Đề thi HSG Toán 9 Huyện Hậu Lộc (Thanh Hoá) – Năm học 2020 – 2021
Đề thi HSG Toán 9 Huyện Hậu Lộc (Thanh Hoá) – Năm học 2020 – 2021
Câu 1: (4 điểm)
Cho $A=\left( \frac{y}{2}-\frac{1}{2y} \right)\left( \frac{{{y}^{2}}-y}{y+1}-\frac{{{y}^{2}}+y}{y-1} \right)+{{y}^{3}}+\frac{1}{y}$$\left( y\ne 0;y\ne 1 \right)$
a) Rút gọn $A$
b) Tìm $y$ để $4A=9y$
Câu 2: (3 điểm)
Phân tích đa thức: $P(x)=x(x+1)(4{{x}^{2}}-1)-2$thành nhân tử.
Cho $x,y,z$ là các số tự nhiên khác 0 thỏa mãn điều kiện: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$. Tính giá trị biểu thức $P=\frac{yz}{{{x}^{2}}+2yz}+\frac{zx}{{{y}^{2}}+2zx}+\frac{xy}{{{z}^{2}}+2xy}$.
Câu 3: (4 điểm)
Tìm $a$ để đa thức $3{{x}^{4}}+{{x}^{3}}+x+a$ chia hết cho đa thức ${{x}^{2}}+1$
Tìm nghiệm nguyên của phương trình ${{3}^{x}}+{{4}^{x}}={{5}^{x}}$
Câu 4: (2 điểm) Giải phương trình:${{\left( \frac{x+1}{2x+3} \right)}^{2}}-\frac{2}{x-1}=6{{\left( \frac{2x+3}{x-1} \right)}^{2}}+1$
(6 điểm)
Cho hình vuông $ABCD$, trên cạnh $AB$ lấy điểm $E$ và trên cạnh $AD$ lấy điểm $F$ sao cho $AE=FA$. Vẽ $AH$ vuông góc với $BF$$\left( H\,\in \,BF \right)$, $AH$ cắt $DC$ và $BC$ lần lượt tại $M$ và $N$.
1) Chứng minh tứ giác $AEMD$ là hình chữ nhật.
2) Giả sử diện tích tam giác $BCH$ gấp 4 lần diện tích tam giác $AEH$. Chứng minh rằng: $AC=2EF$.
3) Chứng minh rằng: $\frac{1}{A{{M}^{2}}}+\frac{1}{A{{N}^{2}}}=\frac{1}{A{{D}^{2}}}$.
(1 điểm) Cho các số dương $a,\ b,\ c$ thỏa mãn: $ab+bc+ca=1$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:$P=\frac{a}{\sqrt{1+{{a}^{2}}}}+\frac{b}{\sqrt{1+{{b}^{2}}}}+\frac{c}{\sqrt{1+{{c}^{2}}}}$.
