Đề thi HSG 9 Tân Kỳ – Năm học 2022 – 2023

Câu 1. (4,0 điểm): Cho biểu thức $\mathrm{A}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}+\frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{2+5 \sqrt{x}}{4-x}$ với $\mathrm{x} \geq 0$ và $\mathrm{x} \neq 4$
a) Rút gọn $\mathrm{A}$.
b) Tìm giá trị của $\mathrm{x}$ để $\mathrm{A}$ có giá trị nguyên.
Câu 2. (4,0 điểm):
a) Cho $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=0$ và $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ đều khác 0 . Rút gọn biểu thức:
$
A=\frac{a b}{a^2+b^2-c^2}+\frac{b c}{b^2+c^2-a^2}+\frac{c a}{c^2+a^2-b^2}
$
b) Giaii các phương trình sau: $\sqrt{x+3}+4 \sqrt{x}-2 x=6-\sqrt{5-x}$
Câu 3. (3,0 điểm)
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên $\mathrm{n}$ thì $\mathrm{n}^3+3 \mathrm{n}^2+2018 \mathrm{n}$ chia hết cho 6
b) Cho $x$, $y$ là các số nguyên thỏa mãn $2 x^2+x=3 y^2+y$.
Chứng minh $\mathrm{x}-\mathrm{y} ; 2 \mathrm{x}+2 \mathrm{y}+1$ và $3 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}+1$ đều là các số chính phương.
c) Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:
$
(2 x+5 y+1)\left(2^{|x|}+x^2+x+y\right)=105
$
Câu 4. (8,0 điểm): Cho hình vuông $\mathrm{ABCD}$. Điểm $\mathrm{M}$ thuộc cạnh $\mathrm{AC}$, kẻ $\mathrm{MH}$ vuông góc với $\mathrm{AB}(\mathrm{H} \in \mathrm{AB}), \mathrm{Kė} \mathrm{MK}$ vuông góc với $\mathrm{BC}(\mathrm{K} \in \mathrm{BC})$. $O$ là trung điểm của $\mathrm{AM}$.
a) Chứng minh: $\triangle \mathrm{HBO} \sim \triangle \mathrm{MCH}$
b) Chứng minh: $\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{CH}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
c) Xác định vị trí của $M$ trên $\mathrm{AC}$ để diện tích $\triangle \mathrm{DHK}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 5. $(1,0$ điểm) Cho $x ; y$ là các số thực dương thỏa mãn $(x+1)(y+1)=4 x y$. Chứng minh rằng:
$
\frac{1}{\sqrt{3 x^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{3 y^2+1}} \leq 1
$