Đề ôn thi HSG Toán 9 Huyện Phú Xuyên – Năm học 2022 – 2023

Đề ôn thi HSG Toán 9 Huyện Phú Xuyên – Năm học 2022 – 2023

 Câu 1       (4 điểm):Cho biểu thức $P=\left[ \frac{2}{3\sqrt{x}}-\frac{2}{\sqrt{x}+1}\left( \frac{\sqrt{x}+1}{3\sqrt{x}}-\sqrt{x}-1 \right) \right] :\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$

1. Rút gọn biểu thức P
2. Tìm giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên.
3. Cho $M=\sqrt{x}.P$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $M$, biết $x\ge 4$.

Câu 2       (3,5 điểm): Giải phương trình sau

1. $\text{ }\sqrt{9{{x}^{2}}-6x+1}=2x+1$;
2. $\text{ }\sqrt{x+7}+6\sqrt{x}-3x=9-\sqrt{11-x}$.

Câu 3       (4,5 điểm):

1. Cho $p=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}$. Chứng minh $p$ là số hữu tỉ;
2. Giải bất phương trình sau: $\frac{3\sqrt{x}-10}{\sqrt{x}-5}>4$;
3. Tìm số nguyên $x$, $y$ biết: ${{x}^{2}}+xy-2020x-2021y-2022=0$.

 

Câu 4       (7.0 điểm):

1) Cho tam giác $ABC$ có $AH$, $BK$, $CI$ là ba đường cao. Chứng minh:
a. $\Delta AKI$ đồng dạng với $\Delta ABC$.
b. $AK.BI.CH=AB\cdot BC\cdot CA\cdot \cos A\cos B\cos C$.

2) Cho hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $4$. Trên hai cạnh $AB$ và $AD$ lần lượt lấy hai điểm $E,F$ sao cho $EC$ là phân giác $\widehat{BEF}$. Trên tia $AB$ lấy điểm $K$ sao cho $BK=DF$.
a) Tam giác $CKF$ là tam giác gì? Vì sao?
b) Chứng minh $EF=EK$.
c) Xác định vị trí của $E,F$ sao cho diện tích tam giác $CEF$ lớn nhất.

Câu 5      (1,0 điểm):
Cho ba số  dương $a,b,c$ thỏa mãn: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=abc$.

 ===Hết===

 Hướng dẫn giải

 

Câu 1       (4 điểm):Cho biểu thức $P=\left[ \frac{2}{3\sqrt{x}}-\frac{2}{\sqrt{x}+1}\left( \frac{\sqrt{x}+1}{3\sqrt{x}}-\sqrt{x}-1 \right) \right] :\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$

1. Rút gọn biểu thức P
2. Tìm giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên.
3. Cho $M=\sqrt{x}.P$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $M$, biết $x\ge 4$.

Lời giải

1. ĐKXĐ: $x>0;x\ne 1$

$P=\left[ \frac{2}{3\sqrt{x}}-\frac{2}{\sqrt{x}+1}\left( \frac{\sqrt{x}+1}{3\sqrt{x}}-\sqrt{x}-1 \right) \right] :\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$

$P=\left[ \frac{2}{3\sqrt{x}}-\frac{2}{\sqrt{x}+1}\left( \frac{\sqrt{x}+1-3x-3\sqrt{x}}{3\sqrt{x}} \right) \right] :\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$

$=\left[ \frac{2}{3\sqrt{x}}-\frac{2}{\sqrt{x}+1}\left( \frac{\left( \sqrt{x}+1 \right)-3\sqrt{x}\left( \sqrt{x}+1 \right)}{3\sqrt{x}} \right) \right] :\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$

$=\left[ \frac{2}{3\sqrt{x}}-\frac{2}{\sqrt{x}+1}\left( \frac{\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( 1-3\sqrt{x} \right)}{3\sqrt{x}} \right) \right] :\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}=\left[ \frac{2}{3\sqrt{x}}-\frac{2\left( 1-3\sqrt{x} \right)}{3\sqrt{x}} \right] :\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$

$=\left[ \frac{2-2+6\sqrt{x}}{3\sqrt{x}} \right] :\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$.

