Đề kiểm tra giữa HKI Toán 9 THCS Vạn Phúc – Năm học 2020 – 2021

Đề kiểm tra giữa HKI Toán 9 THCS Vạn Phúc – Năm học 2020 – 2021

Câu 1 (2 điểm). Rút gọn các biểu thức sau

a)$\,16\sqrt{\frac{1}{2}}-3\sqrt{8}-2{{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{2}}$

b)$\frac{1}{2-\sqrt{3}}+\frac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}-\sqrt{{{\left( \sqrt{2}-\sqrt{3} \right)}^{2}}}$

c)$\sqrt[3] {-27}+\sqrt{2}.\sqrt{8}$

d)$\frac{\sin 25{}^\circ }{co\operatorname{s}65{}^\circ }+{{\sin }^{2}}35{}^\circ -\left( 2023-co{{\operatorname{s}}^{2}}35{}^\circ  \right)$.

Câu 2 (1,5 điểm). Tìm $x$ biết

a)$\,\sqrt{{{\left( \sqrt{x}-3 \right)}^{2}}}=2$

b) $2\,\sqrt{4x-4}-\frac{1}{3}\sqrt{9x-9}-6=0$.

Câu 3 (2,5 điểm). Cho hai biểu thức

$A=\frac{1}{x+2\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}+2}$ và $B=\frac{1-\sqrt{x}}{x+4\sqrt{x}+4}\left( x>0;x\ne 1 \right)$

a) Tính giá trị của $B$ tại $x=4$.

b) Đặt $P=A:B$, rút gọn $P$.

c) Tìm $x$ để $P>2$.

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của $P+\sqrt{x}$.

Câu 4 (1 điểm). Ở một thời điểm trong ngày, một cột cờ cao $11\,\text{m}$ có bóng trên mặt đất dài $6\,\text{m}$. Hỏi góc giữa tia sáng mặt trời và bóng cột cờ là bao nhiêu ? (làm tròn đến phút).

Câu 5 (2,5 điểm ). Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=9\,\text{cm},\,\,BC=12\,\text{cm}$. Kẻ $AH$ vuông góc với $BD$ tại$H$.

a) Tính $BD,\,AH$ và số đo góc $ABD$?

b) Kẻ $HI$ vuông góc với $AB$.Chứng minh $AI.AB=DH.HB$.

c) Đường thẳng $AH$ cắt $BC$ tại $M$ và cắt $DC$ tại $N$.Chứng minh $H{{A}^{2}}=HM.HN$.

(Làm tròn kết quả độ dài đến chữ số thập phân thứ 3, số đo góc đến độ )

Câu 6 (0,5 điểm). Tìm $x,y$ thỏa mãn phương trình $\frac{36}{\sqrt{x-2}}+\frac{4}{\sqrt{y-1}}=28-4\sqrt{x-2}-\sqrt{y-1}$.

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu 1 (2 điểm). Rút gọn các biểu thức sau

a)$\,16\sqrt{\frac{1}{2}}-3\sqrt{8}-2{{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{2}}$

b)$\frac{1}{2-\sqrt{3}}+\frac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}-\sqrt{{{\left( \sqrt{2}-\sqrt{3} \right)}^{2}}}$

c)$\sqrt[3] {-27}+\sqrt{2}.\sqrt{8}$

d)$\frac{\sin 25{}^\circ }{co\operatorname{s}65{}^\circ }+{{\sin }^{2}}35{}^\circ -\left( 2023-co{{\operatorname{s}}^{2}}35{}^\circ  \right)$.

Lời giải

a) $16\sqrt{\frac{1}{2}}-3\sqrt{8}-2{{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{2}}$

$=16\frac{\sqrt{2}}{2}-3.2\sqrt{2}-2\left( 2-2\sqrt{2}+1 \right)$

$=8\sqrt{2}-6\sqrt{2}-6+4\sqrt{2}$

$=6\sqrt{2}-6$.

b) $\frac{1}{2-\sqrt{3}}+\frac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}-\sqrt{{{\left( \sqrt{2}-\sqrt{3} \right)}^{2}}}$

Read:   Đề kiểm tra giữa HKI Toán 9 THCS Nguyễn Công Trứ - Hà Nội – Năm học 2020 – 2021

$=\frac{2+\sqrt{3}}{\left( 2-\sqrt{3} \right)\left( 2+\sqrt{3} \right)}+\frac{\sqrt{2}\left( 1+\sqrt{2} \right)}{1+\sqrt{2}}-\left| \sqrt{2}-\sqrt{3} \right|$

$=2+\sqrt{3}+\sqrt{2}-\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right)$

$=2+2\sqrt{2}$.

c)$\,\sqrt[3] {-27}+\sqrt{2}.\sqrt{8}$

$=-3+\sqrt{2.8}$

$=-3+\sqrt{16}$

$=-3+4$

$=1$.

d)$\frac{\sin 25{}^\circ }{\cos 65{}^\circ }+{{\sin }^{2}}35{}^\circ -\left( 2023-{{\cos }^{2}}35{}^\circ  \right)$

$=\frac{\sin 25{}^\circ }{\sin 25{}^\circ }+{{\sin }^{2}}35{}^\circ -2023+{{\cos }^{2}}35{}^\circ $

$=1+1-2023=-2021$.

