Đề thi HSG Toán 8 Huyện Hậu Lộc – Năm Học 2022 – 2023
Đề thi HSG Toán 8 Huyện Hậu Lộc – Năm Học 2022 – 2023
Câu I. (4 điểm) Cho biểu thức: $P=\left(\frac{x-4}{x^3-1}+\frac{1}{x-1}\right):\left(1-\frac{x-8}{x^2+x+1}\right)$ với $\mathrm{x} \neq 1$
1) Rút gọn biểu thức $P$
2) Tính giá trị của $P$ khi $x$ là nghiệm của phương trình $x^2-3 x+2=0$
3) Tìm giả trị nguyên của $x$ để biểu thức $P$ nhận giả trị là số nguyên.
Câu II. (4 điểm)
1) Giäi phương trình: $\frac{1}{x^2-6 x+10}+\frac{4}{x^2-6 x+11}=\frac{9}{x^2-6 x+12}$
2) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $(x-y)^3+(y-z+1)^3-(x-z+1)^3$
Câu III. (4 điểm)
1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^3+2 x^2+3 x+2=y^3$
2) Cho a, b, c, d là các số nguyên thoả mãn $a>b>c>d>0$ và đồng thời
$\left(\mathrm{a}^3+\mathrm{c}^3\right)(\mathrm{b}-\mathrm{d})=\left(\mathrm{b}^3-\mathrm{d}^3\right)(\mathrm{a}+\mathrm{c})$. Chứng minh rằng $\mathrm{ab}+\mathrm{cd}$ không phải là số nguyên tố.
Câu IV. (6 điểm)
Cho hinh vuông $\mathrm{ABCD}$, lấy $\mathrm{M}$ là một điểm tuỷ ý trên cạnh $\mathrm{BC}$. Trên nửa mặt phẳng bờ $\mathrm{AB}$ chứa điểm $\mathrm{C}$, dựng hình vuông $\mathrm{AMHN}$. Qua $\mathrm{M}$ dựng đường thẳng $\mathrm{d}$ song song với $\mathrm{AB}, \mathrm{d}$ cắt $\mathrm{AH}$ tại $\mathrm{E}$. Đường thẳng $\mathrm{AH}$ cắt $\mathrm{DC}$ tại $\mathrm{F}$.
1) Chứng minh rằng: $\mathrm{BM}=\mathrm{ND}$.
2) Tử giác EMFN là hình gi? Vi sao?
3) Gọi $S$ là diện tích của hình vuông $\mathrm{ABCD}$. Chứng minh rằng:
3 (FC. $\mathrm{FN}+\mathrm{CF} . \mathrm{CM}+\mathrm{MC} . \mathrm{MF})<4 S$
Câu V. (2 điểm)
Cho các số dương $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ thoả mãn $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=3$. Chứng minh rẳng: $\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2} \geq \frac{3}{2}$