Vậy $P=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$.

2. $P\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\in \mathbb{Z}$ $\Leftrightarrow \frac{2\left( \sqrt{x}-1 \right)+2}{\sqrt{x}-1}\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow 2+\frac{2}{\sqrt{x}-1}\in \mathbb{Z}$

Do đó $\sqrt{x}-1\in $Ư(2) = $\left\{ \pm 1;\pm 2 \right\}$ $\Rightarrow x\in \left\{ 0;4;9 \right\}$

3. $M=\sqrt{x}.P=\sqrt{x}.\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}=\frac{2x}{\sqrt{x}-1}$ với $x\ge 4$

Ta có $M=\frac{2x}{\sqrt{x}-1}=\frac{2\left( \sqrt{x}+1 \right)\left( \sqrt{x}-1 \right)+2}{\left( \sqrt{x}-1 \right)}=2\left( \sqrt{x}+1 \right)+\frac{2}{\sqrt{x}-1}=2\left( \sqrt{x}-1 \right)+\frac{2}{\sqrt{x}-1}+4$

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có $2\left( \sqrt{x}-1 \right)+\frac{2}{\sqrt{x}-1}\ge 2\sqrt{2\left( \sqrt{x}-1 \right).\frac{2}{\sqrt{x}-1}}=4$

$\Rightarrow M\ge 4+4=8$; $M=8\Leftrightarrow {{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}=1\Leftrightarrow x=4$.

Vậy $MinM=8\Leftrightarrow x=4$

Câu 2       (3,5 điểm): Giải phương trình sau

1. $\text{ }\sqrt{9{{x}^{2}}-6x+1}=2x+1$;
2. $\text{ }\sqrt{x+7}+6\sqrt{x}-3x=9-\sqrt{11-x}$.

Lời giải

1. $\text{ }\sqrt{9{{x}^{2}}-6x+1}=2x+1\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( 3x-1 \right)}^{2}}}=2x+1\Leftrightarrow \left| 3x-1 \right|=2x+1$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 2x+1\ge 0 \\& 3x-1=\pm \left( 2x+1 \right) \\\end{align} \right.$

*) $2x+1\ge 0\Leftrightarrow x\ge \frac{-1}{2}$

+) $3x-1=2x+1\Leftrightarrow x=2\left( t.m \right)$

+) $3x-1=-2x-1\Leftrightarrow x=0\left( t.m \right)$

Vậy $x\in \left\{ 0;2 \right\}$.

2. $\text{ }\sqrt{x+7}+6\sqrt{x}-3x=9-\sqrt{11-x}$

ĐKXĐ: $0\le x\le 11$

$\text{ }\sqrt{x+7}+6\sqrt{x}-3x=9-\sqrt{11-x}\Leftrightarrow \sqrt{x+7}+\sqrt{11-x}=3x-6\sqrt{x}+9$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có

${{\left( \sqrt{x+7}+\sqrt{11-x} \right)}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left( x+7+11-x \right)=36$

$\sqrt{x+7}+\sqrt{11-x}\le 6$. Dấu “=” khi x = 2

$3x-6\sqrt{x}+9=3{{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}+6\ge 6$. Dấu “=” khi x = 1.

Do đó phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 3       (4,5 điểm):

1. Cho $p=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}$. Chứng minh $\text{p}$ là số hữu tỉ;
2. Giải bất phương trình sau: $\frac{3\sqrt{x}-10}{\sqrt{x}-5}>4$;
3. Tìm số nguyên $x$, $y$ biết: ${{x}^{2}}+xy-2020x-2021y-2022=0$.