Câu 2 (1,5 điểm). Tìm $x$ biết

a)$\,\sqrt{{{\left( \sqrt{x}-3 \right)}^{2}}}=2$

b) $2\,\sqrt{4x-4}-\frac{1}{3}\sqrt{9x-9}-6=0$.

Lời giải

a)$\sqrt{{{\left( \sqrt{x}-3 \right)}^{2}}}=2$  Điều kiện: $x\ge 0$.

$\,\sqrt{{{\left( \sqrt{x}-3 \right)}^{2}}}=2$

$\Leftrightarrow \left| \sqrt{x}-3 \right|=2$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& \sqrt{x}-3=2 \\& \sqrt{x}-3=-2 \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& \sqrt{x}=5 \\& \sqrt{x}=1 \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=25 \\& x=1 \\\end{align} \right.$.

Vậy $x=25\,;\,x=1$.

b)$2\sqrt{4x-4}-\frac{1}{3}\sqrt{9x-9}-6=0$

Điều kiện: $x\ge 1$

$2\sqrt{4x-4}-\frac{1}{3}.\sqrt{9x-9}-6=0$

$\Leftrightarrow \,2\,\sqrt{4(x-1)}-\frac{1}{3}.\sqrt{9(x-1)}=6$

$\Leftrightarrow 2.2\sqrt{x-1}-\frac{1}{3}.3.\sqrt{x-1}=6$

$\Leftrightarrow 4\sqrt{x-1}-\sqrt{x-1}=6$

$\Leftrightarrow 3\sqrt{x-1}=6$

$\Leftrightarrow \sqrt{x-1}=2$

$\Leftrightarrow x-1=4$

$\Leftrightarrow x=5\,(TM)$

Vậy $x=5$.

Câu 3 (2,5 điểm). Cho hai biểu thức

$A=\frac{1}{x+2\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}+2}$ và $B=\frac{1-\sqrt{x}}{x+4\sqrt{x}+4}\left( x>0;x\ne 1 \right)$.

a) Tính giá trị của $B$ tại $x=4$.

b) Đặt $P=A:B$, rút gọn $P$.

c) Tìm $x$ để $P>2$.

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của $P+\sqrt{x}$.

Lời giải

a) Thay $x=4$(thỏa mãn) vào $B$ ta được

$B=\frac{1-\sqrt{4}}{4+4\sqrt{4}+4}=\frac{1-2}{4+4.2+4}=\frac{-1}{16}$

Vậy $x=4$ thì $B=\frac{-1}{16}$

b) Rút gọn $P=A:B$

$P=A:B=\left( \frac{1}{x+2\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}+2} \right):\frac{1-\sqrt{x}}{x+4\sqrt{x}+4}\left( x>0;x\ne 1 \right)$

$P=\left( \frac{1}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+2 \right)}-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+2 \right)} \right):\frac{1-\sqrt{x}}{{{\left( \sqrt{x}+2 \right)}^{2}}}$

$P=\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+2 \right)}.\frac{{{\left( \sqrt{x}+2 \right)}^{2}}}{1-\sqrt{x}}$

$P=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}$.

c) Tính các giá trị của $x$ để $P>2$.

$P>2\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}>2\Leftrightarrow \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}-2>0$$\Leftrightarrow \frac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}>0$ $\left( x>0;x\ne 1 \right)$

Theo ĐK ta có $x>0\Leftrightarrow \sqrt{x}>0$

$\frac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}>0\Leftrightarrow 2-\sqrt{x}>0\Leftrightarrow \sqrt{x}<2\Leftrightarrow x<4$. Kết hợp với điều kiện ta được $0<x<4,x\ne 1$.

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của $P+\sqrt{x}$

$P+\sqrt{x}=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}=1+\frac{2}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}$ $\left( x>0;x\ne 1 \right)$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có $P+\sqrt{x}=1+\frac{2}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}\ge 1+2\sqrt{\frac{2}{\sqrt{x}}.\sqrt{x}}=1+2\sqrt{2}$

Read:   Đề kiểm tra giữa HKI Toán 9 THCS Sơn Đông – Năm học 2020 – 2021

Dấu bằng xảy ra $\sqrt{x}=\frac{2}{\sqrt{x}}\Leftrightarrow x=2$ (thỏa mãn).

Vậy $\min \,\left( P+\sqrt{x} \right)=1+2\sqrt{2}\Leftrightarrow x=2$.

Câu 4 (1 điểm). Ở một thời điểm trong ngày, một cột cờ cao $11\,\text{m}$ có bóng trên mặt đất dài $6\,\text{m}$. Hỏi góc giữa tia sáng mặt trời và bóng cột cờ là bao nhiêu ? (làm tròn đến phút).

