$ và $B=\frac{3}{\sqrt{x}+5}+\frac{20-2\sqrt{x}}{x-25}$
a) Tính $A$ với $x=9$.
b) Chứng minh biểu thức $B=\frac{1}{\sqrt{x}-5}$.
c) Cho $P=\frac{3.B}{A}$.Tìm $x$ nguyên để $P$ có giá trị là một số nguyên.
Lời giải
a) Thay $x=9$ (thỏa mãn điều kiện) vào $A$ có: $A=\frac{\sqrt{9}+2}{\sqrt{9}-5}=\frac{5}{-2}=\frac{-5}{2}$
b) $B=\frac{3}{\sqrt{x}+5}+\frac{20-2\sqrt{x}}{x-25}$
$B=\frac{3\sqrt{x}-15+20-2\sqrt{x}}{\left( \sqrt{x}-5 \right)\left( \sqrt{x}+5 \right)}$$=\frac{\sqrt{x}+5}{\left( \sqrt{x}-5 \right)\left( \sqrt{x}+5 \right)}=\frac{1}{\sqrt{x}-5}$(đpcm)
c) $P=\frac{3.B}{A}=\frac{3}{\sqrt{x}-5}:\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-5}=\frac{3}{\sqrt{x}+2}$
$P$ có giá trị nguyên $\Leftrightarrow $$3\vdots \left( \sqrt{x}+2 \right)$$\Leftrightarrow $$\sqrt{x}+2\in U\left( 3 \right)=\left\{ \pm 1;\pm 3 \right\}$ HSG1-11
Mà $\sqrt{x}+2\ge 2$ với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện
$\Rightarrow $$\sqrt{x}+2=3$$\Leftrightarrow $$x=1$ (thỏa mãn điều kiện)
Vậy $x=1$ để $P$ có giá trị là một số nguyên.
Câu 4 (3,5điểm) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AB=3$cm, $AC=4$cm
a) Giải tam giác $ABC$
b) Gọi $I$ là trung điểm của $BC$, vẽ $AH\bot BC$. Tính $AH,\,\,AI$
c) Qua $A$ kẻ đường thẳng $xy$ vuông góc với $AI$. Đường thẳng vuông góc với $BC$ tại $B$ cắt $xy$ tại điểm $M$, đường thẳng vuông góc với $BC$ tại $C$ cắt $xy$ tại điểm $N$. Chứng minh: $MB.NC=\frac{B{{C}^{2}}}{4}$
d) Gọi K là trung điểm của $AH$. Chứng minh $B$, $K$, $N$ thẳng hàng.
Lời giải
a) Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta ABC$ vuông tại $A$, ta được:$B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}$
Thay số: $B{{C}^{2}}={{3}^{2}}+{{4}^{2}}$
$B{{C}^{2}}=25$$\Rightarrow BC=5$ cm.
*) Ta có $\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{5}$
$\Rightarrow \widehat{B}\approx 53{}^\circ {7}’$
Ta có: $\widehat{B}+\widehat{C}=90{}^\circ $
$\Rightarrow \widehat{C}\approx 90{}^\circ -53{}^\circ {7}’=36{}^\circ 5{3}’$
b) Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta ABC$ vuông tại $A$, ta được:
$\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}$
Thay số: $\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{{{3}^{2}}}+\frac{1}{{{4}^{2}}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{AH^{2}}=\dfrac{25}{\left( 3.4 \right)^{2}}$
$\Rightarrow AH^{2}=\dfrac{12^{2}}{25}$
$\Rightarrow AH=\frac{12}{5}$ cm.
*) $\Delta ABC$ vuông tại $A$, có $AI$ là trung tuyến
$\Rightarrow AI=\frac{1}{2}BC$ (tính chất tam giác vuông)
$\Rightarrow AI=\frac{1}{2}.5=\frac{5}{2}cm$
c) *) Ta có:
$\widehat{BAM}+\widehat{BAI}=90{}^\circ \,\,\,\,\left( do\,AI\bot MN \right)$
$\widehat{CAI}+\widehat{BAI}=90{}^\circ \,\,\left( do\,\widehat{BAC}=90{}^\circ \right)$ HSG1-11
$\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{CAI}\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$
*) Ta có:$\widehat{MBA}+\widehat{ABC}=90{}^\circ \,\,\left( do\,\,BM\bot BC \right)$
$\widehat{ACB}+\widehat{ABC}=90{}^\circ $ (do $\Delta ABC$ vuông tại $A$)
$\Rightarrow \widehat{MBA}=\widehat{ACB}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$
*) Xét $\Delta AMB$ và $\Delta AIC$, từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ $\Rightarrow \Delta AMB\backsim \Delta AIC$
$\Rightarrow \frac{MB}{IC}=\frac{AB}{AC}$ (tính chất tam giác đồng dạng) $\left( 3 \right)$
*) Ta cũng chứng minh được $\Delta ABI\,\,\Delta ACN$
$\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{BI}{CN}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)$
Từ $\left( 3 \right)$ và $\left( 4 \right)$ $\Rightarrow \frac{MB}{IC}=\frac{BI}{CN}$
$\Rightarrow MB.CN=IC.BI$
Mà $IC=BI=\frac{BC}{2}$
$\Rightarrow MB.CN=\frac{B{{C}^{2}}}{4}$.
d) Gọi $F=BN\cap AH;\,\,E=AB\cap CN$
Có $AH\,\text{//}\,CN$ (Vì cùng vuông góc với BC)
+) $\Delta BCN$ có: $FH\,\text{//}\,CN\Rightarrow \frac{FH}{CN}=\frac{BF}{BN}$ (định lý talet) $\left( 5 \right)$
+) $\Delta BEN$ có: $AF\,\text{//}\,EN\Rightarrow \frac{AF}{EN}=\frac{BF}{BN}$ (định lý talet) $\left( 6 \right)$
Ta chứng minh được: $\Delta AIN=\Delta CIN\,\,\,\left( ch-cgv \right)$
$\Rightarrow AN=CN$
$\Delta ACE$ vuông tại $A$, $AN=CN\Leftrightarrow AN=NE$
$\Rightarrow CN=EN\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 7 \right)$
Từ $\left( 5 \right);\,\,\left( 6 \right)$ và $\left( 7 \right)$ $\Rightarrow FH=AF$
$\Rightarrow F$ là trung điểm của $AH$
Mà $K$ là trung điểm của $AH$ (giả thiết)
$\Rightarrow F\equiv K$
$\Rightarrow B$, $K$, $N$ thẳng hàng.
Câu 5 (0,5 điểm) Giải phương trình: ${{x}^{2}}+4x+5=2\sqrt{2x+3}$
Lời giải
Ta có ${{x}^{2}}+4x+5=2\sqrt{2x+3}$
$\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+2x+1 \right)+\left( 2x+3-2\sqrt{2x+3}+1 \right)=0$
$\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{2x+3}-1 \right)}^{2}}=0$ HSG1-11
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x+1=0 \\& \sqrt{2x+3}-1=0 \\\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow x=-1$
Vậy phương trình trên có nghiệm $x=-1$