Lời giải

1. Cho $p=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}$. Chứng minh $\text{p}$ là số hữu tỉ.

$p=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{{{\left( 2\sqrt{5}-3 \right)}^{2}}}}}=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-2\sqrt{5}+3}}$

$p=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{6-2\sqrt{5}}}=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{{{\left( \sqrt{5}-1 \right)}^{2}}}}=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{5}+1}=1$ do đó $p$ là số hữu tỉ.

2. Giải bất phương trình sau: $\frac{3\sqrt{x}-10}{\sqrt{x}-5}>4$

ĐKXĐ: $x\ge 0;x\ne 5$

$\frac{3\sqrt{x}-10}{\sqrt{x}-5}>4\Leftrightarrow \frac{3\sqrt{x}-10}{\sqrt{x}-5}-4>0$$\Leftrightarrow \frac{3\sqrt{x}-10-4\sqrt{x}+20}{\sqrt{x}-5}>0\Leftrightarrow \frac{-\sqrt{x}+10}{\sqrt{x}-5}>0$

$\left[ \begin{align}& \left\{ \begin{align}& -\sqrt{x}+10>0 \\& \sqrt{x}-5>0 \\\end{align} \right. \\& \left\{ \begin{align}& -\sqrt{x}+10<0 \\& \sqrt{x}-5<0 \\\end{align} \right. \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& \left\{ \begin{align}& -\sqrt{x}>-10 \\& \sqrt{x}>5 \\\end{align} \right. \\& \left\{ \begin{align}& -\sqrt{x}<-10 \\& \sqrt{x}<5 \\\end{align} \right. \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& \left\{ \begin{align}& \sqrt{x}<10 \\& \sqrt{x}>5 \\\end{align} \right. \\& \left\{ \begin{align}& \sqrt{x}>10 \\& \sqrt{x}<5 \\\end{align} \right. \\\end{align} \right.$$\Leftrightarrow 5<\sqrt{x}<10$$\Leftrightarrow 25<x<100$

3. Tìm số nguyên $x$, $y$ biết: ${{x}^{2}}+xy-2020x-2021y-2022=0$

$\Leftrightarrow \left( xy-2021y \right)+{{x}^{2}}-2021x+x-2021=1$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}+xy-2020x-2021y-2022=0$

$\Leftrightarrow \left( x-2021 \right)\left( y+x+1 \right)=1$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x-2021=1 \\& y+x+1=1 \\\end{align} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{align}& x-2021=-1 \\& y+x+1=-1 \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=2022 \\& y=-2022 \\\end{align} \right.$hoặc $\left\{ \begin{align}& x=2020 \\& y=-2022 \\\end{align} \right.$

Vậy $\left( x;y \right)=\left( 2022;-2022 \right);\left( x;y \right)=\left( 2020;-2022 \right)$.

Câu 4       (7.0 điểm):

1) Cho tam giác $ABC$ có $AH$, $BK$, $CI$ là ba đường cao. Chứng minh:
a. $\Delta AKI$ đồng dạng với $\Delta ABC$.
b. $AK.BI.CH=AB\cdot BC\cdot CA\cdot \cos A\cos B\cos C$.

Lời giải

a)Xét hai tam giác vuông $ABK$ và $ACI$ có

$\widehat{BAK}$ chung và $\widehat{BKA}=\widehat{CIA}=90{}^\circ $ do đó $\Delta BKA\sim \Delta CIA$ (g.g)

Suy ra $\frac{BK}{CI}=\frac{BA}{CA}\Rightarrow \frac{BK}{BA}=\frac{CI}{CA}$.

Xét $\Delta AIK$ và $\Delta ACB$ có $\widehat{KAI}$ chung và $\frac{BK}{BA}=\frac{CI}{CA}$

do đó $\Delta AKI$ đồng dạng với $\Delta ABC$(c.g.c).

