Đề luyện thi HSG Toán 9 – Số 01

ĐỀ LUYỆN THI HSG 9 SỐ 01

Câu 1: Tìm điều kiện để căn thức sau có nghĩa $\sqrt{\frac{x-3}{x+2}}$

Câu 2: Cho x, y, z là ba số thực thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}x^2+2 y+1=0 \\ y^2+2 z+1=0 \\ z^2+2 x+1=0\end{array}\right.$.

Tính giá trị biểu thức $B=\frac{x+y+z}{x^{2023}+y^{2023}+z^{2023}}$.

Câu 3: Chứng minh rằng $C=n^3-12 n^2+41 n-42$ chia hết cho 6 với mọi số nguyên $\mathrm{n}$.

Câu 4: Tại một tòa nhà cao tầng, hai bạn Hòa và Bình đều nhìn thấy một trạm thu phát sóng. Hòa đứng dưới tầng trệt tại vị trí $\mathrm{D}$, nhìn lên đỉnh cột thu phát sóng với góc $52^0$ so với phương nằm ngang. Bình đứng trên tầng thượng tại vị trí $\mathrm{B}$, nhìn lên đỉnh cột thu phát sóng với góc $44^{\circ}$ so với phương nằm ngang. Biết khoảng cách giữa hai bạn là $31 \mathrm{~m}$ (như hình vẽ bên). Tính chiều cao $\mathrm{AE}$ của cột thu phát sóng (làm tròn đến mét).

(Bỏ qua chiều cao các bạn ấy)

Cho biết:

$\sin {{52}^{{}^\circ }}\approx 0,79;\cos {{52}^{{}^\circ }}\approx 0,62;\tan {{52}^{{}^\circ }}\approx 1,28,\sin {{44}^{{}^\circ }}\approx 0,69;\cos {{44}^{{}^\circ }}\approx 0,72;\tan {{44}^{{}^\circ }}\approx 0,97$

Câu 5: Cho tam giác $\mathrm{ABC}$ vuông tại $\mathrm{C}$, đường cao $\mathrm{CH}$. Lấy điểm $\mathrm{E}$ thuộc đoạn $\mathrm{CH}$, vẽ $\mathrm{BD}$ vuông góc với $\mathrm{AE}$ tại $\mathrm{D}$. Chứng minh: $A B^2=A E \cdot A D+B A \cdot B H$.

Câu 6: Nhân dịp sơ kết một đợt thi đua của lớp $9 \mathrm{~A}$, giáo viên chủ nhiệm giao cho bạn lớp trưởng số tiền 200 nghìn đồng mua vở và bút bi để gói thành 5 phần quà, thưởng cho các bạn xuất sắc nhất. Giá một quyển vở là 12 nghìn đồng, giá một cây bút bi là 5 nghìn đồng. Biết rằng số vở và bút bi được chia đều vào các phần quà. Hỏi bạn lớp trưởng cần mua bao nhiêu quyển vở và bao nhiêu cây bút bi để số tiền còn dư là it nhất?

Câu 7: Một người muốn mua một cái tủ lạnh để sử dụng trong gia đình. Cửa hàng chỉ có hai loại tủ lạnh: Loại thứ nhất giá 9000000 đồng và tiêu thụ 500kwh điện mỗi năm, loại thứ hai giá 10000000 đồng và tiêu thụ 400kwh điện mỗi năm. Giá mỗi kwh điện là 2200 đồng.

a) Viết biểu thức tính y (tổng số tiền chi phí) theo x (năm) cho mỗi loại tủ lạnh;

b) Người đó cần sử dụng tủ lạnh loại thứ hai ít nhất bao nhiêu năm thì chi phí tiết kiệm hơn so với sử dụng tủ lạnh loại thứ nhất?

Câu 8: Cho tam giác $\mathrm{ABC}$ có đường cao $\mathrm{BH}$, đường trung tuyến $\mathrm{CE}$, đường phân giác $\mathrm{AD}$ đồng quy tại điểm I. Chứng minh: $\frac{\cos A}{\cos C}=\frac{B C}{A C}$.

Câu 9: Cho tứ giác ABCD có $\widehat{A}+\widehat{C}={{180}^{0}}$,$AB=AD$. Chứng minh rằng CA là phân giác của góc BCD.

Câu 10: Cho a, b, c đôi một khác nhau và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$, Rút gọn :

$C=\frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+2bc}+\frac{{{b}^{2}}}{{{b}^{2}}+2ac}+\frac{{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}+2ab}$