Đề thi HSG Toán 9 Huyện Anh Sơn (Nghệ An) – Năm học 2020 – 2021
Đề thi HSG Toán 9 Huyện Anh Sơn (Nghệ An) – Năm học 2020 – 2021
Câu 1 (4 điểm)
a) Cho $a$, $b$ là các số tự nhiên thỏa mãn: ${{a}^{2}}+a=2{{b}^{2}}+b$. Chứng minh rằng $a-b$ và $a+b+1$ đều là những số chính phương.
b) Tìm các giá trị nguyên của $x$, $y$ thỏa mãn đẳng thức: $\left( y+2 \right){{x}^{2}}+1={{y}^{2}}$
Câu 2 (4 điểm)
a) Giải phương trình: ${{x}^{2}}-9x=6\sqrt{x+4}-38$
b) Cho $a+b+c=0$; ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1$.
Tính giá trị biểu thức sau: $A={{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}$
Câu 3 (3 điểm)
Các số thực dương ${x}$, ${y}$, ${z}$ thỏa mãn điều kiện $x.y.z=1$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $B=\frac{1}{xy+x+2}+\frac{1}{yz+y+2}+\frac{1}{zx+z+2}$
Câu 4 (7 điểm)
Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn tâm $O$. Các đường cao $AD$, $BE$, $CF$ của tam giác $ABC$ đồng quy tại $H$ .
a) Chứng minh rằng ${{\cos }^{2}}BAC+{{\cos }^{2}}ABC+{{\cos }^{2}}ACB<1.$
b) $P$ là điểm thuộc cung nhỏ $AC$ của đường tròn $\left( O \right).$ Gọi $M$, $I$ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $BC$ và $HP$. Chứng minh rằng $MI$ vuông góc với $AP$.
Câu 5 (2 điểm)
Bên trong đường tròn tâm $O$, bán kính $R=1$ có 8 điểm phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai điểm trong số chúng mà khoảng cách giữa hai điểm này nhỏ hơn 1.