$AK.BI.CH=AB\cdot BC\cdot CA\cdot \cos A\cos B\cos C$

1. b) Xét $\Delta ABK$vuông tại$K$, suy ra $AK=AB.\cos A$.

Xét $\Delta BCI$vuông tại$I$, suy ra $BI=BC.\cos B$.

Xét $\Delta ACH$vuông tại$H$, suy ra $CH=AC.\cos C$.

Từ đó ta suy ra $AK.BI.CH=AB\cdot BC\cdot CA\cdot \cos A\cos B\cos C$

 

2)Cho hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $4$. Trên hai cạnh $AB$ và $AD$ lần lượt lấy hai điểm $E,F$ sao cho $EC$ là phân giác $\widehat{BEF}$. Trên tia $AB$ lấy điểm $K$ sao cho $BK=DF$.
a) Tam giác $CKF$là tam giác gì? Vì sao?
b) Chứng minh $EF=EK$.
c) Xác định vị trí của $E,F$ sao cho diện tích tam giác $CEF$ lớn nhất.

1. a) Xét hai tam giác vuông $\Delta CDF$ và $\Delta CBK$có

$CD=CB$ và $DF=BK$ vậy $\Delta CDF=\Delta CBK$ (hai cạnh góc vuông bằng nhau).

 

1. b)

Vì $\Delta CDF=\Delta CBK$nên $CF=CK$.

Kẻ $CH\bot EF$ ($H\in EF$).

Xét hai tam giác vuông $\Delta CEH$ và $\Delta CEB$có

Cạnh huyền $CE$ chung và $\widehat{CEH}=\widehat{CEB}$ (gt)

Vậy $\Delta CEH=\Delta CEB$ (cạnh huyền –  góc nhọn) suy ra $CH=CB=CD$ và $EH=EB$.(1)

Ta chứng minh được $\Delta CDF=\Delta CHF$ (cạnh huyền-cạnh góc vuông)

nên suy ra $DF=HF=BK$hay $HF=BK$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $EF=EK$.

1. c) Ta có ${{S}_{ABCD}}=2{{S}_{CEF}}+{{S}_{AEF}}\ge 2{{S}_{CEF}}$ suy ra ${{S}_{CEF}}\le \frac{1}{2}.{{S}_{ABCD}}=8$.

Vậy diện tích tam giác $CEF$ lớn nhất bằng $8$.

Dấu bằng xảy ra khi ${{S}_{AEF}}=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& E\equiv A \\& F\equiv D \\\end{align} \right.\vee \left\{ \begin{align}& F\equiv A \\& E\equiv B \\\end{align} \right.$.

Câu 5      (1,0 điểm):
Cho ba số  dương $a,b,c$ thỏa mãn: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P=abc$.

Lời giải

Ta có

$\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=2$ nên $\frac{1}{1+a}=2-\frac{1}{1+b}-\frac{1}{1+c}=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}$.

Áp dụng BĐT Cauchy ta có

$\frac{1}{1+a}=2-\frac{1}{1+b}-\frac{1}{1+c}=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\ge 2\sqrt{\frac{b}{1+b}.\frac{c}{1+c}}$.      (1)

$\frac{1}{1+b}=2-\frac{1}{1+a}-\frac{1}{1+c}=\frac{a}{1+a}+\frac{c}{1+c}\ge 2\sqrt{\frac{a}{1+a}.\frac{c}{1+c}}$.      (2)

$\frac{1}{1+c}=2-\frac{1}{1+b}-\frac{1}{1+a}=\frac{b}{1+b}+\frac{a}{1+a}\ge 2\sqrt{\frac{b}{1+b}.\frac{a}{1+a}}$.      (3)

Nhân các vế của (1), (2) và (3) ta được

$\left( \frac{1}{1+a} \right).\left( \frac{1}{1+b} \right).\left( \frac{1}{1+c} \right)\ge 8.\frac{abc}{\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)}$ do đó $P\le \frac{1}{8}$.