Đề thi HSG Toán 8 Tỉnh Bắc Ninh – Năm Học 2018 – 2019
Đề thi HSG Toán 8 Tỉnh Bắc Ninh – Năm Học 2018 – 2019
Câu 1. (2,0 điểm)
Cho ba sổ $a, b, 0$ khảc nhau đôi một và khảc 0 , đồng thời thỏa mãn điểu kiện $\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}$. Tỉh gia trị cuia biề thưce $A=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)$.
Câu 2. (4,0 điểm)
1) Giai phuoong trinh $\frac{1}{z^2}+\frac{3}{z+1}-\frac{2}{(z+1)^2}=2$.
2) Cho hai đa thire $P(x)=x^8-5 x^2+4 x+1, Q(x)=2 x^2+x-1$. Gọi $x_2, x_2, x_3, z_4, x_0$ là caic nghiệm của $P(x)$. Tinh gia trị của $Q\left(x_1\right) Q\left(x_2\right), Q\left(x_3\right) Q\left(x_4\right), Q\left(x_b\right)$.
Câu 3. (4,0 điểm)
1) Tim tất cà số nguyên dương $n$ sao cho $n^2+2$ lả ước số của $n^6+206$.
2) Cho $a, b, c$ là caic sồ nguyèn thaic $0, a \neq c$ sao cho $\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{a}{c}$. Chưng minh rà̀ng $a^2+b^2+c^2$ không phải la số nguyèn tố.
Câu 4. (7,0 điêm )
1) Cho hinhh vuông $A B C D$, gọi $M$ là điểm bất kì trèn cạnh $B O$. Trong nưa mắt phẳng bò $A B$ chưa $C$, dưng hinh vuông $A M H N$. Qua $M$ dựng đường thẳng $d$ song song vời $A B, d$ căt $A H$ tai $E$. Đuờng thẳng $A H$ căt $D C$ tai $F$.
a) Chưng minh rẩng $B M=N D$.
b) Tư gaàc EMFN la hinh gi?
c) Chưng minh chu vi tam giàc $M F C$ không đổi khi $M$ thay đổi trên $B C$.
2) Cho tam giác $A B C$ có $\overline{B A} A \bar{O}=90^{\circ}, \overline{A B C}=20^{\circ}$. Các điềm $E$ và $F$ lằn lượt nằm trèn cac canh $A C, A B$ sao cho $\overline{A B E}=10^{\circ}$ va $\overline{A C F}=30^{\circ}$. Tinh $\overline{C F E}$.
Câu 5. (3,0 điểm)
1) Cho các số thực $a, b, c \geq 1$. Chưng minh rà̀ng
$
\frac{1}{2 a-1}+\frac{1}{2 b-1}+\frac{1}{2 c-1}+3 \geq \frac{4}{a+b}+\frac{4}{b+0}+\frac{4}{0+a} .
$
2) Cho hình vuông $A B C D$ và 9 đường thả̉ng củng có tinh chất là mỗi đường thẳng chia hinh vuông $A B C D$ thành hai từ giaic có ti só điện tich bằng $\frac{2}{3}$. Chüng minh rà̀ng có it nhât 3 đương thảंng trong sổ đó cîng đi qua một điểm.
