Đề thi HSG Toán 9 Hà Nội – Năm học 2020 – 2021
Đề thi HSG Toán 9 Hà Nội – Năm học 2020 – 2021
Câu 1
1) Giải phương trình ${{x}^{2}}-x+8=4\sqrt{x+3}$.
2) Cho $a,b,c$ là các số thực đôi một khác nhau. Chứng minh biểu thức $K=\frac{{{a}^{2}}}{(a-b)(a-c)}+\frac{{{b}^{2}}}{(b-a)(b-c)}+\frac{{{c}^{2}}}{(c-a)(c-b)}$ có giá trị nguyên.
Câu 2
1) Biết $a,b,c$ là các số nguyên thỏa mãn $a+b+c$ chia hết cho 3 và $ab-bc-ca$ chia hết cho 3. Chúng minh $ab-bc-ca$ chia hết cho 9.
2) Cho đa thức $P(x)={{x}^{3}}+ax+b$ có nghiệm $1+\sqrt{3}$ ($a,b$ là các số hữu tỉ). Chứng minh $P(x)$ chia hết cho đa thức ${{x}^{2}}-2x-2$.
Câu 3
Với các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1$, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}$.
Câu 4
Cho đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác nhọn $ABC\ (AB<AC)$. Đường tròn $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA$ lần lượt tại $D,E$. Qua $B$ kẻ đường thằng vuông góc với $BI$, cắt $AI$ tại $J$. Gọi $P$ là hình chiếu vuông góc của $J$ trên $BC$.
1) Chứng minh $BD=CP$.
2) Gọi $N$ là giao điểm của hai đường thẳng $AJ$ và $BC$. Chứng minh $\frac{1}{AI}+\frac{1}{AJ}=\frac{2}{AN}$.
3) Gọi $Q$ là giao điểm của hai đường thằng $JP$ và $DE$. Gọi $K$ là trung điểm của $PQ$. Chứng minh $BK$ vuông góc với $AP$.
Câu 5
1) Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn ${{3}^{x}}+{{2}^{y}}=1+{{2}^{z}}$.
2) Cho một hình chữ nhật có diện tích bằng $1$. Năm điểm phân biệt được đặt tùy vào hình chữ nhật sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng (mỗi điểm trong năm điểm đó có thể được đặt trên cạnh hoặc đặt nằm trong hình chữ nhật).
a) Chứng minh mọi tam giác tạo bởi ba điểm trong năm điểm đã cho đều có diện tích không vượt quá $\frac{1}{2}\cdot $
b) Với mỗi cách đặt năm điểm vào hình chữ nhật như trên, gọi $N$ là số tam giác có ba đỉnh là ba điểm trong năm điểm đó và có diện tích không vượt quá $\frac{1}{4}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $N$.