Lời giải

Giả sử $AB$ là cột cờ, $AC$ là bóng cột cờ. $\widehat{ACB}$ là góc giữa tia sáng mặt trời và bóng cột cờ

Xét tam giác $ABC$vuông tại $A$có $\tan \widehat{ACB}=\frac{AB}{AC}=\frac{11}{6}\Rightarrow \widehat{ACB}=61{}^\circ 23’$.

Câu 5 (2,5 điểm ). Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=9\,\text{cm},\,\,BC=12\,\text{cm}$. Kẻ $AH$ vuông góc với $BD$ tại$H$.

a) Tính $BD,\,AH$ và số đo góc $ABD$?

b) Kẻ $HI$ vuông góc với $AB$.Chứng minh $AI.AB=DH.HB$.

c) Đường thẳng $AH$ cắt $BC$ tại $M$ và cắt $DC$ tại $N$. Chứng minh $H{{A}^{2}}=HM.HN$.

(Làm tròn kết quả độ dài đến chữ số thập phân thứ 3, số đo góc đến độ )

Lời giải

a) Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông $ABD$.

$B{{D}^{2}}=A{{D}^{2}}+A{{B}^{2}}={{12}^{2}}+{{9}^{2}}\Rightarrow BD=15\,\text{cm}$.

Áp dụng heeh thức lượng trong tam giác vuông$ABD$.

$\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{D}^{2}}}\Rightarrow \frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{{{9}^{2}}}+\frac{1}{{{12}^{2}}}\Rightarrow AH=\frac{36}{5}$.

Ta có $\sin ABD=\frac{AH}{AB}\Rightarrow \sin ABD=\frac{4}{5}\Rightarrow \widehat{ABD}=53{}^\circ $.

b) Trong tam giác vuông$AHB$ có $A{{H}^{2}}=AI.AB$.

Trong tam giác vuông $ABD$ có $A{{H}^{2}}=BH.HD$.

$\Rightarrow AI.AB=BH.DH$.

c) Trong tam giác vuông $ADN$ có $D{{H}^{2}}=AH.HN$.

Trong tam giác vuông $ABM$ có$B{{H}^{2}}=AH.HM$.

Trong tam giác vuông $ABD$ có $A{{H}^{2}}=BH.HD$.

$\,\,\,\,\,\,D{{H}^{2}}.B{{H}^{2}}=A{{H}^{2}}.HN.HM$

$\Rightarrow {{\left( DH.BH \right)}^{2}}=A{{H}^{2}}.HN.HM$

$\Rightarrow A{{H}^{4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}}=A{{H}^{2}}.HN.HM$.

$\Rightarrow A{{H}^{2}}=HN.HM$.

(0,5 điểm). Tìm$x$,$y$ thỏa mãn phương trình $\frac{36}{\sqrt{x-2}}+\frac{4}{\sqrt{y-1}}=28-4\sqrt{x-2}-\sqrt{y-1}$.

Lời giải

ĐKXĐ:
$\left\{ \matrix{
x – 2 > 0 \hfill \cr
y – 1 > 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
x > 2 \hfill \cr
y > 1 \hfill \cr} \right.$

Read:   Đề kiểm tra giữa HKI Toán 9 THCS Phú Diễn – Năm học 2020 – 2021

$\frac{36}{\sqrt{x-2}}+\frac{4}{\sqrt{y-1}}=28-4\sqrt{x-2}-\sqrt{y-1}$

$\Leftrightarrow \frac{36}{\sqrt{x-2}}+4\sqrt{x-2}+\frac{4}{\sqrt{y-1}}+\sqrt{y-1}=28$

Áp dụng bất dẳng thức cô si:

$\frac{36}{\sqrt{x-2}}+4\sqrt{x-2}\ge 2\sqrt{\frac{36}{\sqrt{x-2}}.4\sqrt{x-2}}=2\sqrt{36.4}=24$

$\frac{4}{\sqrt{y-1}}+\sqrt{y-1}\ge 2\sqrt{\frac{4}{\sqrt{y-1}}.\sqrt{y-1}}=2\sqrt{4}=4$.

Do đó:

$\frac{36}{\sqrt{x-2}}+4\sqrt{x-2}+\frac{4}{\sqrt{y-1}}+\sqrt{y-1}\ge 24+4=28$

Dấu “=” xảy ra  khi và chỉ khi :

$\left\{ \begin{align}& \frac{36}{\sqrt{x-2}}=4\sqrt{x-2} \\& \frac{4}{\sqrt{y-1}}=\sqrt{y-1} \\\end{align} \right.$
$\left\{ \matrix{
4(x – 2) = 36 \hfill \cr
y – 1 = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 11 \hfill \cr
y = 5 \hfill \cr} \right.$

Đối chiếu Đk ta thấy $x,y$ đều thỏa mãn .

Hình đại diện của người dùng

admin

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *