Đề ôn thi HSG Toán 9 Tỉnh Lâm Đồng – Năm học 2022 – 2023

Đề ôn thi HSG Toán 9 Tỉnh Lâm Đồng – Năm học 2022 – 2023

ĐỀ ÔN HỌC SINH GIỎI TỈNH – SỐ 01

Bài 1: Cho biểu thức: $P=\frac{2x+\sqrt{16x}+6}{x+2\sqrt{x}-3}+\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}+\frac{3}{\sqrt{x}+3}-2$. Với x $\ge $ 0, x $\ne $ 1.

Tìm giá trị nguyên của $x$ để $P$ nguyên

Bài 2: Mỗi trang giấy của cuốn sách giáo khoa cần diện tích $384\text{ }\!\!~\!\!\text{ c}{{\text{m}}^{2}}$. Lề trên và lề dưới là $3\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}$, lề trái và lề phải là $2\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}$. Hãy cho biết kích thước tối ưu của trang giấy (Trang giấy có kích thước tối ưu khi diện tích phần trình bày nội dung là lớn nhất)

Bài 3:  Cho 3 hàm số bậc nhất:

$\left( {{d}_{1}} \right):y=0,5x+3\,\,\,;\,\,\,\left( {{d}_{2}} \right):y=6-x\,\,\,;\,\,\,\left( {{d}_{3}} \right):y=mx$

Với những gia trị nào của tham số m thì đường thẳng (d₃) cắt các đường thẳng (d₁), (d₂) lần lượt tại hai điểm A và B sao cho điểm A có hoành độ âm còn điểm B có hoành ở dương.

Bài 4: Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten thẳng cao 4 m.Từ vị trí quan sát A cao 7 m so với mặt đất có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng-ten lần lượt dưới góc 50⁰ và 40⁰ so với phương nằm ngang (trên hình bên). Tính chiều cao CH của tòa nhà (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba)

 Bài 5: Cho tam giác nhọn $\text{ABC}$ nội tiếp đường tròn $\left( \text{O} \right)$, các đường cao $\text{AD},\text{BE}$, $\text{CF}$ cắt đường tròn $\left( \text{O} \right)$ theo thứ tự ở $\text{M},\text{N},\text{K}$. Chứng minh rằng $\frac{\text{AM}}{\text{AD}}+\frac{\text{BN}}{\text{BE}}+\frac{\text{CK}}{\text{CF}}=4.$

Bài 6: Tìm năm sinh của nhà thơ Nguyễn Du , biết rằng ông sống không quá 86 năm và năm 1786 thì tuổi của ông bằng tống các chữ số của năm ông sinh ra .

Bài 7: Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\frac{2xy}{x+y}=1  \\\sqrt{x+y}={{x}^{2}}-y  \\\end{array} \right.$

Bài 8: Hai chiếc xe ô tô cùng khởi hành, một chiếc từ TP. Hồ Chí minh đi Vũng Tàu, một chiếc từ Vũng Tàu về TP Hồ Chí Minh. Một chiếc đến nơi trễ hơn chiếc kia 1 giờ. Một chiếc chạy nhanh gấp 1,5 lần chiếc kia. Hỏi chiếc chạy nhanh chạy từ khi xuất phát đến nơi mất bao lâu?

Bài 9: Cho tam giác $\mathrm{ABC}$, đường phân giác $AD\,(D\in BC)$, Chứng minh rằng $AD<\frac{2AB.AC}{AB+AC}$

Bài 10: Trên bảng, người ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 100 sau đó thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bất kỳ trên bảng và viết một số mới bằng $a+b-2$ lên bảng. Việc làm này thực hiện liên tục, hỏi sau 99 bước số cuối cùng còn lại trên bảng là bao nhiêu? Tại sao?

ĐỀ ÔN HỌC SINH GIỎI TỈNH LÂM ĐỒNG – SỐ 02

Câu 1. Cho biểu thức $A=\left(\frac{x+\sqrt{x}+3}{x-\sqrt{x}-2}+\frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{\sqrt{x}-2}\right): \frac{1}{x-4}$ với $x \geq 0 ; x \neq 4$.
Tìm tất cả các giá trị của $x$ sao cho $\frac{4}{A}$ là số nguyên.

Câu 2. Trong mặt phẳng toạ độ O x y cho đường thẳng $(d): y=(k-1) x+3$ (với $k$ là tham số) và hai điểm $A(0 ; 3), B(-1 ; 0)$. Tìm giá trị của $k$ để đường thẳng $d$ cắt trục Ox tại điểm $C$ sao cho diện tích tam giác OAC gấp ba lần diện tích tam giác OAB .

Câu 3. Trung tâm thương mại VC của thành phố NT có $100$ gian hàng. Nếu mỗi gian hàng của Trung tâm thương mại VC cho thuê với giá $100\,000\,000$ đồng (một trăm triệu đồng) một năm thì tất cả các gian hàng đều được thuê hết. Biết rằng, cứ mỗi lần tăng giá $5%$ tiền thuê mỗi gian hàng một năm thì Trung tâm thương mại VC có thêm $2$  gian hàng trống. Hỏi người quản lý phải quyết định giá thuê mỗi gian hàng là bao nhiêu một năm để doanh thu của Trung tâm thương mại VC từ tiền cho thuê gian hàng trong năm là lớn nhất?

Câu 4. Có ba hình vuông xếp cạnh nhau, độ dài các cạnh tỷ lệ với $5;7$ và $x.$ Biết ba đỉnh $A,B$ và $C$ thẳng hàng. Tính $x.$

Câu 5.
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng $S_{D E F}=\left(\sin ^2 A+\sin ^2 B+\sin ^2 C-2\right) S_{A B C}$.

Câu 6. Cho hai số $x,y$ thỏa mãn $\left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)\left( 2y+\sqrt{4{{y}^{2}}+1} \right)=1$ . Tính giá trị của biểu thức $E={{x}^{3}}+8{{y}^{3}}+2023$ .

Câu 7. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}{{x}^{2}}+xy+2y=2{{y}^{2}}+2x  \\y\sqrt{x-y+1}+x=2  \\\end{array} \right.$

Câu 8. Một lớp học có kết quả xếp loại hai mặt giáo dục chỉ có hai loại là học sinh giỏi và học sinh tiên tiến. Nếu có 1 học sinh giỏi chuyển đi thì $\frac{1}{6}$ số học sinh còn lại là học sinh giỏi. Nếu có 1 học sinh tiên tiến chuyển đi thì $\frac{1}{5}$ số học sinh còn lại là học sinh giỏi. Tính số học sinh của lớp.

Câu 9. Cho ba số dương $a,\text{ }b,\text{ }c$thỏa mãn $a+b+c=1011$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$M=\sqrt{1011a+bc}+\sqrt{1011b+ac}+\sqrt{1011c+ab}$.

Câu 10. Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Gọi P là điểm di chuyển trên cung nhỏ$\overset\frown{AD}$, M là giao điểm của CP với OA, N là giao điểm của BP với OD. Chứng minh rằng: $\frac{OM}{MA}.\frac{ON}{ND}$ luông không đổi.

ĐỀ ÔN HỌC SINH GIỎI TỈNH LÂM ĐỒNG – SỐ 03

Câu 1. Cho biểu thức: $P=\frac{x\sqrt{x}+26\sqrt{x}-19}{x+2\sqrt{x}-3}-\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+3}$

Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 2. Cho a, b, c, d là các số nguyên thỏa mãn $3{{a}^{5}}+3{{b}^{5}}-2{{c}^{5}}-7{{d}^{5}}=0$

Chứng minh rằng $a+b-4c-9d$ chia hết cho 5

Câu 3. Cho đường thẳng ${{d}_{m}}$ có phương trình: $y=mx+2m-1$  ($m$ là tham số). Chứng minh rằng: Khi $m$ thay đổi thì đường thẳng ${{d}_{m}}$ luôn đi qua một điểm $H$ cố định. Tìm tọa độ của điểm $H$

Câu 4. Trong một cuộc thi quốc tế về khả năng lặn sâu có 25 vận động viên đăng kí dự thi. Trong số đó, có 18 người đăng kí lặn sâu cự li 10m, có 17 vận động viên đăng kí lặn sâu ở cự li 4m. Tính số vận động viên đăng kí dự thi ở cả hai cự li.

Câu 5. Một đoàn học sinh đi tham quan quảng trường Đại Đoàn Kết tỉnh Gia Lai. Nếu mỗi ô tô chở $12$ người thì thừa 1 người. Nếu bớt đi 1 ô tô thì số học sinh của đoàn được chia đều cho các ô tô còn lại. Hỏi có bao nhiêu học sinh đi tham quan và có bao nhiêu ô tô? Biết rằng mỗi ô tô chở không quá 16 người

Câu 6. Giải hệ phương trình : $\left\{ \begin{align}& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy=1 \\& {{x}^{3}}+{{y}^{3}}=x+3y \\\end{align} \right.$

Câu 7. Xác định số điện thoại của THCS X thành phố Thủ Dầu Một, biết số đó dạng $\overline{82xxyy}$ với $\overline{xxyy}$ là số chính phương.

Câu 8.  Hình bên gồm 9 hình vuông giống hệt nhau, mỗi hình vuông có diện tích 4$c{{m}^{2}}$. Các điểm $A,B,C,D$ là đỉnh của các hình vuông. Điểm $E$ nằm trên đoạn $CD$ sao cho $AE$ chia 9 hình vuông thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tính độ dài đoạn $CE$.

Câu 9. Hai vị trí $A$ và $B$ cách nhau $615\text{ }m$ và cùng nằm về một phía bờ sông. Khoảng cách từ $A,B$ đến bờ sông lần lượt là $118\text{ }m$ và $487\text{ }m$(tham khảo hình vẽ bên). Một người đi từ $A$ đến bờ sông để lấy nước mang về $B.$ Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi được bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến đơn vị mét).

Câu 10. Cho $\Delta ABC$ nhọn $\left( AB<AC \right)$, các đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$$(D\in BC,E\in AC$, $,F\in AB)$ Chứng minh rằng $2\left( AH.AD+BH.BE+CH.CF \right)=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}$

Câu 11. Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:$\sqrt{\frac{{{a}^{3}}}{{{a}^{3}}+{{\left( b+c \right)}^{3}}}}+\sqrt{\frac{{{b}^{3}}}{{{b}^{3}}+{{\left( c+a \right)}^{3}}}}+\sqrt{\frac{{{c}^{3}}}{{{c}^{3}}+{{\left( a+b \right)}^{3}}}}\ge 1$.

Câu 12. Cho đa thức $P\left( x \right)$ có bậc không quá 2022 thỏa mãn $P\left( k \right)=\frac{1}{k+1}$ với mọi $k=0;1;2;3;…;2022.$ Tính P(2023).

ĐỀ ÔN THI HSG TỈNH SỐ 04

1) Rút gọn $P=\left( 3+2\sqrt{3} \right)\sqrt{7-4\sqrt{3}}-\sqrt[3] {15\sqrt{3}-26}$

2) Một bánh xe có dạng hình tròn bán kính 20cm lăn đến bức tường hợp với mặt đất một góc 60⁰. Hãy tính khoảng cách ngắn nhất từ tâm bánh xe đến góc tường.

3) Cho đường thẳng d là đồ thị của hàm số bậc nhất: $y=mx-m+1$ (m là tham số). Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng d bằng $\sqrt{2}$.

4) Người ta giăng lưới để nuôi riêng một loại cá trên một góc hồ. Biết rằng lưới được giăng theo một đường thẳng từ một vị trí trên bờ ngang đến một vị trí trên bờ dọc và phải đi qua một cái cọc đã cắm sẵn ở vị trí A. Hỏi diện nhỏ nhất có thể giăng là bao nhiêu, biết rằng khoảng cách từ cọc đến bờ ngang là 5m và khoảng cách từ cọc đến bờ dọc là 12m.

5) Cho $a,\,b,\,c,\,d$ là các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện ${{a}^{2}}+\,{{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{d}^{2}}$. Chứng minh rằng $a,\,b,\,c,\,d$ không thể đồng thời là các số lẻ.

6) Cho $a,\ b,\ c$ là các số nguyên thỏa mãn điều kiện: $a+b+c$ chia hết cho $12$. Chứng minh: $P=\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)-5abc$ chia hết cho $12$.

7) Giải phương trình sau: $\sqrt{24+8\sqrt{9-{{x}^{2}}}}-5x={{x}^{2}}+2\sqrt{3-x}+8$.

8) Cho hình vuông ABCD có cạnh 10cm, E thuộc CD sao cho ED = 8cm. M là trung điểm cạnh BE. Hãy tính S_ABM + S_DME

9) Cho đường tròn (O’) tiếp xúc trong với đường tròn $\left( \text{O} \right)$ tại $\text{A}$. Dây $\text{BC}$ của đường tròn lớn tiếp xúc với đường tròn nhỏ tại $\text{H}$. Gọi $\text{D},\text{E}$ theo thứ tự là giao điểm (khác $\text{A}$ ) của $\text{AB},\text{AC}$ với đường tròn nhỏ. Chứng minh rằng: $\text{AH}$ là tia phân giác của góc $\text{BAC}$.

10) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A(AB<AC)$, các đường phân giác trong và ngoài tại đỉnh $A$   của tam giác cắt $BC$ lần lượt tại $M,N$. Chứng minh $\frac{1}{AM}+\frac{1}{AN}=\frac{\sqrt{2}}{AB}$.

11) Cho các số thực dương $a$, $b$, $c$  thoả mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{a+bc}+\frac{b}{b+ca}+\frac{c}{c+ab}\le \frac{9}{4}$