Đề thi HSG Toán 9 Huyện Đông Hà – Năm học 2022 – 2023

Đề thi HSG Toán 9 Huyện Đông Hà – Năm học 2022 – 2023

Câu 1. (2.0 điểm)Giải phương trình $3{{x}^{3}}-7{{x}^{2}}+17x-5=0$

Câu 2. (4.0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức $P=\frac{{{a}^{2}}}{\left( a+b \right)\left( 1-b \right)}-\frac{{{b}^{2}}}{\left( a+b \right)\left( 1+a \right)}-\frac{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}{\left( 1+a \right)\left( 1-b \right)}$, $\left( a\ne b,a\ne -1,b\ne 1 \right)$
b) Cho các số thực $a,b,c,x,y,z$ thỏa mãn $x=by+cz;y=ax+cz;z=ax+by$ và $x+y+z\ne 0$. Tính giá trị biểu thức $Q=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}$.

Câu 3. (4,0 điểm)
a) Trong dãy số $13597….,$ mỗi chữ số đứng sau bắt đầu từ chữ số thứ tư bằng chữ số hàng đơn vị của tổng ba chữ số đứng ngay trước nó. Hỏi trong dãy này có chứa dãy $789$ không?.
b) Có hay không số tự nhiên $n$ để ${{n}^{2}}+2022$ là số chính phương?

Câu 4. (4 điểm) Cho$a,b,c$ là các số thực dương.
a) Chứng minh $\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)\ge 0$.
b) Với $a+b+c=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$M=\frac{{{a}^{3}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+ab}+\frac{{{b}^{3}}}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+bc}+\frac{{{c}^{3}}}{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}+ca}$

Câu 5. (6,0 điểm) Cho hình thoi $ABCD$ có $\widehat{BAD}=40{}^\circ $, $O$ là giao điểm của hai đường chéo. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên cạnh $AB$. Trên tia đối của tia $BC$ lấy điểm $M$, trên tia đối của tia $DC$ lấy điểm $N$ sao cho $HM$ song song với$AN$.
a)Chứng minh $\Delta MBH$ và $\Delta ADN$ đồng dạng.
b)Chứng minh $MB.DN=O{{B}^{2}}$
c) Tính số đo $\widehat{MON}$.

Hướng dẫn giải Đề thi HSG Toán 9 Huyện Đông Hà – Năm học 2022 – 2023

Câu 1 (4.0 điểm)Giải phương trình $3{{x}^{3}}-7{{x}^{2}}+17x-5=0$

Lời giải

Ta có:

$3{{x}^{3}}-7{{x}^{2}}+17x-5=0$

$\Leftrightarrow 3{{x}^{3}}-{{x}^{2}}-6{{x}^{2}}+2x+15x-5=0$

$\Leftrightarrow \left( 3x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-2x+5 \right)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& 3x-1=0 \\& {{x}^{2}}-2x+5=0 \\\end{align} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=\frac{1}{3} \\& {{\left( x-1 \right)}^{2}}=-4\left( VL \right) \\\end{align} \right.\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}$

Câu 2 (4.0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức $P=\frac{{{a}^{2}}}{\left( a+b \right)\left( 1-b \right)}-\frac{{{b}^{2}}}{\left( a+b \right)\left( 1+a \right)}-\frac{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}{\left( 1+a \right)\left( 1-b \right)}$, $\left( a\ne b,a\ne -1,b\ne 1 \right)$

b) Cho các số thực $a,b,c,x,y,z$ thỏa mãn $x=by+cz;y=ax+cz;z=ax+by$ và $x+y+z\ne 0$. Tính giá trị biểu thức $Q=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}$

Lời giải

a) $P=\frac{{{a}^{2}}}{\left( a+b \right)\left( 1-b \right)}-\frac{{{b}^{2}}}{\left( a+b \right)\left( 1+a \right)}-\frac{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}{\left( 1+a \right)\left( 1-b \right)}$

$P=\frac{{{a}^{3}}+{{a}^{2}}-{{b}^{2}}+{{b}^{3}}-{{a}^{2}}{{b}^{2}}\left( a+b \right)}{\left( a+b \right)\left( 1+a \right)\left( 1-b \right)}=\frac{\left( a+b \right)\left( {{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}} \right)+\left( a-b \right)\left( a+b \right)-{{a}^{2}}{{b}^{2}}\left( a+b \right)}{\left( a+b \right)\left( 1+a \right)\left( 1-b \right)}$

$P=\frac{{{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}+a-b-{{a}^{2}}{{b}^{2}}}{\left( 1+a \right)\left( 1-b \right)}=\frac{{{a}^{2}}\left( 1-b \right)\left( 1+b \right)-b\left( 1-b \right)+a\left( 1-b \right)}{\left( 1+a \right)\left( 1-b \right)}$

$P=\frac{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}b-b+a}{1+a}=\frac{a\left( 1+a \right)+b\left( a+1 \right)\left( a-1 \right)}{1+a}=a+b\left( a-1 \right)$.

b) Ta có:

$Q=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}=\frac{x}{x+ax}+\frac{y}{y+by}+\frac{z}{z+cz}$

$Q=\frac{by+cz}{ax+by+cz}+\frac{ax+cz}{ax+by+cz}+\frac{ax+by}{ax+by+cz}=2$.

Câu 3 (4,0 điểm)

a) Trong dãy số $13597….,$ mỗi chữ số đứng sau bắt đầu từ chữ số thứ tư bằng chữ số hàng đơn vị của tổng ba chữ số đứng ngay trước nó. Hỏi trong dãy này có chứa dãy $789$ không?.

b) Có hay không số tự nhiên $n$ để ${{n}^{2}}+2022$ là số chính phương?

Lời giải

1. Vì tổng của các số lẻ là một số lẻ nên trong dãy đã cho không có dãy 789
2. Vì ${{n}^{2}}$ chia 4 dư 0 hoặc dư 1 nên ${{n}^{2}}+2022$ chia 4 dư 2 hoặc dư 3 nên không phải là số chính phương.

Câu 4 (4 điểm)

Cho $a,b,c$ là các số thực dương.

a) Chứng minh $\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)\ge 0$.

b) Với $a+b+c=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$M=\frac{{{a}^{3}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+ab}+\frac{{{b}^{3}}}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+bc}+\frac{{{c}^{3}}}{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}+ca}$

Lời giải

a) $\left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)={{\left( a-b \right)}^{2}}\left( a+b \right)\ge 0$ với $a,b,c$là các số thực dương.

b) Ta có:

$\frac{{{a}^{3}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+ab}=a-\frac{ab\left( a+b \right)}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+ab}\ge a-\frac{ab\left( a+b \right)}{2ab+ab}=a-\frac{a+b}{3}$.

Tương tự ta có $\frac{{{b}^{3}}}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+bc}=b-\frac{b+c}{3};\frac{{{c}^{3}}}{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}+ca}=c-\frac{c+a}{3}$.

Do đó:

$M=\frac{{{a}^{3}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+ab}+\frac{{{b}^{3}}}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+bc}+\frac{{{c}^{3}}}{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}+ca}\ge \frac{a+b+c}{3}=1$

Vậy GTNN của $M=\frac{1}{3}$ khi $a=b=c=1$.

Câu 5 (4,0 điểm)Cho hình thoi $ABCD$ có $\widehat{BAD}=40{}^\circ $, $O$ là giao điểm của hai đường chéo. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên cạnh $AB$. Trên tia đối của tia $BC$ lấy điểm $M$, trên tia đối của tia $DC$ lấy điểm $N$ sao cho $HM$ song song với $AN$.

a) Chứng minh $\Delta MBH$ và $\Delta ADN$ đồng dạng.

b)Chứng minh $MB.DN=O{{B}^{2}}$

c) Tính số đo $\widehat{MON}$

Lời giải

a) Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AD//BC\Rightarrow \widehat{ADN}=\widehat{DCB}$ và $AB//CD\Rightarrow \widehat{DCB}=\widehat{MBH}$ suy ra $\widehat{ADN}=\widehat{MBH}$.

Vì $BM//AD;HM//AN\Rightarrow \widehat{BMH}=\widehat{DAN}$

Vậy $\Delta MBH$ và $\Delta ADN$ đồng dạng.

b) Vì $\Delta MBH$ và $\Delta ADN$ đồng dạng nên $\frac{MB}{AD}=\frac{BH}{DN}\Rightarrow MB.DN=AD.BH=AB.BH=O{{B}^{2}}$ (Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông).

c) Từ câu b suy ra $\Delta MBO,\Delta ODN$ đồng dạng suy ra $\widehat{MOB}=\widehat{OND}\Rightarrow \widehat{MON}=\widehat{ODN}=180{}^\circ -\frac{180{}^\circ -40{}^\circ }{2}=110{}^\circ $